2022年《数值分析简明教程》第二版课后习题答案高等教育出版社.docx

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1、名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -优秀学习资料 欢迎下载0.1 算法1、 （p.11 ,题 1）用二分法求方程x3x10在1,2 内的近似根,要求误差不超过 10-3.【解】由二分法的误差估量式|x*xk|ba1k103,得到2k12k12k11000. 两端取自然对数得k3ln1019,即至少需8 .96,因此取ln2二分 9 次. 求解过程见下表；xkfxk符号kakbk0 1 2 1.5 + 1 2 3 4 5 6 7 8 9 2、（ p.11 ,题 2） 证明方程 f x e x 10 x 2 在区间 0,1 内有唯独个实根； 使用二

2、分法求这一实根,要求误差不超过 110 2；2【解】由于 f x e x 10 x 2,就 f x 在区间 0,1 上连续,且0 1f 0 e 10 0 2 1 0,f 1 e 10 1 2 e 8 0,即 f 0 f 1 0,由连续函数的介值定理知,f x 在区间 0,1 上至少有一个零点 .又 f x e x 10 0,即 f x 在区间 0,1 上是单调的,故 f x 在区间 0,1 内有唯独实根 .由二分法的误差估量式|x*xk|bka11102,得到2k100.212k12两端取自然对数得k2ln1023 .6 .k7,即至少需二分32196438,因此取ln2bkxkfxk符号7

3、次. 求解过程见下表；kak0 0 1 0.5 1 2 3 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页,共 23 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -优秀学习资料 欢迎下载4 5 6 7 0.2 误差1（p.12 ,题 8）已知 e=2.71828 ,试问其近似值x12 .7,x22. 71,x2=2.71 ,x32 .718各有几位有效数字？并给出它们的相对误差限；【解】有效数字：由于|ex1|0. 018280. 051101,所以1x2 .7有

4、两位有效数字；. 第 2 页,共 23 页 2由于|ex2|0.008280. 051101,所以x22.71亦有两位有效数字；2由于|ex3|0.000280.00051103,所以3x2. 718有四位有效数字；2r1|exx1|0.051.85%；12 .7r2|exx2|0 . 051. 85%；22 .71r3|exx3|0.00050. 0184%；32 .718评（1）经四舍五入得到的近似数,其全部数字均为有效数字；（2）近似数的全部数字并非都是有效数字.2（ p.12 ,题 9）设1x2. 72,x22 .71828,3x0. 0718均为经过四舍五入得出的近似值,试指明它们的

5、肯定误差 限 与相对误差 限 ；【解】10 .005,r110 .0051.84103；x12. 7220 .000005,r2x20. 0000051.84106；22.7182830 .00005,r330.000056. 96104；x 30 .0718评经四舍五入得到的近似数,其肯定误差限为其末位数字所在位的半个单位3（ p.12 ,题10）已知x11 .42,2x0 .0184,x3184104的肯定误差限均为细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - -

6、- - - - - - - - -05.102优秀学习资料欢迎下载,问它们各有几位有效数字？【解】 由肯定误差限均为05.102知有效数字应从小数点后两位算起,故1x1. 42,有1841040.0184,也是有一位；三位；x20.0184有一位；而x31.1 泰勒插值和拉格朗日插值1、（p.54 ,习题 1）求作 f x sin x 在节点 0x 0 的 5 次泰勒插值多项式 p 5x ,并运算p 5 0 . 3367 和估量插值误差,最终将 p 5 0 . 5 有效数值与精确解进行比较；【解 】由 f x sin x,求得 f 1 x cos x；f 2 x sin x；f 3 x cos

7、 x； 4 5 6 f x sin x；f x cos x；f x sin x,所以 2 5 p 5x f x 0 f 1 x 0 x x 0 f x 0 x x 0 2 f x 0 x x 0 5.2 .5 2 5 f 0 f 1 0 x f 0 x 2 f 0 x 52 . .51 3 1 5x x x.3 .5 6 插值误差：R 5x | f | x x 0 6 | sin | x x 0 6 1x 6,如 x .0 5,就.6 .6 .63 50 . 3367 0 . 3367p 5 0 . 3367 0 . 3367 0 . 3303742887,而.3 .560 . 3367 6

8、5R 5 0 . 3367 2 . 02 10 0 . 5 10,精度到小数点后 5 位,.6故取 p 5 0 . 3367 0 . 33037,与精确值 f 0 . 3367 sin 0 . 3367 0 . 330374191 相比较,在插值误差的精度内完全吻合！2、（ p.55 ,题 12）给定节点x01 ,x1,1x23 ,x34,试分别对以下函数导出拉格朗日余项：（1）fx 4x33x2；R 3xf4i3xix 第 3 页,共 23 页 （2）fx x42x3【解 】依题意,n3,拉格朗日余项公式为0.4（1）f4x0R 3x 0；（2）由于f4x.4,所以细心整理归纳 精选学习资料

9、 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -R 3xf4 x1 x优秀学习资料4 欢迎下载1 x1 x3 x41 x3 xx.43、（ p.55 ,题 13）依据以下数据表,试用线性插值和抛物线插值分别运算sin0.3367的近似值并估量误差；i0 1 2 xix0.32 0.34 0.36 sinix0.314567 0.333487 0.352274 【解 】依题意,n3,拉格朗日余项公式为R 3xf4i3xix.40（1）线性插值由于x.0 3367

10、在节点x 和1x 之间,先估量误差R 1xfxx0xx 1sinxx0x 1xmaxxx 0x 1.2220. 0121104；须保留到小数点后4 为,运算过程余外两位；22yx1-x 0 2/4y=x-x 0x-x 1细心整理归纳 精选学习资料 P 1xxx1sinx00x0x1xx 0sinx1x 1xsinx0 第 4 页,共 23 页 xx0sinx 11x0xx0x 1x1x 0x 1P 1 x010 .33670. 32sin0.340 .340.3367sin0.32.02010.0167sin0 .340 .0033sin0.32.020 . 3304 - - - - - -

11、- - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -（2）抛物线插值优秀学习资料欢迎下载插值误差：R 2 x fx0x 0xx 1xx 2cosxx 0x 1x xx 2.36maxxxx 1xx2x30 .3 011106662xyy=x-x 0x-x 1x-x 2Max=3x 1-x03/80x0x1x2抛物线插值公式为：P 2xx2sinx0xx0x1x2sinx 1xx1x2x0sinx 2xx 1xx0x 1x0x2x 1x0xx 2x2x1xx01x 1x x2x sinx 0

12、xx0x2xsinx 1x 1xxx 0sinx2.0 02222sin0 .3238.911sin0.342. 7555sin0. 36P 20. 33671053.84450 .0221053.8445sin0 .3238.911sin0.342. 7555sin0. 360 . 330374390 .022经四舍五入后得：P 20. 33670. 330374,与sin0. 33670 .330374191精确值相比较,在插值误差范畴内完全吻合！1.3 分段插值与样条函数1、（ p.56 ,习题 33）设分段多项式S x x3x210x1 第 5 页,共 23 页 2x3bx2cx1x2

13、是以 0,1,2为节点的三次样条函数,试确定系数b,c 的值 .【解 】依题意,要求Sx 在 x=1 节点细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -函数值连续：S 1 优秀学习资料2欢迎下载1 2c11S 1 ,1 3121 3b即：bc11 312,21c631 22b1cS 1 ,一阶导数连续：S1 即：2 bc12 2,即解方程组（ 1）和（ 2）,得b0S x x3x22 xx123 x23 x1121x2由于S 1 3

14、212622S 1 ,所以 Sx 在 x=1 节点的二阶导数亦连续；2、 已知函数y112的一组数据,x00 ,x1,1x 22和y0,1y105.,y20.2,x（1）求其分段线性插值函数；（2）运算f1.5 的近似值,并依据余项表达式估量误差；S 1x和S 2x,利用【解 】（1）依题意,将x 分为 0,1和1,2两段,对应的插值函数为拉格朗日线性插值公式,求得S 1xxx 1y0xx0y 1x11x00 .50.5x1；35,x1x0x0x 10110S 2xxx2y 1xx 1y2x205.x10.20 .3x08.x 1x2x2x 11221（2）f1 . 5 112.0307692

15、3076 9,而S 2 1 .5 03.15.0.80.1 . 5实际误差为：|f 15.S2 15.|0 .04230. 05；f3x 24x 1x2, 可由f 1x 12x2,f2x2 1x3x2,x2 123 1x24知M2f2 1 0 .5,就余项表达式0. 062505.Rx|f2|x1 x2|M20 .520 .54.22 .1.4 曲线拟合1、（ p.57 ,习题 35）用最小二乘法解以下超定方程组：细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页,共 23 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 -

16、- - - - - - - - - - - - - -2x4y11优秀学习资料欢迎下载【解 】3 x5y311 23x5y32x2y622xy72,x2y62xy7构造残差平方和函数如下：Qx ,y2x4y分别就 Q对 x 和 y 求偏导数,并令其为零：Qx,y0：6xxy1748 1 ,xQx,y0：346y2,y解方程组（ 1）和（ 2）,得x 46 17 483 . 04029 , y 6 48 3 17 1 . 24176273 2732、（ p.57 ,习题 37）用最小二乘法求形如 y a bx 2的多项式,使之与以下数据相拟合；【解 】令 X x 2,就 y a bX 为线性拟合

17、,依据公式 p.39, 公式 43 ,取 m=2,a1=0,N=5,求得细心整理归纳 精选学习资料 5 ab5Xi5 ab5x i25y i 1； 第 7 页,共 23 页 a5Xib5Xi2i15x i2b5i145i1iyi5xi2yiax iX2 i1i1i1i1i1i1Xi yi =x i2yi 依据上式中的求和项,列出下表xiyiXi =x i2 Xi2=x i4 191936113032168592532.362539062520227.53149961923521470893873.314442085136105845.24497.819363748096189340.8157

18、271.4 5327 7277699 369321.5 将所求得的系数代入方程组（1）和（ 2）,得；5 a05327 b271 4. 15327 a07277699 b369321 .52 a271 . 47277699369321 . 553277791878 . 10 . 9725857277699532753278011566b5369321 5.5327271 4.400859 .7.0 05004；57277699532753278011566即：y0 .972580.05004x2； - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

19、名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -优秀学习资料 欢迎下载2.1 机械求积和插值求积1、（p.94 ,习题 3）确定以下求积公式中的待定参数,使其代数精度尽量高,并指明求积公式所具有的代数精度：1 hfxdxA 0fhA 1f0A 2fh；4f0fh,可以h 2 1fx dxA 0f1A 1f1A 2f3；0424 3 1fx dx1f0 A 0fx0；04【解 】（1）令fx,1x,x2时等式精确成立,可列出如下方程组：A 0A 1A 22 h 1 A 0A 220 2 A 0A 2h 3 3解得：A 0A 2h,A 14h,即：xhfhx

20、dx f h 34不成立,故公式（33h验证,对fx x3公式亦成立,而对fx1）具有 3 次代数精度；f12f3,可以（2）令fx,1x,x2时等式精确成立,可列出如下方程组：A 0A 1A211 A 02A 13A 2223A 012A 127A2163 解得：A 0A 22,A 11,即：1fxdx12f13303424验证,对fx x3公式亦成立,而对fxx4不成立,故公式（2）具有 3 次代数精度；公式亦成立,而对（3）令fx,1x时等式精确成立,可解得：A 034 2x 03即：1fxdx1f03f2,可以验证,对fxx20443fxx3不成立,故公式（3） 具有 2 次代数精度；

21、I1fxdx的插值型2、（p.95 ,习题 6）给定求积节点x01,x 13,试构造运算积分440求积公式,并指明该求积公式的代数精度；【解 】依题意,先求插值求积系数：细心整理归纳 精选学习资料 A 01xx 1dx1x3dx21x23x 11； 第 8 页,共 23 页 4 30x 0x 101024244 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -A 11xx 0dx1优秀学习资料2欢迎下载1x11；x1dx12 x4 10x 1x 0032402插

22、值求积公式：44当1fx nfxk1f11f31；左 =右；1 2；左 =右；dxA k02424k0fx1,左边 =11fxdx1111；右边 =022当fxx,左边 =1fx dx1x211；右边 =1 21130202424当fx x2,左边 =1fx dx1x 311；右边 =1 21195 16；左 右；030316216故该插值求积公式具有一次代数精度；2.2 梯形公式和 Simpson 公式1、（ p.95 ,习题 9）设已给出fx1exsin4x的数据表,1.00 x 0.00 0.25 0.50 0.75 fx 1.000 00 1.655 34 1.551 52 1.066

23、 66 0.721 59 分别用复化梯形法与复化辛普生法求积分I1fx dx的近似值；0【解 】（1）用 复化梯形法 ：a0 ,b,1n5 ,hbna10 .254T 5n1hfxkfxk1hfa2n1fxkfbk022k1T 50.25f0 .002f0. 25f0 .50f0. 75f1 .002T 50. 1251 .0000021. 655341 .551521. 066660. 72159T 51.28358（2）用 复化辛普生法 ：细心整理归纳 精选学习资料 a,0b,1n2 ,hba1 2.0 5n11n1fxkf b 第 9 页,共 23 页 nS 2n1hfx k4fx k1

24、fx k1hfa 40fxk2k0662k2k1S 2.0 5f 0 . 00 4f.0 25 f 0 . 75 2f.050 f .100 6S 21 1 . 0000010 . 8883 . 10304.072159 .13093912 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -优秀学习资料I欢迎下载,为使截断误差不超过1105,2、（ p.95 ,习题 10）设用复化梯形法运算积分1exdx02问应当划分区间【0,1 】为多少等分？假如改用复化辛普生

25、法呢？xex,设需划分n 等分,【解 】（1）用 复化梯形法 ,a0 ,b,1fxfxf就其截断误差表达式为：|R T|IT n|ba3maxf103e；213；12n212n3依题意,要求|R T|1105,即e105212. 849,可取n2e21105n212n26（2）用 复化辛普生法 ,a0 ,b,1fxfxfx ex,截断误差表达式为：|R S|I|S n| ba 5maxf 10 5ee4；180 2 n 42880 n42880 n依题意,要求|R S1105,即e105.370666,可取n4,划分 8 等分；2e105n412880n4214402.3 数值微分1、（ p.

26、96 ,习题 24）导出三点公式51 、52 和53 的余项表达式fx01f3fx0f4fx1ffx251 2hfx 11fx0x2 522hfx21x04fx 13x253 2h【解 】假如只求节点上的导数值,利用插值型求导公式得到的余项表达式为细心整理归纳 精选学习资料 R x kfx kp xkfn1knx kxjx1,就f0h2 第 10 页,共 23 页 n1 .j j0 k由三点公式 51 、52 和53 可知,n2,hx1x0x2R x 0f21 0j21x0xjf0x 0x 1x 0x 221 .33 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -R x 1f