2022年初三相似三角形讲义.docx
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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载相像三角形学问点总结学问点 1、三角对应相等,三边对应成比例的三角形叫相像三角形如 ABC与 A / B /C / 相像,记作 : ABC A /B / C / ;相像三角形的比叫相像比 相像三角形的定义既是相像三角形的性质,也是三角形相像的判定方法;留意:(1)相像比是有次序的;(2)对应性,两个三角形相像时,通常把对应顶点写在对应位置,这样写比较简洁找到相像三角形的对应角和对应边;( 3)次序性:相像三角形的相像比是有次序的,如ABC A /B /C /,相像比为 k,就 A /B /C /与 ABC的相像比是 1 k学问
2、点 2、相像三角形与全等三角形的关系(1)两个全等的三角形是相像比为1 的相像三角形;(2)两个等边三角形肯定相像,两个等腰三角形不肯定相像;(3)二者的区分在于全等要对应边相等,而相像要求对应边成比例;学问点 3、平行线分线段成比例定理1. 比例线段的有关概念:在比例式aca:bc:d中, 、 叫外项, 、 叫内项, 、 叫前项,bdb、d 叫后项, d 叫第四比例项,假如b=c,那么 b 叫做 a、 d 的比例中项;把线段 AB分成两条线段AC和 BC,使 AC 2=ABBC,叫做把线段AB黄金分割, C叫做线段 AB的黄金分割点; 2. 比例性质:acadbbc合比性质:aaccabac
3、d基本性质:bdbddb等比性质:a bcm ndn0 mdbdnb3. 平行线分线段成比例定理(1)平行线分线段成比例定理 已知 l1 l2 l3, :三条平行线截两条直线 ,所得的对应线段成比例 . A D F l1 B E l2 C l3 名师归纳总结 可得ABDE或ABDE或BCEF或BCEF或ABBC等. 第 1 页,共 25 页BCEFACDFABDFACDFDEEF- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载(2)推论 :平行于三角形一边的直线截其它两边 段成比例 . 或两边的延长线 所得的对应线 A B D E C 由 DE B
4、C 可得:ADAE或BDEC或ADAE.此推论较原定理应用DBECADEAABAC更加广泛 ,条件是平行 . (3)推论的逆定理:假如一条直线截三角形的两边. 或两边的延长线 所得的对应线段成比例 .那么这条直线平行于三角形的第三边此定理给出了一种证明两直线平行方法,即:利用比例式证平行线 . (4)定理 :平行于三角形的一边 ,并且和其它两边相交的直线 ,所截的三角形的三 边与原三角形三边对应成比例 . 学问点 4:相像三角形的性质 相像三角形的对应角相等 相像三角形的对应边成比例 相像三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相像比 相像三角形周长的比等于相像比 相像三角形面积
5、的比等于相像比的平方 学问点 5:相像三角形的判定:两角对应相等,两个三角形相像 两边对应成比例且夹角相等,两三角形相像 三边对应成比例,两三角形相像 假如一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边 对应成比例,那么这两个直角形相像平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交, 所构成的三角形与原三角形相像 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相像假如两个三角形的两角分别于另一个三角形的两角对应相等,那么这两个三角 形相像;点拨:在三角形中,如已知两个角,由三角形内角和定理可求出第三个角;留意公共角的运用,公共角也就是两个三角形都有的角,公共
6、角是隐含 的相等的角,我们应留意公共角的运用;两边对应成比例并且它们的夹角也相等的两个三角形相像;留意:这个角必需是两边的夹角, 而不能是其他的角, 其他的角就不行以识别两 个三角形相像,此法类似于判定三角形全等的条件“SAS”三边对应成比例的两个三角形相像;学问点六:摄影定理名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 25 页精选学习资料 - - - - - - - - - AD2=BDCD AB2=BDBC AC学习必备欢迎下载A2=CDBC 特别图形(双垂直模型) BAC=90 ADBC2=CDBCBDCADCBDA2=BDCD AB 2=BDBACADBC AC学问点七:相
7、像三角形的周长和面积(1)相像三角形的对应高相等,对应边的比相等;(2)相像三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比等于相像比;3相像三角形的周长比等于相像比;4相像三角形的面积比等于相像比的平方补充:相像三角形的识别方法1定义法:三角对应相等,三边对应成比例的两个三角形相像;2平行线法: 平行于三角形一边的直线和其它两边 成的三角形与原三角形相像;或两边的延长线 相交,所构 AEADEDC留意:适用此方法的基本图形,简记为 A 型, X 型 3三边对应成比例的两个三角形相像;BCB4两边对应成比例并且它们的夹角也相等的两个三角形相像;5两角对应相等的两个三角形相像;6一条直角边和斜边
8、长对应成比例的两个直角三角形相像;7被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相像;相像三角形的基本图形:名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 25 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载判定三角形相像,如已知一角对应相等,可先考虑另一角对应相等,留意公共角或对顶角或同角(等角)的余角(或补角)相等,如找不到其次对角相等,就考虑夹这个角的两对应边的比相等;如无法得到角相等,就考虑三组对应边的比相等;相像三角形的应用:求物体的长或宽或高;求有关面积等;经典习题考点一:平行线分线段成比例1、(2022 广东肇庆)如图,已知直线 a b c,直线
9、 m、n 与 a、b、c 分别交于点 A、C、E、B、D、F,AC 4 ,CE 6 ,BD 3 ,就 BF ()A 7 B 7.5 C 8 D 8.5 2、( 2022.福州) 如图,已知ABC ,AB=AC=1 , A=36 , ABC 的平分线 BD 交 AC于点 D,就 AD 的长是,cosA 的值是(结果保留根号)m n E C A B a D b F c 3、( 2022 湖南怀化)如下列图:的值为()ABC 中, DE BC,AD5,BD10,AE3,就 CE名师归纳总结 A9 B6 C3 D4 第 4 页,共 25 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - -
10、 - - - 学习必备 欢迎下载ABDEC4(2022 山东泰安) 如图,点 F 是 ABCD的边 CD 上一点, 直线 BF 交 AD 的延长线于点 E,就以下结论错误的是()EFCBC DEBFDBFBCAED EADFBDEABBCFBBEBEAE5( 2022.孝感)如图,在ABC 中, AB=AC , A=36 ,BD 平分 ABC 交 AC 于点 D,如 AC=2 ,就 AD 的长是()51D51ACEFDBA51B51C22GP考点二:相像三角形的性质1、( 2022.昆明)如图,在正方形 ABCD 中,点 P 是 AB 上一动点(不与 A ,B 重合),对角线 AC, BD 相
11、交于点 O,过点 P 分别作 AC,BD 的垂线,分别交 AC,BD 于点 E, F,交 AD , BC 于点 M ,N以下结论: APE AME ; PM+PN=AC ; PE 2+PF 2=PO 2; POF BNF ; 当 PMN AMP 时,点 P 是 AB 的中点其中正确的结论有()C3 个D2 个A 5 个B4 个名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 25 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载考点 :相像三角形的判定与性质;全等三角形的判定与性质;勾股定理;正方形的性质分析: 依据正方形的性质以及勾股定理、矩形的判定方法即可判定
12、APM 和 BPN 以及 APE、 BPF 都是等腰直角三角形,四边形 PEOF 是矩形,从而作出判定解答: 解:四边形 ABCD 是正方形, BAC= DAC=45 在 APE 和 AME 中, APE AME ,故 正确;PE=EM= PM ,同理, FP=FN= NP正方形 ABCD 中 AC BD ,又 PEAC ,PFBD, PEO=EOF=PFO=90,且 APE 中 AE=PE 四边形 PEOF 是矩形PF=OE,PE+PF=OA ,又 PE=EM=PM ,FP=FN=NP,OA=AC,PM+PN=AC ,故 正确;四边形 PEOF 是矩形,PE=OF,在直角 OPF 中, OF
13、2+PF 2=POPE2+PF 2=PO 2,故 正确2, BNF 是等腰直角三角形,而 AMP 是等腰直角三角形,当PM=PN , POF 不肯定是,故 错误; PMN AMP 时, PMN 是等腰直角三角形又 AMP 和 BPN 都是等腰直角三角形,AP=BP,即 P 时 AB 的中点故 正确应选 B点评: 此题是正方形的性质、矩形的判定、勾股定理得综合应用,熟悉 APM 和 BPN 以及 APE、 BPF 都是等腰直角三角形,四边形PEOF 是矩形是关键2、( 2022.新疆)如图, Rt ABC 中, ACB=90 , ABC=60 ,BC=2cm ,D 为 BC 的中名师归纳总结 点
14、,如动点 E 以 1cm/s 的速度从 A 点动身,沿着ABA 的方向运动,设E 点的运动时间第 6 页,共 25 页为 t 秒( 0t6),连接 DE,当 BDE 是直角三角形时,t 的值为()- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - A 2学习必备欢迎下载D2 或 3.5 或 4.5 B2.5 或 3.5 C3.5 或 4.5 考点 :相像三角形的判定与性质;含 30 度角的直角三角形专题 :动点型分析: 由 Rt ABC 中, ACB=90 , ABC=60 ,BC=2cm ,可求得 AB 的长,由 D 为 BC 的中点,可求得BD 的长,然后分别从如D
15、BE=90 与如 EDB=90 时,去分析求解即可求得答案解答: 解: Rt ABC 中, ACB=90 , ABC=60 ,BC=2cm ,AB=2BC=4 ( cm),BC=2cm ,D 为 BC 的中点,动点E 以 1cm/s 的速度从 A 点动身,BD=BC=1 (cm),BE=AB AE=4 t(cm),如 DBE=90 ,当 AB 时, ABC=60 , BDE=30 ,BE=BD= (cm),t=3.5,当 BA 时, t=4+0.5=4.5 如 EDB=90 时,当 AB 时, ABC=60 , BED=30 ,BE=2BD=2 (cm),t=4 2=2,当 BA 时, t=4
16、+2=6 (舍去)综上可得: t 的值为 2 或 3.5 或 4.5应选 D30角的直角三角形的性质此题属于动点问题,难度适中,留意把握分类 点评: 此题考查了含争论思想与数形结合思想的应用3、( 2022.内江)如图,在 .ABCD 中, E 为 CD 上一点,连接 F,S DEF:S ABF=4:25,就 DE:EC=()AE 、BD,且 AE、BD 交于点A 2:5 B2:3 C3:5 D3:2 考点 :相像三角形的判定与性质;平行四边形的性质分析: 先依据平行四边形的性质及相像三角形的判定定理得出 DEF BAF ,再依据 S DEF:名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页
17、,共 25 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载S ABF=4:10: 25 即可得出其相像比,由相像三角形的性质即可求出 DE:EC 的值,由AB=CD 即可得出结论解答: 解:四边形 ABCD 是平行四边形,AB CD, EAB= DEF, AFB= DFE, DEF BAF ,S DEF:S ABF=4:25,DE:AB=2 :5,AB=CD ,DE:EC=2:3应选 B点评: 此题考查的是相像三角形的判定与性质及平行四边形的性质,熟知相像三角形边长的比等于相像比,面积的比等于相像比的平方是解答此题的关键4、( 2022.宁夏) ABC 中, D、E 分
18、别是边 AB 与 AC 的中点, BC=4 ,下面四个结论: DE=2 ; ADE ABC ; ADE 的面积与 ABC 的面积之比为 1:4; ADE的周长与 ABC 的周长之比为 1:4;其中正确的有 (只填序号)考点 :相像三角形的判定与性质;三角形中位线定理分析: 依据题意做出图形,点 D、E 分别是 AB 、AC 的中点,可得 DE BC,DE= BC=2 ,就可证得 ADE ABC ,由相像三角形面积比等于相像比的平方,证得 ADE 的面积与 ABC 的面积之比为 1: 4,然后由三角形的周长比等于相像比,证得 ADE 的周长与 ABC 的周长之比为1: 2,选出正确的结论即可解答
19、: 解:在 ABC 中, D、E 分别是 AB 、AC 的中点,DE BC,DE= BC=2 , ADE ABC ,故 正确; ADE ABC ,=, ADE 的面积与 ABC 的面积之比为 1:4, ADE 的周长与 ABC 的周长之比为 1:2,故 正确, 错误故答案为: 点评: 此题考查了相像三角形的判定与性质以及三角形中位线的性质,难度不大,留意把握数形结合思想的应用,要求同学们把握相像三角形的周长之比等于相像比,面积比等于相像比的平方名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 25 页精选学习资料 - - - - - - - - - 5、( 2022.自贡)如图,在平行四
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- 2022 年初 相似 三角形 讲义
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