2022年函数的奇偶性、单调性、最值综合问题探究.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载函数的奇偶性、单调性、最值综合探究新泰一中 闫辉 学问梳理1.函数的奇偶性：（ 1）奇函数：假如对于函数 y=f （ x）的定义域内任意一个 x,都有f（x）=f（x）或 f（x）+ f（ x）=0,就称 f（x）为奇函数；（ 2） 偶 函 数 ： 假如对 于 函 数 f （ x） 的 定 义 域 内 任 意 一 个 x, 都 有f（ x）= f（x）或 f（x） f（ x）=0,就称 f（x）为偶函数 . （3）奇、偶函数的性质 具有奇偶性的函数, 其定义域关于原点对称 （也就是说, 函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域

2、关于原点对称）. 奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于 y 轴对称 . 如奇函数的定义域包含数 0,就 f（0）=0. 奇函数的反函数也为奇函数 . 奇偶函数的运算性质： 设 y=fxx D1为奇函数, y=gxx D2为偶函数,DD1D2,就在 D 上有：奇 奇奇（函数）偶 偶偶（函数）奇 奇偶（函数）偶 偶偶（函数）奇 偶奇（函数）2.函数的单调性：（1）增函数、减函数的定义一般地,对于给定区间上的函数y=f（x）,假如对于属于这个区间的任意两个自变量的值 x1、x2,当 x1x2 时,都有 f（x1）f（x2）或都有 f（x1）f（x2）,那么就说 f（x）在这个区间上是增函数（或

3、减函数）. 假如函数 y=f（x）在某个区间上是增函数（或减函数） ,就说 f（x）在这一区间上具有（严格的）单调性,这一区间叫做f（x）的单调区间 .如函数是增函数就称区间为增区间,如函数为减函数就称区间为减区间（2）函数单调性可以从三个方面懂得. 图形刻画：对于给定区间上的函数f（x）,函数图象如从左向右连续上升,就称函数在该区间上单调递增,函数图象如从左向右连续下降,就称函数在该区间上单调递减 . 定性刻画：对于给定区间上的函数f（x）,如函数值随自变量的增大而增大,就称函数在该区间上单调递增,如函数值随自变量的增大而减小,就称函数在该区间上单调递减 . 定量刻画,即定义 . （3）关于

4、函数单调性的几个重要结论 和函数的单调性：如 y=fx 与 y=gx 在公共区间 D内都是增（减）函数,就函数 y=fx+gx 在 D内是增（减）函数；如 y=fx 在区间 D 内是增（减）函数,就函数y=kfx k0 k0在 D内是增（减）函数；奇偶函数在对称区间上的单调性名师归纳总结 奇函数在 a,b 和-b,-a ab上单调性相同,第 1 页,共 9 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载偶函数在 a,b 和-b,-a ab 上单调性相反；3.函数的最值：（1）函数的最值的定义：定义：一般地,函数 y=fx 在 x0 处的函数值是

5、 fx 0） ,假如对于定义域内任意 x,不等式 fx fx 0 （fx fx 0 ）都成立,那么 fx 0）叫做函数 y=fx的最小值,（最大值）记做：ymin=fx 0 （ymax=fx 0 ）（2）求函数最值的常用方法有：（1）配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和,然后根据变量的取值范畴确定函数的最值；（2）换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的；（3）数形结合法：利用函数图象求出函数的最值（4）函数的单调性法 . . 一、函数奇偶性的判定问题；【例 1】 判定以下函数的奇偶性：（1）f（x）=|x+1|x1|；（2）f（x）=（x1）1x；. 1x（3）f（x

6、）=|x12x22；|（4）f（x）=x 1xx0 ,x 1x x0 .剖析：依据函数奇偶性的定义进行判定解：（1）函数的定义域 x（, +）,对称于原点 . f（x）=|x+1|x1|=|x1|x+1|=（|x+1|x1|） =f（x）,f（x）=|x+1|x1|是奇函数 . （2）先确定函数的定义域 .由 1 x0,得 1x1,其定义域不对称于1 x原点,所以 f（x）既不是奇函数也不是偶函数 . （3）去掉肯定值符号,依据定义判定 . 1 x 2 0 , 1 x ,1由| x 2 | 2 ,0 得x 0 且 x 4 .故 f（x）的定义域为 1,0）（0,1,关于原点对称,且有 x+20

7、.从而有 f（x）= x12x22=1xx2,这时有 f（x）=1xx 2=1xx2=f（x）,故 f（x）为奇函数 . （4）函数 f（x）的定义域是（, 0）（ 0,+）,并且当 x0 时,名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载x0,f（x）=（x）1（ x）=x（1+x）=f（x）（x0）. 当 x0 时, x0, f（ x）=x（1x）=f（x）（x0）. 故函数 f（x）为奇函数 . 评述：（1）分段函数的奇偶性应分段证明 . （2）判定函数的奇偶性应先求定义域再化简函数解析式 . 二、奇偶函

8、数的解析式问题；【例 2】已知 f（x）是奇函数,当 x（ 0,1）时, f（x）=lg11x,那么当x（ 1,0）时, f（x）的表达式是 _. 解析：当 x（ 1,0）时,x（0,1）,f（x）=f（x）=lg11x=lg（1x）. 答案： fx= lg （1x）三、奇偶函数的图象问题；【例 3】下面四个结论中,正确命题的个数是 偶函数的图象肯定与 y 轴相交 奇函数的图象肯定通过原点 偶函数的图象关于 y 轴对称 既是奇函数,又是偶函数的函数肯定是 f（x）=0（xR） A.1 B.2 C.3 D.4 解析：不对；不对,由于奇函数的定义域可能不包含原点；正确；不对,既是奇函数又是偶函数的

9、函数可以为 答案： A 四、函数单调性的判定问题；f（x）=0x（ a,a）. 【例 4】证明：函数fxxx31x是增函数【例 5】争论函数 f（x）=ax（a0）在 x（ 1,1）上的单调性 . 2解：设 1x1x21,名师归纳总结 就 f（x1） f（x2）=ax 11xax2121 . 第 3 页,共 9 页x 1222=ax 1x 22x 1ax1ax2x 12ax2=a x 22x 1x 1x21 x221x 11 x221- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载 1x1x21,x2x10,x1x2+10,（x1 21）（x2 2

10、1）0.又 a0,f（x1） f（x2）0,函数 f（x）在（ 1,1）上为减函数 . 五、函数单调区间的求法问题；【例 6】 求函数 y=x+1 的单调区间 .（对号函数）【增减减增】x剖析：求函数的单调区间（亦即判定函数的单调性）,一般有三种方法：（1）图象法；（2）定义法；（3）利用已知函数的单调性 .但此题图象不易作,利用 y=x 与 y=1 的单调性（一增一减）也难以确定,故只有用单调性定义来确 x定,即判定 f（x2）f（x1）的正负 . 解：第一确定定义域：上分别争论 . x|x 0 ,在（, 0）和（ 0,+）两个区间任取 x1、x2（0,+）且 x1x2,就 f（x1）f（x

11、2）=x1+1 xx21=x2（x1x2）+x2xx 1=（x1-x ）（11）=（x1-x ）x1x221x 12x 1x 2x 1x（1）当 x1、x2（ 0,1）时,f（x1） f（x2） 0,为减函数 . （2）当 x1、x2（ 1,+）时,f（x1） f（x2） 0,为增函数 . 同理可求（ 3）当 x1、x2（ 1,0）时,为减函数；（4）当 x1、x2（, 1）时,为增函数 . 评述：解答此题易显现以下错误结论：f（x）在（ 1,0）（ 0,1）上是 减函数,在（, 1）（ 1,+）上是增函数,或说 f（x）在（, 0）（ 0,+）上是单调函数 .排除障碍的关键是要正确懂得函数的

12、单调性概念：函数的单调性是对某个区间而言的,而不是两个或两个以上不相交区间的并 . 深化拓展求函数 y=x+ a （a0）的单调区间 . x提示：函数定义域 x 0,可先考虑在（ 0,+）上函数的单调性,再依据 奇偶性与单调性的关系得到在（,0）上的单调性 . 答案：在（,a ,（a ,+）上是增函数,在（ 0,a ,（a ,0）上是减函数 . 【例 7】求以下函数的单调区间：名师归纳总结 1yx21x02y2x23yx22|x|3第 4 页,共 9 页xx1- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载六、函数奇偶性与单调性的应用；【例 8】（

13、1）已知函数fxax3bx5,f2 x3,求f2；2x求 f（x）；（2）已知f x是偶函数,g x为奇函数,fgxx2（3）求函数fxx25的值域；x24七、二次函数在区间上的最值问题；名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 【例 9】求函数y2x2精品资料1欢迎下载上的最大值和最小值；3x在区间 12,【例 10】求函数yx22x3在区间a,a1 上的最大值；【例 11】求函数yx22 ax1在区间02,上的最大值和最小值； 闯关训练 1.已知函数 f（x）=ax 2bxc（a 0）是偶函数,那么g（x）=ax 3bx

14、 2cx 是 A.奇函数 B.偶函数 C.既奇且偶函数 D.非奇非偶函数 解析：由 f（x）为偶函数,知 b=0,有 g（x）=ax 3cx（a 0）为奇函数 . 答案： A 2.已知 f（x） ax 2bx3ab 是偶函数,且其定义域为a1,2a,就 a_,b_. 解析：定义域应关于原点对称,故有 a1 2a,得 a又对于所给解析式,要使答案：10 31 . 3f（ x） f（x）恒成立,应 b0. 3.给定函数 :y=1（x 0）；y=x 2+1；y=2 x；y=log2x；y=log2（x+xx21）.在这五个函数中,奇函数是_,偶函数是 _,非奇非偶函数是_. 答案：4.以下函数中,在

15、区间（ 0,2）上为增函数的是名师归纳总结 A.y=x+1 B.y=2x第 6 页,共 9 页C.y=x 24x+5 D.y=x- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载答案： B 5.函数 y=log a（x 22x3）,当 x=2 时, y0,就此函数的单调递减区间是A.（, 3）B.（1,）C.（, 1）D.（ 1,）解析：当 x=2 时,y=log a50,a1.由 x 22x30 x 3 或 x1,22x3 在（, 3）上递减,故函数 y=loga（x 22x3）（其 易见函数 tx 中 a1）也在（, 3）上递减 . 答案： A

16、6.（2003 年北京朝阳区模拟题）函数y=log1|x 3|的单调递减区间是2_. 解析：令 u=|x3|,就在（, 3）上 u 为 x 的减函数,在（ 3,+）上 u为 x 的增函数 .又 0答案：（3,+）1 1,在区间（ 3,）上, y 为 x 的减函数 . 27.有以下几个命题：函数 y=2x 2+x+1 在（0,）上不是增函数；函数 y= 1 在（,x 11）（ 1,）上是减函数；函数 y= 5 4 x x 2的单调区间是 2,+）；已知 f（x）在 R 上是增函数,如 a+b0,就有 f（a）+f（b）f（a）+f（ b）.其中正确命题的序号是 _. 解析：函数 y=2x 2+x

17、+1 在（0,+）上是增函数,错；虽然（, 1）、（ 1,）都是 y= 1 的单调减区间,但求并集以后就不再符合x 1减函数定义,错；要争论函数 y= 5 4 x x 2 的单调区间,第一被开方数5+4xx 20,解得 1x5,由于 2,+）不是上述区间的子区间,错； f（x）在 R 上是增函数,且 ab,b a,f（a）f（b）,f（b）f（ a）,f（a）+f（b） f（ a）+f（b）,因此是正确的 . 答案：8.如 f（x）=a2xa2为奇函数,求实数a 的值. 2x1a解： xR,要使 f（x）为奇函数,必需且只需f（x）+f（ x）=0,即2x21+a221=0,得 a=1. x9

18、.（文）假如函数 f（x）=x 2+2（a1）x+2 在区间（, 4上是减函数,那么实数 a 的取值范畴是 _. 解析：对称轴 x=1a,由 1a4,得 a 3. 名师归纳总结 答案： a3 2+2（a1）x+2 的单调减区间是（,4,那第 7 页,共 9 页巩固：假如函数 f（x）= x么实数 a的值是 _ - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载答案： a=3 （理）（2003 年湖北省荆州市高中毕业班质量检查题）函数 y=f（ x）的图象与 y=2 x 的图象关于直线 y=x 对称,就函数 y=f（ 4x x 2）的递增区间是_. 解

19、析：先求 y=2 x 的反函数,为 y=log2x, f（x）=log2x,f（4xx 2）=log2（4xx 2）.令 u=4xx 2,就 u0,即 4xx 20.x（0,4）. 又u=x 2+4x 的对称轴为 x=2,且对数的底为 21,y=f（4xx 2）的递增区间为（0,2）. 答案：（0,2）10.争论函数 f（x）= ax 1（a1 ）在（ 2,+）上的单调性 . x 2 2解：设 x1、x2 为区间（ 2,+）上的任意两个值,且 x1x2,就f（x1）f（x2）= ax 1 1 ax 2 1x 1 2 x 2 2= ax 1 1 x 2 2 ax 2 1 x 1 2 x 1 2

20、x 2 2 x 2 x 1 1 2 a = . x 1 2 x 2 2 x1（ 2,+）,x2（ 2,+）且 x1x2,x2x10,x1+20,x2+20. 当 12a0,即 a1 时, f（x1）f（x2）,该函数为减函数；2当 12a0,即 a1 时, f（x1） f（x2）,该函数为增函数 . 211.如奇函数 f（x）在 a,b上是增函数,且最小值是 1,就 f（x）在b, a上是A.增函数且最小值是 1 C.减函数且最小值是 1 解析： f（a）=1, f（ a）=1. 答案： B B.增函数且最大值是 1 D.减函数且最大值是 1 12.已知 f（x）是定义在1,1上的奇函数,且

21、f（1）=1,如 a、b1,1,a+b 0 时,有 f a f b 0. a b判定函数 f（x）在 1,1上是增函数仍是减函数,并证明你的结论 . 解：任取 x1、x2 1,1,且 x1x2,就 x2 1,1.又 f（x）是奇函数,于是f（x1）f（x2）=f（x1）+f（ x2）名师归纳总结 =fx 1fx2 （x1x2）. 第 8 页,共 9 页x 1x 2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 据已知fx 1fx2精品资料欢迎下载0,x1x20,x 1x 2f（x1） f（x2） 0,即 f（x1） f（x2）. f（x）在 1,1上是增函数 . 学

22、问梳理考卷1、函数的定义：设 A、B 是非空的数集,假如按某个确定的对应关系 f,使对于集合 A 中的任意一个数 x,在集合 B 中都有 的值 f（x）和它对应,那么就称 f:：AB 为从集合 A 到集合 B 的一个函数,记作 y = ,xA,其中 x 叫做 .；x 的取值范畴 A 叫做函数的；与 x 的值相对应的 y 的值叫做,函数值的集合 f（x）|xA 叫做 . 2、常见函数定义域：y 1,定义域为 _；y x,定义域为 _；xy log a x；定义域为 _；其中 a 的取值范畴是 _；3、函数单调性： 已知函数 yf x ,给定区间 D,对任意 x 1,x2 D,设 x 1x 2,假

23、如 _,就称函数 f x在区间上为 _,假如 _,就称 _减函数；反之：假如函数 f x在区间上为减函数, 就对区间内任意x 1,x 2,x1x2_；假如函数 f x在区间上为增函数,数 f x_ ；_ ；其中区间称为函4、函数奇偶性：对函数f x 定义域内的任意一个x,假如都有 _ ,那么函数f x就叫做奇函数；假如都有_,那么函数 f x_ ；函数定义域关于原点对称是一个函数是奇函数或偶函数的_条件；也就是说：假如函数定义域关于原点非对称,就函数肯定是 _函数；5、f x为奇函数 f x 图像关于 _对称；f x 为偶函数 f x图像关于 _对称；6、复合函数单调性：设 y = f x的定义域为 D,yg x定义域为,值域为,且 ,f x在上是单调的,g x 在上也是单调的,就函数 y = f g x 在其定义域上也是单调的,填表：函数 单调性y = f x y = gx y = f gx 单调性用、表示；名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 9 页