2022年初高中数学衔接知识点专题.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载初高中数学连接学问点专题（一） 专题一 数与式的运算【要点回忆 】1肯定值1肯定值的代数意义：0ab 表示； |x|即 |a|的距离2肯定值的几何意义：3两个数的差的肯定值的几何意义：a a0的距离4两个肯定值不等式:|x|a a2乘法公式我们在中学已经学习过了以下一些乘法公式：1平方差公式：；2完全平方和公式：；3完全平方差公式：我们仍可以通过证明得到以下一些乘法公式：公式 1 abc 2“ 乘法公式 ” 3 a3 b 立方和公式 公式 2公式 33 a3 b立方差公式 说明 :上述公式均称为3根式1式子a a0叫做二次根

2、式,其性质如下：； 4 b,其1 a2；2 2 a；3 aba2平方根与算术平方根的概念：叫做 a 的平方根,记作xa a0中a a0叫做 a 的算术平方根具有叫做 a 的立方根,记为x3a3立方根的概念：4分式0,就称A B为分式 当 M 0时,分式A B1分式的意义形如A B（1）的式子,如B 中含有字母,且B以下性质：；（2）2繁分式当分式A B的分子、分母中至少有一个是分式时,A就叫做繁分式,如mnp,B2 mnp说明： 繁分式的化简常用以下两种方法：1 利用除法法就；2 利用分式的基本性质3分母（子）有理化把分母（子）中的根号化去,叫做分母（子）有理化分母有理化的方法是分母和分子都乘

3、以分母的有理化因式,化去分母中的根号的过程；而分子有理化就是分母和分子都乘以分母的有理化因式,化去分子中的根号的过程名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载【例题选讲 】例 1 解以下不等式： （1）x21（2）x1x34例 2 运算：（1）x2a2x1 324 a216（2）1 5m1n 1m21mn21n2225104（3）a22a4（4）x22xyy2x2xyy2例 3 已知x23x10,求x31的值3 x例 4 已知abc0,求a11b 11c11的值bccaab例 5 运算 没有特别说明,本

4、节中显现的字母均为正数：（1）233（2）21x 232xx2 x1（3）11（4）xx8ab2例 6 设x23,y23,求3 x3 y 的值2323名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载x x1x1例 7 化简：（1）xxx（2）x223x996xx2x11x27x62xx1x（1） 解法一 ：原式 =xxxxxxxxx12 xxxx11x xx 2xx 21x1x1x1x11解法二 ：原式 =xxxx xxxxxxx1x xx11x 1x 2xxx1 xx21xxx（2） 解：原式 =xx2x3x

5、399x6xx2x1x13x6x32x923x332x32x312x1x3x323x2x3x32x3x32x3说明 ：1 分式的乘除运算一般化为乘法进行,当分子、分母为多项式时,应先因式分解再进行约分化简；2 分式的运算结果应是最简分式或整式【巩固练习 】1 解不等式1x,3x27x2xxyyy2的值2 设x1y,求代数式22333 当3 a2ab2b20a0,b0,求aba2b2的值baab4 设x51,求x4x22x1的值2名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 5 运算 xyzxyzx学习好资料z欢迎下载yz xy

6、6化简或运算：1 1841 213y32 22b2252b12aab23353 xxx y4 aaab baxxybxy2 yx xyyababab名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 各专题参考答案学习好资料欢迎下载专题一数与式的运算参考答案例 1 （1）解法 1：由 x 2 0,得 x 2；如 x 2,不等式可变为 x 2 1,即 x 3； 如 x 2,不等式可变为 x 2 1,即 x 2 1,解得：x 1综上所述,原不等式的解为 1 x 3解法 2：x 2 表示 x 轴上坐标为 x 的点到坐标为 2 的点之间的距

7、离, 所以不等式 x 2 1 的几何意义即为 x 轴上坐标为 x 的点到坐标为 2 的点之间的距离小于 1,观看数轴可知坐标为 x 的点在坐标为 3 的点的左侧,在坐标为 1 的点的右侧所以原不等式的解为 1 x 3解法 3：x 2 1 1 x 2 1 1 x 3,所以原不等式的解为 1 x 3（ 2）解法一 ：由 x 1 0,得 x 1；由 x 3 0,得 x 3；如 x 1,不等式可变为 x 1 x 3 4,即 2 x 44,解得 x0,又 x 1,x 0；如 1 x 2,不等式可变为 x 1 x 3 4,即 14,不存在满意条件的 x；如 x 3,不等式可变为 x 1 x 3 4,即 2

8、 x 44, 解得 x4又 x3, x4综上所述,原不等式的解为 x0,或 x4解法二 ：如图,x 1 表示 x 轴上坐标为 x 的点 P 到坐标为 1 的点 A 之间的距离 |PA|,即 |PA| |x1|；|x|x3| 3|表示 x 轴上点 P 到坐标为 2 的点 B 之间的距离 |PB|,即 |PB|x 3|所以,不等式 x 1 x 34 的几何意义即为 |PA| |PB| 4由 |AB|2,P C A B D 可知点 P 在点 C坐标为 0的左侧、或点 P 在点 D坐标为 4的右侧x 0 1 3 4 x 所以原不等式的解为 x0,或 x4|x 1| 例 2（ 1）解：原式 = x 2

9、2 1 2 x 2 2 2 2 1 22 x 2 2 x 2 x 2 12 1 2 3 3 3 34 3 8 2 2 2 1x 2 2 x x x3 3 9说明 ：多项式乘法的结果一般是按某个字母的降幂或升幂排列名师归纳总结 （2）原式 =1m31n 321 3 m1252 4 1n343a664第 5 页,共 11 页52 48 2 a（3）原式 =a24a4 a3（4）原式 =xy2 x2xyy22xyx2xyy22x3y32x623 x y3y6例 3 解：2 x3 x10x0x13x原式 =x1 xax211ax1x1 xc232 333182 x0,x例 4 解：bcbc ba ca

10、b原式 =abcbbac2cabaa bbcca2b2c2bcacabbc 2 c c3abac3 cababca3b3aab3 ab3abca3b33 c3 abc ,把代入得原式=3 abc3abc例 5 解：（1）原式 =2323332363 3322 23（2）原式 =|x1|x2|x1x22x3 x2x1x21 1x2 说明 ：留意性质a2|a 的使用：当化去肯定值符号但字母的范畴未知时,要对字母的取值分类争论- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载2 2（3）原式 = a b a b abab ab（4） 原式 = 2 2 x

11、x x 22 2 2x 2 x x x 2 2 x 3 2 x x x2 2例 6 解：x 2 3 22 3 27 4 3, y 7 4 3 x y 14, xy 12 3 2 3原式 = x y x 2xy y 2 x y x y 23 xy 1414 23 2702说明 ：有关代数式的求值问题：1先化简后求值；2当直接代入运算较复杂时,可依据结论的结构特点,倒推几步,再代入条件,有时整体代入可简化运算量【巩固练习 】144xy3z21332 2x z33 或 2614 325, 3xyy, 4ba65x4422 x y2222 y z23,4 33专题二因式分解答案例 1 分析： 1 中应

12、先提取公因式再进一步分解；2 中提取公因式后,括号内显现a66 b ,可看着是a32b32或a23b23abb2解： 1 33 a b814 b3 b a327b33 b a3 b a23 ab9 b22 7 aab6a a6b6a a3b3a33 ba ab a2abb2ab a2a ab ab a2abb2a2abb2例 2（1）分析： 依据原先分组方式,无公因式可提,需要把括号打开后重新分组,然后再分解因式解：ab c2d2a2b2cdabc2abd22 a cd2 b cdabc22 a cd2 b cdabd2ac bcadbd bcadbcadacbd（ 2）分析 ：先将系数 2

13、提出后,得到x22xyy242 z ,其中前三项作为一组,它是一个完全平方式,再和第四项形成平方差形式,可连续分解因式解：2x24xyx2y28z22x2x2xyxy244z22xy22 2 2xy2 z xy2 例 5 解：x33x24x313x23x1x2x13x1x1x1x213x112x4x1x22【巩固练习 】名师归纳总结 11bcadacbd ; 2 x4m2 x2 ; 3 x24x8x24x8;第 6 页,共 11 页4 x1x3x7 ; 5 x2 2 x2 y 1 ；228 3；4xx x431x2x11x23x1x222xx21x1 x其他情形如下：1x2x1 1x2221x

14、23x1 1x2x x22x1x1 2. 224a32 a c2 b cabc3 ba2abb2abc- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载专题三一元二次方程根与系数的关系习题答案例 1 解： 2 24 3 k 4 12 k , 1 4 12 k 0 k 1； 2 4 12 k 0 k 1；3 31 13 4 12 k 0 k； 4 4 12 k 0 k3 3例 2 解： 可以把所给方程看作为关于 x 的方程,整理得：x 2 y 2 x y 2y 1 0由于 x 是实数,所以上述方程有实数根,因此： y 2 24 y 2y 1 3 y

15、20 y 0,2代入原方程得：x 2 x 1 0 x 1综上知：x 1, y 0例 3 解： 由题意,依据根与系数的关系得：x 1 x 2 2, x x 2 20072 2 2 21 x 1 x 2 x 1 x 2 2 x x 2 2 2 2007 40181 1 x 1 x 2 2 22 x 1 x 2 x x 2 2007 20073 x 1 5 x 2 5 x x 2 5 x 1 x 2 25 2007 5 2 25 19724 | x 1 x 2 | x 1 x 2 2 x 1 x 2 2 4 x x 2 2 2 4 2007 2 20222 2 2说 明 ： 利 用 根 与 系 数

16、的 关 系 求 值 , 要 熟 练 掌 握 以 下 等 式 变 形 ：x 1 x 2 x 1 x 2 2 x x 2,1 1 x 1 x 2, x 1 x 2 2 x 1 x 2 24 x x ,| x 1 x 2 | x 1 x 2 24 x x 等等 韦达定理表达了x 1 x 2 x x 2整体思想【巩固练习 】1 A ；2A；3p 1, q 3；4a 3, b 3, c 0；5m 1 1当 k 3 时,方程为3 x 1 0,有实根； 2 当 k 3 时,0也有实根 61 k 3 且 k 1；2 k 74专题四 平面直角坐标系、一次函数、反比例函数参考答案例 1 解： 1由于 A、 B 关

17、于 x 轴对称,它们横坐标相同,纵坐标互为相反数,所以 x 2 2,y 1 3,就A 2, 3、B 2, 32由于 A 、 B 关于 y 轴对称,它们横坐标互为相反数,纵坐标相同,所以,x 2 2,y 1 3,就A 2, 3、B 2, 33由于 A 、 B 关于原点对称,它们的横纵坐标都互为相反数,所以 x 2 2,y 1 3,就 A 2, 3、B 2, 3例 2 分析： 由于直线过第一、三象限,所以可知 k0,又由于 b2,所以直线与 y 轴交于（ 0,2）,即可知 OB 2,而 AOB 的面积为 2,由此可推算出 OA 2,而直线过其次象限,所以 A 点坐标为（ 2,0）,由 A 、B 两

18、点坐标可求出此一次函数的表达式；解： B 是直线 y kx2 与 y 轴交点, B（0,2）, OB 2,又S1AO BOy2,AO2AOB2又ykx2,过其次象限,A 2 0把x 12,y 10 代入ykx2 中得k1,x2【巩固练习 】1 B 2 D2, 2、C8, 2、B6,03（ 1）k8（2）点 P 的坐标是P2 4, 或P81, 专题五二次函数参考答案名师归纳总结 例 1 解： y 3x26x 1 3x12 4,函数图象的开口向下；对称轴是直线x 1；顶点坐标第 7 页,共 11 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载为1

19、,4；当 x 1 时,函数 y 取最大值y4；,A 1,4 y 当 x 1 时, y 随着 x 的增大而增大；当x 1 时, y 随着 x 的增大而减小；采纳描点法画图, 选顶点 A1,4,与 x 轴交于点 B2 3 33,0和 C2 33,0D0,1 3与 y 轴的交点为D0,1,过这五点画出图象（如图2 5 所示）说明： 从这个例题可以看出,依据配方后得到的性质画函数的图象,可以直接选出关键点,削减了选点的盲目性,使画图更简便、图象更精确例 2 分析： 由于每天的利润日销售量y销售价 x120,日销售量y 又是销售价xC O B x 的一次函数, 所以, 欲求每天所获得的利润最大值,第一需

20、要求出每天的利润与销售价x 1 x 之间的函数关系,然后,再由它们之间的函数关系求出每天利润的最大值解： 由于 y 是 x 的一次函数,于是,设ykx（B）,将 x130,y70； x150,y50 代入方程,有70130 kb ,解得k 1,b200y x20021600,50150 kb ,设每天的利润为z（元）,就 zx+200x120 x 2320x24000 x160当 x160 时, z 取最大值 1600答： 当售价为 160 元/件时,每天的利润最大,为 1600 元例 3 分析： 本例中函数自变量的范畴是一个变化的范畴,需要对解：（1）当 a 2 时,函数 yx 2 的图象仅

21、仅对应着一个点是 4,此时 x 2；a 的取值进行争论2,4,所以,函数的最大值和最小值都（2）当 2a 0 时,由图 22 6可知,当 x 2 时,函数取最大值 y4；当 xa 时,函数取最小值 ya 2；（3）当 0a2 时,由图 2 26可知,当 x 2 时,函数取最大值 y4；当 x 0 时,函数取最小值 y0；（4）当 a2时,由图 226可知,当 xa 时,函数取最大值 ya2；当 x0 时,函数取最小值y0y y y 4 2 4 a4 2 2 aa 2 a O x 2 O a 2 x 2 O a x 说明： 在本例中,利用了分类争论的方法,对a 的全部可能情形进行争论此外,本例中

22、所争论的二次函数的自变量的取值不是取任意的实数,而是取部分实数来争论,在解决这一类问题时,通常需要借助 于函数图象来直观地解决问题例 4（1）分析： 在解本例时,要充分利用题目中所给出的条件 数设成顶点式,再由函数图象过定点来求解出系数 a 最大值、顶点位置,从而可以将二次函解： 二次函数的最大值为2,而最大值肯定是其顶点的纵坐标,顶点的纵坐标为y2又顶点在直线yx1 上,所以,2x1,x1顶点坐标是 （1,2）设该二次函数的解析式为a x221 a0,二次函数的图像经过点（3, 1）,1a 3221,解得 a 2二次函数的解析式为y2x221,即 y 2x2 8x7说明： 在解题时,由最大值

23、确定出顶点的纵坐标,再利用顶点的位置求出顶点坐标,然后设出二次函数的顶点式,最终解决了问题因此,在解题时,要充分挖掘题目所给的条件,并奇妙地利用条件简捷地解名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载决问题（ 2） 分析一 ：由于题目所给的条件中,二次函数的图象所过的两点实际上就是二次函数的图象与 x 轴的交点坐标,于是可以将函数的表达式设成交点式解法一： 二次函数的图象过点 3,0,1,0,可设二次函数为 y ax3 x 1 a 0,绽开,2 2得 yax 22ax 3a, 顶点的纵坐标为 12 a 4

24、 a4 a,由于二次函数图象的顶点到 x 轴的距离4 a1 1 2 3 1 2 32, |4a|2,即 a所以,二次函数的表达式为 yx x,或 yx x2 2 2 2 2分析二 ： 由于二次函数的图象过点 3,0,1, 0,所以,对称轴为直线 x 1,又由顶点到 x 轴的距离为 2,可知顶点的纵坐标为 2,或 2,于是,又可以将二次函数的表达式设成顶点式来解,然后再利用图象过点 3,0,或 1,0,就可以求得函数的表达式解法二 ：二次函数的图象过点3,0,1,0,对称轴为直线x 1又顶点到x 轴的距离为y2,顶点的纵坐标为2,或 2于是可设二次函数为yax122,或 y ax122,由于函数

25、图象过点 1,0, 0a1122,或 0a112 2 a1 2,或 a1 2所以,所求的二次函数为1 2x122,或 y 1 2x122说明： 上述两种解法分别从与x 轴的交点坐标及顶点的坐标这两个不同角度,利用交点式和顶点式来解题,在今后的解题过程中,要善于利用条件,挑选恰当的方法来解决问题（ 3） 解： 设该二次函数为 yax 2bx ca 0由函数图象过点 1, 22,0, 8,2,8,可得22 a b c8 c 解得 a 2,b12,c 8所以,所求的二次函数为 y 2x 212x88 4 a 2 b c【巩固练习 】1（1）D （2）C 22 x 2 x（3）D y2（1） yx2x

26、2 （2）y x 22x3 8 x 3（1）y1（2）4x12342 x8 x1（3）y1x3x51x22x3（4）y1x3221x23x55552224当长为 6m,宽为 3m 时,矩形的面积最大2,y x , 0x5（ 1）函数 f（ x）的解析式为y4x, 2x4,2 x4, 4x6,2 4 6 8x, 6x8.O （2）函数 y 的图像如下列图（3）由函数图像可知,函数y 的取值范畴是0y2专题六二次函数的最值问题参考答案例 1 分析 ：由于函数y2x23x5和yx23 x4的自变量x 的取值范畴是全体实数,所以只要确定它们的图象有最高点或最低点,就可以确定函数有最大值或最小值名师归纳

27、总结 解 ：（1）由于二次函数y2x23x5中的二次项系数20,所以抛物线y2x23x5有最低点,即函第 9 页,共 11 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 数有最小值由于y2x2学习好资料欢迎下载3x5=2x3249,所以当x3时,函数y2x23x5有最小值是44849 8yx2（2）由于二次函数3x4中的二次项系数-1 0,所以抛物线yx23x4有最高点,即函数有最大值由于yx23x4=x3225,所以当x3时,函数yx23x4有最大值24225 4例 2 解： 作出函数的图象当说明： 二次函数在自变量x1时,ymin1,当x2时,ymax5x

28、的给定范畴内,对应的图象是抛物线上的一段那么最高点的纵坐标即为函数的最大值,最低点的纵坐标即为函数的最小值依据二次函数对称轴的位置,函数在所给自变量x 的范畴的图象外形各异下面给出一些常见情形：例 3 解： 作出函数y1x2yx x22x 在x0内的图象x0时,函数的取值范畴是y1可以看出：当x时,min1,无最大值所以,当例 5 解： 1 由已知得每件商品的销售利润为x30元,那么 m 件的销售利润为ym x30,又m1623 x yx301623 3x2252x4860,30x542 由1知对称轴为x42,位于 x 的范畴内,另抛物线开口向下242 252 42 4860 432当x42时

29、,ymax3当每件商品的售价定为42 元时每天有最大销售利润,最大销售利润为432 元【巩固练习 】14 t14 或 2,3 22l22 mx3a2,b24a1或a111645当0时,y max22t ,此时1；当t0时,ymax22t ,此时x专题七不等式答案名师归纳总结 例 2 解： 1 不等式可化为x2x40 不等式的解是2x4x1270第 10 页,共 11 页2 不等式可化为x220 不等式的解是x2； 3 不等式可化为24- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 例 3 解： 明显k0学习好资料20欢迎下载0k0k1k1不合题意,于是：k04 kk0 22k21k1 或例 4 分析： 1 类似于一元二次不等式的解法,运用“ 符号法就 ” 将之化为两个一元一次不等式组处理；或者由于两个数式 相除异号,那么这两个数式 相乘也异号,可将分式不等式直接转化为整式不等式求01解2 留意到经过配方法,分母实际上是一个正数解： 1 解法 一原不等式可化为：2x1300或2x1300x3或x31x322xxxx211解法 二 原不等式可化为：2x3x101x322 解： 原不等式可化为：x12303x2503x