2022年八年级数学上册几何添辅助线专题.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 全等三角形问题中常见的帮助线的作法学习必备欢迎下载 有答案 条边或二个角,从而为证明全等三角形制造边、角之间的相等条件；常见帮助线的作法有以下几种：最主要的是构造全等三角形,构造二条边之间的相等,二个角之间的相等；名师归纳总结 总论：全等三角形问题最主要的是构造全等三角形,构造二条边之间的相等,构造二个角之1遇到等腰三角形,可作底边上的高,利用“ 三线合一” 的性质解题,思维模式是全等变C第 1 页,共 8 页间的相等换中的“ 对折” 法构造全等三角形【三角形帮助线做法】2遇到三角形的中线,倍长中线,使延长线段与原中线长相等,构造全等三角形,利

2、用的图中有角平分线,可向两边作垂线；也可将图对折看,对称以后关系现；思维模式是全等变换中的“ 旋转”法构造全等三角形角平分线平行线,等腰三角形来添；角平分线加垂线,三线合一试试看；线段垂直平分线,常向两端把线连；要证线段倍与半,延长缩短可试验；3遇到角平分线在三种添帮助线的方法,（1）可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂三角形中两中点,连接就成中位线；三角形中有中线,延长中线等中线；线,利用的思维模式是三角形全等变换中的“ 对折”,所考学问点经常是角平分线的性1. 等腰三角形“ 三线合一” 法：遇到等腰三角形,可作底边上的高,利用“ 三线质定理或逆定理 （2）可以在角平分线上的一点作该角平分

3、线的垂线与角的两边相交,合一” 的性质解题形成一对全等三角形；（ 3）可以在该角的两边上,距离角的顶点相等长度的位置上截2. 倍长中线： 倍长中线,使延长线段与原中线长相等,构造全等三角形取二点,然后从这两点再向角平分线上的某点作边线,构造一对全等三角形；4过图形上某一点作特定的平分线,构造全等三角形, 利用的思维模式是全等变换中的“ 平3. 角平分线在三种添帮助线移” 或“ 翻转折叠”5截长法与补短法,详细做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等,或是将某条4. 垂直平分线联结线段两端5. 用“ 截长法” 或“ 补短法”：遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长,线段延长,是之与特定线段相

4、等,再利用三角形全等的有关性质加以说明这种作法,适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目6. 图形补全法：有一个角为60 度或 120 度的把该角添线后构成等边三角形6已知某线段的垂直平分线,那么可以在垂直平分线上的某点向该线段的两个端点作连线,出一对全等三角形；7. 角度数为 30、60 度的作垂线法： 遇到三角形中的一个角为30 度或 60 度,可以从角一边上一点向角的另一边作垂线,目的是构成30-60-90的特别直角三角形,然后计特别方法：在求有关三角形的定值一类的问题时,常把某点到原三角形各顶点的线段连算边的长度与角的度数,这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角；从而为证明全等三接起

5、来,利用三角形面积的学问解答一、倍长中线（线段）造全等A角形制造边、角之间的相等条件；8. 运算数值法： 遇到等腰直角三角形,正方形时,或30-60-90 的特别直角三角形,或例 1、（“ 期望杯”试题）已知,如图 ABC中,AB=5,AC=3,就中线 AD的取值范畴是 _. 解：延长 AD至 E 使 AE2AD,连 BE,由三角形性质知40-60-80的特别直角三角形, 常运算边的长度与角的度数,这样可以得到在数值上相等的二AB-BE 2ADAB+BE 故 AD的取值范畴是1AD4 BD- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载ABC 中,

6、AB=2AC,AD平分BAC ,且 AD=BD,求证： CDAC 1、如图,例 2、如图,ABC中, E、F 分别在 AB、AC上, DEDF, D是中点,试比较BE+CF与 EF 的解：（截长法）在AB上取中点 F,连 FD ADB是等腰三角形,F是底 AB中点,由三线合一知DFAB,故 AFD90大小 . 解： 倍长中线 , 等腰三角形“ 三线合一” 法 延长 FD至 G使 FG2EF,连 BG,EG, ADF ADC（SAS）C明显 BGFC,DEDF,由等腰三角形的三线合一知A在 EFG中,留意到EG EF E ACD AFD90 即： CDAC 在 BEG中,由三角形性质知F2、如图

7、, AD BC,EA,EB分别平分 DAB, CBA,CD过点 E,求证 ;ABAD+BC EGBG+BE BDC解：（截长法）在AB上取点 F,使 AFAD,连 FE AD ADE AFE（SAS）故： EFBE+FC ADE AFE,E例 3、如图,ABC中, BD=DC=AC,E是 DC的中点,求证：AD平分 BAE. ADE+BCE180ABAB名师归纳总结 BDECQ第 2 页,共 8 页解：延长 AE至 G使 AG 2AE,连 BG,DG, AFE+BFE180P明显 DGAC,GDC=ACD 故 ECB EFB 由于 DC=AC,故ADC=DAC FBE CBE（AAS）故有 B

8、FBC C在 ADB与 ADG中,从而 ;AB AD+BC BDAC=DG,AD AD,3、如图,已知在ABC内,BAC600,C400,P,Q分别在 BC,CA上,并且 AP,ADB=ADC+ACD=ADC+GDC ADG BQ分别是BAC ,ABC 的角平分线；求证：BQ+AQ=AB+BP 故 ADB ADG,故有 BAD=DAG,即 AD平分 BAE 解：（补短法 , 运算数值法）延长AB至 D,使 BDBP,连 DP 二、截长补短在等腰BPD中,可得 BDP 40- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载从而 BDP 40 ACP A

9、DP ACP（ASA）故 ADAC 又 QBC40 QCB 故 BQ QC BD BP 从而 BQ+AQ=AB+BP 4、如图,在四边形ABCD中, BC BA,AD CD,BD平分ABC,D分析： 此题连接AC,把梯形的问题转化成等边三角形的问题,然后利用已知条件和等求证：AC1800解：（补短法）延长BA至 F,使 BFBC,连 FD A BDF BDC（SAS）边三角形的性质通过证明三角形全等解决它们的问题；A D 故 DFB DCB ,FDDC 解：有BCADAE又 ADCD 连接 AC,过 E 作EF /BC并 AC 于 F 点C故在等腰BFD中就可证AEF 为等边三角形60E DF

10、B DAF B即AEEF,AEFAFE故有 BAD+BCD180CFE120B60B A C D 5、如图在ABC中, ABAC, 1 2,P 为 AD上任意一点,求证;AB-ACPB-PC 又AD /BC,BAD120BA又DEC60AEDFECE F 12在ADE 与FCE 中EADCFE,AEEF,AEDFECB C PADEFCEDCADFCBCADAE点评： 此题的解法比较新奇,把梯形的问题转化成等边三角形的问题,然后利用全等三解：（补短法）延长AC至 F,使 AFAB,连 PD 角形的性质解决；MNAD于 A.E 为 MN上一点,ABC周长记为P , ABP AFP（SAS）三、平

11、移变换例 1 AD为 ABC的角平分线,直线故 BPPF 由三角形性质知PB PCPFPC BF=BA+AF=BA+AC 又 AO=AO; OAE= OAF 从而 PB=BE+CE+BCBF+BC=BA+AC+BC=.就OAE OAFSAS,BDCOE=OF;AE=AF; 例 2 如图,在ABC的边上取两点D、 E,且 BD=CE,求证： AB+ACAD+AE. AOF=AOE=60 度. 证明：取 BC 中点 M,连 AM 并延长至 N,使 MN=AM, 连 BN,DN.就 COF= AOC- AOF=60 度=COD; 又 CO=CO; OCD= OCF. 故 OCD OCFSAS,OD=

12、OF;CD=CF. OE=OD DC+AE=CF+AF=AC. 2、如图,ABC中, AD平分 BAC,DGBC且平分 BC, DEAB于 E,DFAC于 F. （ 1）说明 BE=CF的理由；（2）假如 AB=a , AC=b ,求 AE、BE的长 . 解： 垂直平分线联结线段两端 连接 BD,DC ADG垂直平分 BC,故 BDDC 名师归纳总结 BD=CE, AD,CE相交于点 O,求证： OE=OD,由于 AD平分 BAC, DE AB于 E,DF AC于 F,故有BEGC第 4 页,共 8 页DM=EM, EDDF F DMN EMASAS, 故 RT DBERT DFC（HL）DD

13、N=AE, 同理 BN=CA. 故有 BECF；延长 ND 交 AB 于 P,就 BN+BPPN,DP+PAAD, AB+AC2AE 相加得 BN+BP+DP+PAPN+AD, 各减去 DP,得 BN+ABDN+AD, AE（ a+b）/2 AB+ACAD+AE ；BE=a-b/2 四、借助角平分线造全等1、如图,已知在ABC中, B=60 , ABC的角平分线应用：1、如图, OP 是 MON 的平分线, 请你利用该图形画一对以OP 所在直线为对称轴的全等DC+AE =AC三角形；请你参考这个作全等三角形的方法,解答以下问题：- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - -

14、 - - （1）如图,在学习必备欢迎下载ABC 中, ACB 是直角, B=60 ,AD、CE 分别是 BAC、BCA名师归纳总结 的平分线, AD、CE 相交于点 F；请你判定并写出FE 与 FD 之间的数量关系；有等腰三角形经常用的帮助线第 5 页,共 8 页（2）如图,在ABC 中,假如 ACB 不是直角,而 1中的其它条件不变,请问,你在 1中所得结论是否仍旧成立？如成立,请证明；如不成立,请说明理由；作顶角的平分线,底边中线,底边高线F B 例：已知,如图, AB = AC,BDAC于 D,M B 求证： BAC = 2DBC O P E D E F D 证明：（方法一）作 BAC的

15、平分线 AE,交 BC于 E,就 1 = 2 = 1 2BAC 图N A 图C A 图C 又 AB = AC AEBC o 2 ACB = 90A第 23 题图 12解：（1）FE 与 FD 之间的数量关系为FEFD（2）答：（1）中的结论FEFD仍旧成立；BDAC oBEDC DBCACB = 90证法一： 如图 1,在 AC 上截取AGAE,连结 FG 2 = DBC 12,AF 为公共边, BAC = 2DBC AEFAGF（方法二）过 A 作 AEBC于 E（过程略）AFEAFG,FEFGB （方法三）取 BC中点 E,连结 AE（过程略）B60, AD、CE 分别是BAC、BCA的平

16、分线有底边中点时,常作底边中线2360例：已知,如图,ABC中,AB = AC,D 为 BC中点, DEAB于 E,DFAC于 F,AAFECFDAFG60E F D 求证： DE = DF CFG60证明：连结 AD. 34及 FC 为公共边1 4 D为 BC中点,EFCFGCFDA 2 G 图 1 3 C BD = CD BDCFGFD又 AB =AC FEFDAD平分 BAC 证法二： 如图 2,过点 F 分别作FGAB于点 G,FHBC于点 H DEAB,DFAC DE = DF B60, AD、CE 分别是BAC、BCA的平分线将腰延长一倍,构造直角三角形解题可得2360,F 是AB

17、C 的内心B 例：已知,如图,ABC中, AB = AC,在 BA延长线和AENGEF60B1,FHFGE G F D AC上各取一点 E、F,使 AE = AF,又HDF1H 求证： EFBC GEFHDFA 1 图 2 3 4 C 证明：延长 BE到 N,使 AN = AB,连结 CN,就 AB = AN = AC 可证EGFDHF2 B = ACB, ACN = ANC BFCo B ACB ACNANC = 180FEFDo2BCA2ACN = 180- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - o BCAACN = 90o 即 BCN = 90学习必备欢

18、迎下载证明：（证法一）过点 E 作 EF BC交 AB于 F,就NADAFE =B NCBC AEF =C FMAE = AF AB = AC E AEF = AFE B =C 又 BAC = AEF AFE AFE =AEF oBCBAC = ACN ANC AD = AE BAC =2AEF = 2ANC AED =ADE AEF = ANC 又 AFEAEF AEDADE = 180EF NC 2AEF2AED = 90 o 即FED = 90oEFBC DEFE 又EF BC 名师归纳总结 常过一腰上的某一已知点做另一腰的平行线DEBC C第 6 页,共 8 页例：已知,如图,在ABC

19、中,AB = AC,D在 AB上, E 在 AC延长线上,且 BD = （证法二）过点D作 DN BC交 CA的延长线于 N,（过程略）CE,连结 DE交 BC于 F （证法三）过点A作 AM BC交 DE于 M,（过程略）求证： DF = EF AAE,交 BC于 N,就常将等腰三角形转化成特别的等腰三角形-等边三角形证明：（证法一） 过 D作 DN例：已知,如图,ABC中,AB = AC, BAC = 80o ,P为形内一点,如DNB = ACB,PBC = 10ooPCB = 30求 PAB的度数 . NDE = E,D解法一：以 AB为一边作等边三角形,连结CE AB = AC,就BA

20、E =ABE = 60oE B = ACB BN1F2CAAE = AB = BE B =DNB AB = AC BD = DN EAE = AC ABC =ACB AEC =ACE A又 BD = CE DDN = EC B1F2CEMEAC =BACBAE = 80 o 60 o = 20oBP在 DNF和 ECF中1 = 2 ACE = 1 2180o EAC= 80NDF =E DN = EC DNF ECF ACB= 1 2180o o BAC= 50DF = EF （证法二）过 E 作 EM AB交 BC延长线于 M,就EMB =B（过程略）常过一腰上的某一已知点做底的平行线BCE

21、 =ACEACB 例：已知,如图,ABC中,AB =AC,E 在 AC上,D在 BA延长线上,且 AD = AE, = 80o50 o = 30o连结 DE oPCB = 30求证： DEBC PCB = BCE - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - ABC =ACB = 50o, A学习必备欢迎下载A oABE = 60= 60 o50 o1. 如图,求 A B C D E 的度数；EBC =ABE ABC o =10A oPBC = 10PBC = EBC BPC解：连结 CD B C O D E B C O D E 在 PBC和 EBC中PBC =

22、EBC EBC = BC PCB = BCE PBC EBC BP = BE AB = BE o ECD BDC= B E BE=AC ,延长 BEAB = BP =180 BOE=180 COD BAP =BPA A B ACE ADB E ABP =ABCPBC = 50o10 o = 40= A ECD BDC ACE ADB PAB = 1 2180o o ABP= 70= A（ ECD ACE ）（ BDC ADB ）= A ACD ADC =180解法二：以 AC为一边作等边三角形,证法同一；2. 如图,已知在ABC 中,AD 是 BC 边上的中线, E 是 AD 上一点,且解法三

23、：以 BC为一边作等边三角形BCE,连结 AE,就交 AC 于 F；求证： AF=EF ；o EB = EC = BC,BEC =EBC = 60A F EB = EC A E E在 BC的中垂线上F 同理 A 在 BC的中垂线上E B D C EA所在的直线是 BC的中垂线EABC 名师归纳总结 AEB = 1 2BEC = 30 o = PCB o B D C G 第 7 页,共 8 页解：延长 AD 至 G,使 DG=AD ,连结 BG o 由解法一知： ABC = 50BD=DC , BDG= ADC F 在 BC 上,且 DAE= FAE； ABE = EBCABC = 10o =

24、PBC BGD CAD ABE =PBC,BE = BC,AEB =PCB BG=AC=BE , G= CAD ABE PBC G= BEG= AEF AB = BP BAP =BPA AEF= CAD AF=EF ABP =ABC PBC = 50 o10 o = 40o3. 已知 E 是正方形 ABCD 边 CD 上的中点,点 PAB = 1 2180oABP = 1 2180o40 o= 70求证： AF=AD CF；解：过 E 作 EGAF 于 G - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - A D A D 学习必备欢迎下载E E G B F C B F

25、 C D=90 , AGE=90 AE 平分 DAF ED=EG ED=EC EG=EC EGF=C=90EF=EF EGF ECF（HL ）GF=FC ED=EG ,AE=AE , D=AGE=90 ADE AGE （HL ）AD=AG AF=AG GF=AD FC 即 AF=AD FC 4. 已知：在ABC 中, BAC=90 , AB=AC ,BE 平分 ABC ,CEBE；求证： CE=1 BD ；2F B A F A D E C E D C B 证明：延长BA 交 CE 的延长线于BE 平分 ABC ,CEBE CE=1 2CF又 AB=AC , BAC= CAF=90 ACF= ABD=90 F 名师归纳总结 ACF ABD CF=BD 第 8 页,共 8 页CE=1 2CF- - - - - - -