2022年《数学分析》第六章微分中值定理及其应用.docx

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1、名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -第六章优秀学习资料欢迎下载微分中值定理及其应用（方案课时： 8 时 ）一 1 中值定理（ 3 时 ）思路 : 在建立了导数的概念并争论了其运算后,应考虑导数在争论函数方面的一些作用；基于这一目的,需要建立导数与函数之间的某种联系；仍是从导数的定义动身：x lim x 0 f xx x f0 x 0 = f 0x .如 能 去 掉 导 数 定 义 中 的 极 限 符 号 , 即f x f x 0 . f x 0 ,就目的就可达到 .这样从几何上说就是要考虑x x 0曲线的割线与切线之间的平行关系 . 一方面要考

2、虑给定割线 , 找平行于该割线的切线 ; 另一方面要考虑给定切线 , 找平行于该切线的割线 . 1如给定的割线是水平的、 斜的或曲线的方程以参数方程的形式给出, 就分别可找出相应的切线平行于该割线,再分析所需要的条件,就可建立起Rolle 定理、 Lagrange定理、Cauchy 定理 . 这三个微分中值定理用一句话概括：对于到处连续、到处有切线曲线的每一条割线都可以找到平行于该割线的切线 . 2如给定切线 , 找平行于该切线的割线 , 就不肯定能实现. 二 微分中值定理 : 1. Rolle 中值定理 : 表达为 Th1. 证 定理条件的充分但不必要性 . 2. Lagrange中值定理

3、: 表达为 Th2. 证 图解 .用分析方法引进帮助函数 , 证明定理 . Lagrange 中值定理的各种形式 . 关于中值点的位置 . 系 1 函数 f x 在区间 I 上可导且 f x 0 , f x 为 I 上的常值函数 . 证 系2 函 数f x 和gx在区间I上 可 导且fx gx ,fx gxc ,x.I0上连续 ,在x0内可系 3 设函数fx在点x 的某右邻域x导 .如lim x x0fxfx00 存 在, 就右导数f0x也 存 在 , 且 有细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页,共 20 页 - - - - - -

4、 - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -fx0fx 00.证 优秀学习资料欢迎下载但是 , fx00不存在时 , 却未必有f0x不存在 . 例如对函数2 1x sin , x 0 ,f x x,0 x 0 .虽 然 f 0 0 不 存 在 , 但 f x 却 在 点 x 0 可 导 可 用 定 义 求 得f 0 0 . Th3 导数极限定理 设函数 f x 在点 0x 的某邻域 x 0 内连续 , 在 x 0 内 可 导 . 如 极 限 x lim x 0 f x 存 在 , 就 f x 0 也 存 在 , 且f x 0 x lim

5、x 0 f x . 证 由该定理可见 , 如函数 f x 在区间 I 上可导 ,就区间 I 上的每一点 ,要么是导函数 f x 的连续点 ,要么是 f x 的其次类间断点 .这就是说 ,当函数 f x 在区间 I 上点点可导时 , 导函数 f x 在区间 I 上不行能有其次类间断点 .3. Cauchy 中值定理 :Th 4 设函数 f 和 g 在闭区间a ,b上连续 , 在开区间a ,b 内可导 , f 和 g 在a,b内不同时为零 , 又gagb.就在a ,b内至少存在一点,使得ffbfa. ggbgaxfbfagx. 验证F x证分析引出帮助函数Fxfgbga在a,b上满意 Rolle

6、定理的条件 , a,b ,fag0.Fffbgbga必有g0, 由于否就就有f0.这与条件 “f 和 g 在a ,b内不同时为零”冲突 . Cauchy 中值定理的几何意义. 第 2 页,共 20 页 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -优秀学习资料 欢迎下载Ex 1P163 14；三 中值定理的简洁应用: 讲 1 时 内可导 , 就a,b, 1. 证明 中值点的存在性 :例 1设函数f 在区间a ,b 上连续 , 在a,

7、b使得f b f a ln bf . a证 在 Cauchy 中值定理中取 g x ln x . 例 2 设 函 数 f 在 区 间 a , b 上 连 续 , 在 a , b 内 可 导 , 且 有f a f b 0 .试证明 : a , b , f f 0 . 2. 证明恒等式 : 原理 .例 3 证明 : 对 x R , 有 arctgx arcctgx . 2例 4 设 函 数 f 和 g 可 导 且 f x 0 , 又 f g.0 就f gg x cf x .证明 g 0 . f例 5 设对 x , h R ,有 | f x h f x | Mh 2,其中 M 是正常数 .就函数 f

8、 x 是常值函数 . 证明 f 0 . 3. 证明不等式 : 原理 . 例 6 证明不等式 : h 0 时, h2 arctgh h . 1 h例 7 证明不等式 : 对 n,有 1ln 1 1 1. n 1 n n4. 证明方程根的存在性 :例 8 证明方程 sin x x cos x 0 在 0 , 内有实根 . 例 9 证明方程 4 ax 3 3 bx 2 2 cx a b c 在 0 , 1 内有实根 . 四 单调函数（结合几何直观建立）1 可导函数单调的充要条件Th 5 设函数fx在区间a,b内可导 . 就在a,b内f x 或 在a ,b内0 . 第 3 页,共 20 页 f x 0

9、 或细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -优秀学习资料 欢迎下载例 10 设 f x x 3 3 x 1 .试争论函数 f x 解:确定定义域 . 函数 f x 的定义域为的单调区间 . , . 求导数并分解因式.fx3x233 x1 x1 1,确定导数为0 的点和不存在的点 .令f x 0,得x,1 x将导数为 0 的点和不存在的点作为分点插入函数的定义域列表争论各个区间上的单调性.列表x,1 1-1,1 1 ,1fx00

10、 f x2 可导函数严格单调的充要条件Th6 设函数ffx 在区间a ,b内可导 . 就在a,b内f x 或 对xa,b,有fx0 或0 ; 在a,b内任子区间上x0.3 可导函数严格单调的充分条件 推论 见 P124 例 11 证明不等式ex1x ,x0 .17. Ex 1P124125 2 不定式的极限一. 0 型: 0Th 1 L Hospital 法就 证 例 1 lim x cos1 cosxtg 2 xx .1例 2 l i m x 0exl n 1x 22x 2. 2 时 应用技巧 . 例 3l i m x 0 1xx. 作代换tx或利用等价无穷小代换e直接运算 . 第 4 页,

11、共 20 页 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -例 4lim x 0x2s i n 1x. 优秀学习资料欢迎下载 L Hospital 法就失效的例s i n x二型: . 前四个是幂指Th 2 L Hospital 法就 证略 例 5x limlnx,0. x x e例 6lim x. x3注: 关于ex,x,lnx当 x时的阶 . 例 7 lim xxsinx. L Hospital 法就失效的例x三.其他待定型 :

12、0,1,00,0,型的 . 例 8lim x 0xlnx .g0x0,g03.求f0. 第 5 页,共 20 页 例 9limsecxtgx. x2例 10lim x 0xx.例 11lim x 011x.x例 12lim x 0cosx1.x 2例 13lim n11n. 2 n例 14 设fxgx ,x0 ,且g0 x,0x.0lim x 0g. 解f0 0lim x 0fx xf 0 lim xgx 0xx2x31g00lim x 0gx 1lim x 0gxxg02x222Ex 1P132133 15. 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - -

13、 - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -优秀学习资料 欢迎下载 3 Taylor 公式 3 时 一. 问题和任务 : 用多项式靠近函数的可能性 ; 对已知的函数 , 期望找一个多项式靠近到要求的精度 . 二. Taylor 1685 1731 多项式 : 分析前述任务,引出用来靠近的多项式应具有的形式定义 Taylor 多项式 Pn x 及 Maclaurin 多项式 例 1 求函数 f x x 3 4 x 2 2 在点 x 0 2 的 Taylor 多项式 . 三. Taylor 公式和误差估量 : 称

14、R n x f x P n x 为余项 . 称给出 Rn x 的定量或定性描述的式f x P n x R n x 为函数 f x 的 Taylor 公式 . 1. 误差的定量刻画 整体性质 Taylor 中值定理: Th 1 设函数 f 满意条件 : 在闭区间 a , b 上 f 有直到n阶连续导数 ; 在开区间 a , b 内 f 有 n 1 阶导数 . 就对 x a , b , a , b , 使 n f a 2 f a nf x f a f a x a x a x a .2 n . n 1 n k n 1 f x a n 1 f a x a k f x a n 1 . n 1 . k 0

15、 k . n 1 .证 1P138139. 称这种形式的余项 Rn x 为 Lagrange 型余项 . 并称带有这种形式余项的 Taylor 公式为具 Lagrange 型余项的 Taylor 公式 . 写为Lagrange 型余项仍可a0R nxfn1 axaxan1,0,1. n1 .时, 称上述 Taylor 公式为 Maclaurin 公式 , 此时余项常细心整理归纳 精选学习资料 第 6 页,共 20 页 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - -

16、 -优秀学习资料 欢迎下载写为R nxn11 .fn1 xxn1,01. 2. 误差的定性描述 局部性质 Peano 型余项 : Th 2 如函数 f 在点 a 的某邻域 a 内具有 n 1 阶导数 , 且f n a 存在 , 就 n f x f a f a x a f a x a 2 f a x a n x a n , .2 n .x a . 证 设 R n x f x P n x , G x x a n . 应用 L Hospital 法就 n 1 次,并留意到 f n a 存在 , 就有0lim x a RG n x x 0lim x a G R n nn 11 xx lim x a f

17、 n 1 x n n f n1 1 a 2 x f na a x a = n 1 n 1 n 1. lim x a f xx a f a f n a 0 . 称 R n x x a n为 Taylor 公式的 Peano 型余项 , 相应的Maclaurin 公式的 Peano 型余项为 R n x x . 并称带有这种形 n式余项的 Taylor 公式为具 Peano 型余项的 Taylor 公式 或Maclaurin 公式 . 四. 函数的 Taylor公式 或 Maclaurin公式 绽开 : 1. 直接绽开 : 例 2 求1fxex的 Maclaurin 公式 . 01. 第 7 页,

18、共 20 页 xx2xnexxn1,解exf.1x.2n .n1 .例 3 求sinx的 Maclaurin 公式 . 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -解sinxxx3x5优秀学习资料欢迎下载mx , 1m1x2m1R 2.3.52 m1 .R2mxx2m1sinxm1,01. 2m1 .2例 4求函数fxln1x的具 Peano型余项的 Maclaurin 公式 . 解fnx 1n1n1 .,fn01n1n1 . 1

19、x nln1xxx2x31n1xnxn. 23n例5 把 函 数fx t gx 展 开 成 含x 项 的 具Peano 型 余 项 的Maclaurin 公式 . 2. 间接绽开 : 利用已知的绽开式代换 , 求新的绽开式 . , 施行代数运算或变量例 6 把函数 f x sin x 2绽开成含 x 项的具 Peano 型余项的Maclaurin 公式 . 3 5 7解 sin x x x x x x 7 , .3 .5 .76 10 14sin x 2x 2 x x x x 14 . .3 .5 7 .例 7 把函数 f x cos 2 x 绽开成含 x 项的具 Peano 型余项的Macl

20、aurin 公式 . 2 4 6解 c o s 1 x x x x 6 , .2 .4 .64 6 6cos 2 x 1 2 x 2 4 x 2 x x 6, 留意 , kx x , k 0.3 6 .4 5 6cos 2x 11 cos 2 x 1 x 2 2 x 2 x x 6 . 2 .3 6 .例 8 先把函数 f x 1 绽开成具 Peano型余项的 Maclaurin 公1 x式.利用得到的绽开式 , 把函数 g x 1 在点 x 0 2 绽开成具3 5 xPeano 型余项的 Taylor 公式 . 细心整理归纳 精选学习资料 第 8 页,共 20 页 - - - - - - -

21、 - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -解fn1nn .,f优秀学习资料n欢迎下载n0 1 n . 1x n1gx 1fx 1xx2x31nxnnxn;2 n+x2 n.11112 132 35 x5 x1315 x13=15x25 132x2 215nx131313例 9 把函数 shx绽开成具 Peano 型余项的 Maclaurin 公式 ,并与sin 的相应绽开式进行比较. 2m1x2m1. 解ex1xx2xnxn,.1.2n .ex1xx21 nxnxn; .1.2n

22、.shxexexxx3x5x2m1而2.3.52m1 .sinxxx3x51 m1x2m1x. .3.52m1 .五. Taylor公式应用举例 : 1. 证明e是无理数 : 例 10 证明 e是无理数 . 证把e 绽开成具 Lagrange 型余项的 Maclaurin 公式 , 有整数 + 第 9 页,共 20 页 - - - - - - - - - e11111ne1 .,01. .2.3n .反设 e是有理数 , 即epp和 q 为整数 , 就有n.eq细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师归纳总结 精品学习资料 - - - - -

23、- - - - - - - - - -e1. 优秀学习资料欢迎下载n对nq,n .en .p也是整数 . 于是 , e1n .p整数 = 整数整qnq数 = 整数 .但由0,10ee3 ,因而当n3时,e1不n可能是整数 . 冲突 . 2. 运算函数的近似值 : 例 11 求 e精确到 .0 000001 的近似值 . 解 e 1 12 1. .3 1n 1. n e1 . , 0 1 . 注 意 到 0 ,1 0 e e 3 , 有 Rn 1 3 . 为 使 n 1 .30 . 0 0 0 0 0 1 , n 1 .只要取 n 9 . 现取 n 9 , 即得数 e的精确到 .0 000001

24、 的近似值为e 1 1 1 1 12 . 718281 . 2 . .3 .93. 利用 Taylor 公式求极限 : 原理 : x x例 12 求极限 limx 0 ax a2 2 , a 0 . 2解 a xe x ln a1 x ln a x ln 2a x 2 , 22a x1 x ln a xln 2a x 2 ; 2x x 2 2 2a a 2 x ln a x .细心整理归纳 精选学习资料 第 10 页,共 20 页 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - -

25、- - - - -lim x 0axax2优秀学习资料欢迎下载2a. lim x 0x2ln2a2x2lnx2x4 证明不等式：原理 . 例 13 证明 : x 0 时, 有不等式 e x1 x . Ex 1P141 13. 4 函数的极值与最大（小）值（ 4 时 ）一 可微函数极值点判别法 : 极值问题 :极值点 ,极大值仍是极小值 , 极值是多少 .1. 可微极值点的必要条件:, 可疑点的求Th1Fermat 定理 取极值的必要条件 . 函数的驻点和 连续但 不行导点统称为可疑点法. 2. 极值点的充分条件 : 对每个可疑点 , 用以下充分条件进一步鉴别是否为极（结合几何直观建立极值点的判

26、别法）Th 2 充分条件 设函数 f x 在点 x 连续 , 在邻域 x 0 , x 0 和 x 0 , x 0 内可导 . 就 在 x 0 , x 0 内 f x 0 , 在 x 0 , x 0 内 f x 0 时, x 为 f x 的一个微小值点 ; 在 x 0 , x 0 内 f x 0 , 在 x 0 , x 0 内 f x 0 时 ,x 为 f x 的一个极大值点 ; 如 f x 在上述两个区间内同号 , 就 0x 不是极值点 . 或列表为fxx0,x0x0x 0x0x0不存在细心整理归纳 精选学习资料 fx微小 第 11 页,共 20 页 值点 - - - - - - - - -

27、- - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -xx0,x0优秀学习资料欢迎下载x0x 0x00fx不存在fxx0,x0极大x 0x0值点xx00fx不存在fxx0,x0非极x 0x0值点xx00fx不存在fx非极ffx的驻点值点Th 3 充分条件 “ 雨水法就” 设点x 为函数且fx0存在 . 就当fx00时, x 为fx的一个极大值点 ; 当fx00时, x 为fx的一个微小值点 . 证法一fx0lim x x0fxf0x0lim x x 0fx .xxx 与xx0xx0当fx00时, 在点x

28、 的某空心邻域内fx 0 ,xx 0异号 , 证法二用 Taylor公式绽开到二阶 , 带 Peano型余项 . 第 12 页,共 20 页 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -Th 4 充 分 条 件 优秀学习资料f欢迎下载x 0fn1x 00, 而 设x0ff n x 0 0 .就 n 为奇数时 , x 不是极值点 ; n 为 偶 数 时 , 0x 是 极 值 点 . 且 f n x 0 0 对 应 极 小 ; f n x 0 0 对应极大 . 例1 求函数 f x 2 x 5 3x 2的极值 . 例2 求函数 f x x 2 432的极值 . x例3 求函数 f x x 4 x 1 3的极值 . 注 Th 2、 Th 3、 Th 4 只是极值点判别的充分条件 .如函数1fxex2,x0 ,它在x0处取微小值 ,但因fk00 ,k,12 ,.所,0x.0以无法用 Th 4 对它作出判别 . 二 函数的最大值与最小值 : 设函数 f x 在闭区间 a , b 上连续且仅有有限个可疑点x 1 , x 2 , , x n . 就x max a , b f x =max f a , f