2022年初二数学上学期知识点和典型例题总结.docx
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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载全等三角形类型一:全等三角形性质的应用 1、如图, ABD ACE,AB=AC,写出图中的对应边和对应角 . 思路点拨 : AB=AC,AB和 AC是对应边, A 是公共角, A 和A 是对应角,按对应边所对的角是对应角,对应角所对的边是对应边可求解 . 解析: AB和 AC是对应边, AD和 AE、BD和 CE是对应边, A和 A 是对应 角, B和 C, AEC和ADB是对应角 . 总结升华: 已知两对对应顶点,那么以这两对对应顶点为顶点的角是对应角,第三对角是对应角;再由对应角所对的边是对应边,可找到对应边. . 已知两
2、对对应边,第三对边是对应边,对应边所对的角是对应角举一反三:【变式 1】如图, ABC DBE. 问线段 AE和 CD相等吗?为什么?【答案】证明:由ABC DBE,得 AB=DB,BC=BE就 AB-BE=DB-BC,即 AE=CD;,;【变式 2】如右图,求证: AE CF 【答案】名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载AE CF 2、如图,已知 ABC DEF, A=30 , B=50 , BF=2,求 DFE的度 数与 EC的长;思路点拨 :由全等三角形性质可知:DFE=ACB,EC+CF=B
3、F+FC,所以只需求 ACB的度数与 BF的长即可;解析: 在 ABC中,ACB=180 - A-B,又 A=30 , B=50 ,所以 ACB=100 . 又由于 ABC DEF,所以 ACB=DFE,BC=EF(全等三角形对应角相等,对应边相等);所以 DFE=100EC=EF-FC=BC-FC=FB=2 总结升华: 全等三角形的对应角相等,对应边相等;举一反三:【变式 1】如下列图,ACD ECD, CEF BEF,ACB=90 . 求证:( 1)CDAB;( 2)EF AC. 【答案】1 )由于 ACD ECD,所以 ADC=EDC(全等三角形的对 应角相等) . 由于 ADC+EDC
4、=180 ,所以ADC=EDC=90 . 所以 CDAB. 2 )由于 CEF BEF, 所以 CFE=BFE(全等三角形的对 应角相等) . 由于 CFE+BFE=180 ,所以 CFE=BFE=90 . 由于 ACB=90 , 所以 ACB=BFE. 所以 EF AC. 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载类型二:全等三角形的证明 3、如图, ACBD,DFCE, ECBFDA,求证: ADF BCE思路点拨 : 欲证 ADF BCE,由已知可知已具备一边一角,由公理的条 件判定仍缺少这角的另一
5、边,可通过 ACBD而得 解析: ACBD已知 AB-BDAB-AC等式性质 即 ADBC 在 ADF与 BCE中 ADF BCESAS 总结升华: 利用全等三角形证明线段 角 相等的一般方法和步骤如下:1 找到以待证角 线段 为内角 边 的两个三角形,2 证明这两个三角形全等;3 由全等三角形的性质得出所要证的角 线段 相等举一反三:【变式 1】如图,已知 AB DC,ABDC,求证: AD BC 【答案】 AB CD 3 4 在 ABD和 CDB中 ABD CDBSAS 1 2 全等三角形对应角相等 AD BC内错角相等两直线平行 【变式 2】如图,已知 EBAD于 B,FCAD于 C,且
6、 EBFC,ABCD求证 AFDE【答案】 EBAD已知 EBD90 垂直定义 同理可证 FCA90 EBDFCA ABCD,BCBC ACAB+BC 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载BC+CD BD 在 ACF和 DBE中 ACF DBESAS AFDE全等三角形对应边相等 类型三:综合应用4、如图, AD为 ABC的中线;求证:AB+AC2AD. 思路点拨 : 要证 AB+AC2AD,由图想到: AB+BDAD,AC+CDAD,所以AB+AC+BC2AD,所以不能直接证出;由 2AD想到构造
7、一条线段等于 2AD,即倍长中线;解析: 延长 AD至 E,使 DE=AD,连接 BE 由于 AD为 ABC的中线,所以 BD=CD. 在 ACD和 EBD中,所以 ACD EBDSAS. 所以 BE=CA. 在 ABE中,AB+BEAE,所以 AB+AC2AD. 总结升华: 通过构造三角形全等,将待求的线段放在同一个三角形中;举一反三:【变式 1】已知:如图,在BD的延长线于 E,Rt ABC中,AB=AC,BAC=90 , 1=2,CE求证: BD=2CE. 【答案】分别延长 CE、BA交于 F. 由于 BECF,所以 BEF=BEC=90 . 在 BEF和 BEC中,名师归纳总结 - -
8、 - - - - -第 4 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载所以 BEF BECASA. 所以 CE=FE= CF. 又由于 BAC=90 ,BECF. 所以 BAC=CAF=90 , 1+BDA=90 , 1+BFC=90 . 所以 BDA=BFC. 在 ABD和 ACF中,所以 ABD ACFAAS 所以 BD=CF.所以 BD=2CE. 5、如图, ABCD,BEDF, B D,求证: 1AECF,2AE CF,3 AFECEF 思路点拨 : 1 直接通过 ABE CDF而得, 2 先证明 AEB CFD,3 由12 可证明 AEF C
9、FE而得,总之,欲证两边 角 相等,找这两边 角 所在的两个三角形然后证明它们全等解析:1 在 ABE与 CDF中 ABE CDFSAS AECF全等三角形对应边相等 2 AEBCFD全等三角形对应角相等 AE CF内错角相等,两直线平行 3 在 AEF与 CFE中名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载 AEF CFESAS AFECEF全等三角形对应角相等 总结升华: 在复杂问题中,常将已知全等三角形的对应角 边 作为判定另一对三角形全等的条件举一反三:【变式 1】如图,在ABC中,延长 AC边上的
10、中线 BD到 F,使 DFBD,延长 AB边上的中线 CE到 G,使 EGCE,求证 AFAG【答案】在AGE与 BCE中 AGE BCESAS AGBC全等三角形对应边相等 在 AFD与 CBD中 AFD CBDSAS AFCB全等三角形对应边相等 AFAG等量代换 6、如图 ABAC,BDAC于 D,CEAB于 E,BD、CE相交于 F求证: AF平分 BAC思路点拨 :如能证得得 AD=AE,由于 ADB、AEC都是直角,可证得RtADFRt AEF,而要证 AD=AE,就应先考虑 Rt ABD与 Rt AEC,由题意已知AB=AC,BAC是公共角,可证得Rt ABDRt ACE解析:
11、在 Rt ABD与 Rt ACE中名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载Rt ABDRt ACEAAS AD=AE全等三角形对应边相等 在 Rt ADF与 Rt AEF中Rt ADFRt AEFHL DAF=EAF全等三角形对应角相等 AF平分 BAC角平分线的定义 总结升华: 条件和结论相互转化,有时需要通过多次三角形全等得出待求的结论;举一反三:【变式 1】求证:有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等【答案】依据题意,画出图形,写出已知,求证已知:如图,在ABC与 ABC 中 AB=AB
12、, BC=BC ,ADBC于 D,AD BC 于 D 且 AD=AD求证: ABC ABC证明: 在 Rt ABD与 Rt ABD 中Rt ABD Rt ABDHL B=B 全等三角形对应角相等 名师归纳总结 在 ABC与 ABC 中第 7 页,共 16 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - ABC ABC学习必备欢迎下载SAS 【变式 2】已知,如图, AC、BD 相交于O,AC=BD,C D90求证:OC=OD 【答案】 C=D=90 ABD、 ACB为直角三角形 在 Rt ABD和 Rt ABC中Rt ABDRt ABCHL AD=BC 在 AOD
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