2022年二次函数中的存在性问题3.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载二次函数中的存在性问题等腰三角形 名师归纳总结 07 福建龙岩 如图,抛物线yax25ax4经过ABC的三个顶点,y B x 第 1 页,共 12 页已知 BCx轴,点 A 在 x 轴上,点 C 在 y 轴上,且 ACBC C （1）求抛物线的对称轴；A 1 （2）写出 A, ,C三点的坐标并求抛物线的解析式；（3）探究：如点P 是抛物线对称轴上且在x 轴下方的动点,0 1 是否存在PAB是等腰三角形如存在,求出全部符合条件的点 P 坐标；不存在,请说明理由解：（1）抛物线的对称轴x5a5y 2a2B x （2）A 3 0B

2、5 4 C 0 4 C 把点 A 坐标代入yax25 ax4中,解得a1A 1 0 1 3P6y1x25x4P 21 9 966（3）存在符合条件的点P共有 3 个以下分三类情形探究设抛物线对称轴与x 轴交于 N ,与 CB 交于 M 1P过点 B 作 BQx 轴于 Q ,易得BQ4,AQ8,AN5.5,BM52以 AB 为腰且顶角为角A 的PAB有 1 个：1P AB5 2,AB2AQ2BQ2824280在RtANP 1中,PN2 AP 1AN2AB2AN2805.52199P 122AB 为腰且顶角为角B 的PAB有 1 个：P ABP 25,82 9 5在RtBMP2中,MP 22 BP

3、 2BM22 ABBM2802529542221 2以 AB 为底,顶角为角P 的PAB有 1 个,即3P AB画 AB 的垂直平分线交抛物线对称轴于P ,此时平分线必过等腰ABC的顶点 C 过点3P作P K 垂直 y 轴,垂足为 K ,明显RtPCKRtBAQP KBQCKAQP K2.5CK5于是OK1P 3 2. 5,1- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 07 广西河池 如图,已知抛物线y2x2学习必备欢迎下载4x2的图象与 x 轴交于 A,B 两点,与 y 轴交于点 C,抛物33线的对称轴与x 轴交于点 D 点 M 从 O 点动身,以每秒1 个单

4、位长度xA2CyDxPBx的速度向 B 运动,过 M 作 x 轴的垂线,交抛物线于点P,交 BC 于 QQ（1）求点 B 和点 C 的坐标；（2）设当点 M 运动了 x（秒）时,四边形OBPC 的面积为 S,O求 S 与 x 的函数关系式,并指出自变量x 的取值范畴M（3）在线段 BC 上是否存在点Q,使得DBQ 成为以 BQ 为一腰的等腰三角形？如存在,求出点Q 的坐标,如不存在,说明理由（1）把 x =0 代入y2x24x2得点 C 的坐标为 C（0,2）33=x233把 y =0 代入y2x24x2得点 B 的坐标为 B（3,0）33（2）连结 OP,设点 P 的坐标为 P（x,y）S四

5、边形OBPC=SOPC+SOPB=1 22x13y = x32x242233 点 M 运动到 B 点上停止,0x3Sx323（ 0x3）24（3）存在BC=OB2OC2=13 如 BQ = DQ BQ = DQ ,BD = 2OC BM = 1OM = 31 = 2 ） tanOBCQM2 3QM =2 3所以 Q 的坐标为 Q （2,2 3BMOB 如 BQ=BD=2 名师归纳总结 BQM BCO,BQ=QM CO=BM BO 11 分第 2 页,共 12 页BC2=QM QM =4 13 13132BQ=BM OB2=BM13BC3 BM =6 13 13 OM = 36 1313所以 Q

6、 的坐标为 Q （36 13,4 13 13） 12 分13- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 07 年云南省 已知：如图,抛物线yax2bx学习必备欢迎下载、B5 , 0、C0 , 5三点c 经过A1, 0（1）求抛物线的函数关系式；b 与抛物线相交于点 E （4,m）,C y （2）如过点 C 的直线 ykx恳求出 CBE 的面积 S的值；（3）在抛物线上求一点 P 使得 ABP0为等腰三角形并1 1 O A B x 写出 P 点的坐标；E （4）除（ 3）中所求的 P 点外,在抛物线上是否仍存在其它的点 P 使得 ABP 为等腰三角形？如存在,请求

7、出一共有几个满意条件的点 P（要求简要说明理由,但不证明）；如不存在这样的点 P ,请说明理由解：（1）抛物线经过点 A 1, 0、B 5 , 0y a x 1 x 5又抛物线经过点 C 0 , 5 5 a 5,a 1抛物线的解析式为 y x 1 x 5 x 26 x 5（2） E 点在抛物线上,m = 4 24 6+5 = - 3直线 y = kx+b 过点 C（0, 5）、E（4, 3）,名师归纳总结 bk5,3.解得 k = - 2,b = 5D 点的坐标为 （5 2,0）4b设直线 y=- 2x+5 与 x 轴的交点为D,当 y=0 时,- 2x+5=0 ,解得 x=5 2 S=S B

8、DC + S BDE=1 2555+1553=10222第 3 页,共 12 页（3）抛物线的顶点P 03 ,4既在抛物线的对称轴上又在抛物线上,点P 03 ,4为所求满意条件的点（4）除P 点外,在抛物线上仍存在其它的点P 使得ABP 为等腰三角形理由如下：AP 0BP 02 22 42 54,分别以 A、 B 为圆心半径长为4 画圆,分别与抛物线交于点 B 、1P 、2P 、P 、 A 、P 、P 、P ,除去 B 、 A 两个点外,其余6 个点为满意条件的点（说明：只说出P 点个数但未简要说明理由的不给分）- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 07

9、山东威海 如图, 在平面直角坐标系中,学习必备欢迎下载y2 x 的点 A 的坐标为 12, ,点 B 的坐标为 31, ,二次函数图象记为抛物线1l A ,但不过点 B ,写出平移后的一个抛物线的函数表达式：（ 1）平移抛物线1l ,使平移后的抛物线过点（任写一个即可） （2）平移抛物线 1l ,使平移后的抛物线过 A,B 两点,记为抛物线 2l ,如图,求抛物线 2l 的函数表达式（3）设抛物线 2l的顶点为C,K为y轴上一点如 SABK SABC,求点 K 的坐标（4）请在图上用尺规作图的方式探究抛物线 2l 上是否存在点 P ,使ABP 为等腰三角形如存在,请判定点 P 共有几个可能的位

10、置（保留作图痕迹）；如不存在,请说明理由名师归纳总结 yy2lyB2lxyB2l第 4 页,共 12 页1l1 A1 ABx1 ABxC 1 O1 OO1 x12图图图2解：（1）有多种答案,符合条件即可例如yx21,yx2x ,y或yx22x3,yx22 1,yx122（2）设抛物线2l 的函数表达式为yx2bxc ,y2 x9x11K GAx点A , ,B31, 在抛物线2l上,CO1bcc2,解得1b9,抛物线2l 的函数表达式为DFE图293 bc11. 2227315 169,74 16（3）yx29x11x927,C 点的坐标为224161过 A, ,C三点分别作 x 轴的垂线,垂

11、足分别为D, ,F,就AD2,CF7,BE1,DE2,DF5,FE3 4164SABCS 梯形ADEBS 梯形ADFCS 梯形CFEB121212751221642164- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备y欢迎下载n ,延长 BA 交 y 轴于点 G ,设直线 AB 的函数表达式为mx点A , ,B31, 在直线 AB 上,0,522mn,解得n .m1,直线 AB 的函数表达式为y1x5G 点的坐标为213 mn5 . 222设 K 点坐标为 0,h,分两种情形：如 K 点位于 G 点的上方,就KGh5连结 AK,BK2SABKSBKGSAK

12、G13h511h5h522222SABKSABC15,h515,解得h55K 点的坐标为0,55161621616如 K 点位于 G 点的下方,就KG5h 同理可得,h25K 点的坐标为0,2516216（4）作图痕迹如图所示由图可知,点P共有 3 个可能的位置y2l注：作出线段AB 的中垂线得1 分,画出另外两段弧得1 分AOBx图名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 07 山东泰安 如图,在OAB中,B学习必备欢迎下载yCA90,BOA30,OA4,将OAB绕点 O 按逆时针方向旋转至OA B, C 点的坐标为（

13、0,4）（1）求 A 点的坐标；B（2）求过 C , A , A 三点的抛物线 y ax 2bx c的解析式；B（3）在（ 2）中的抛物线上是否存在点 P ,使以 O, ,P 为顶点的三角形是等腰直角三角形？如存在,求出全部点 P 的坐标；如不存在,请说明理由解：（1）过点 A 作 A D 垂直于 x 轴,垂足为 D , 就四边形 OB A D 为矩形 O A x在A DO 中, A D OA sin A OD 4 sin 60 2 3OD A B AB 2 点 A 的坐标为 2 2 3（2）C 0 4, 在抛物线上,c 4 y ax 2bx 42A 4 0, ,A 2 2 3,在抛物线 y

14、ax bx 4 上16 a 4 b 4 0,a 1 3解之得 24 a 2 b 4 2 3b 2 3 33 2所求解析式为 y x 2 3 3 x 42（3）如以点 O 为直角顶点,由于 OC OA 4,点 C 在抛物线上,就点 C 0 4, 为满意条件的点如以点 A 为直角顶点,就使PAO 为等腰直角三角形的点 P 的坐标应为 4 4, 或 4,4,经运算知；此两点不在抛物线上如以点 P 为直角顶点,就使PAO为等腰直角三角形的点P 的坐标应为 2 2, 或 2,2,经运算知；此两点也不在抛物线上名师归纳总结 综上述在抛物线上只有一点P0 4, 使OAP为等腰直角三角形第 6 页,共 12

15、页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载08 广东梅州 如图 11 所示,在梯形ABCD 中,已知 AB CD , ADDB,AD=DC=CB,AB=4以 AB 所在直线为 x 轴,过 D 且垂直于AB 的直线为 y 轴建立平面直角坐标系（1）求 DAB 的度数及 A、D、C 三点的坐标；（2）求过 A、D、 C 三点的抛物线的解析式及其对称轴 L（3）如 P 是抛物线的对称轴 L 上的点,那么使 PDB 为等腰三角形的点 P 有几个 .（不必求点 P 的坐标,只需说明理由）解： （1）DC AB,AD=DC=CB,CDB=CBD=DBA

16、,DAB=CBA,DAB=2DBA ,DAB+DBA=90 ,DAB=60 ,DBA=30,AB=4,DC =AD=2,Rt AOD,OA=1,OD= 3 ,. A（- 1,0）,D（0,3 ）,C（2,3 ）（2）依据抛物线和等腰梯形的对称性知,满意条件的抛物线必过点故可设所求为y = a （ x +1）（x -3）a =3将点 D（0,3 ）的坐标代入上式得,3A（ 1,0）,B（3,0）,所求抛物线的解析式为y =3x1 x3. 7 分3其对称轴 L 为直线 x =1 8 分（3）PDB 为等腰三角形,有以下三种情形：因直线 L 与 DB 不平行, DB 的垂直平分线与 L 仅有一个交点

17、 P1,P1D=P1B,P1DB 为等腰三角形； 9 分由于以 D 为圆心,DB 为半径的圆与直线 L 有两个交点 P2、P3,DB=DP2,DB=DP 3,P2DB,P3DB为等腰三角形；名师归纳总结 与同理, L 上也有两个点P4、 P5,使得BD=BP4,BD=BP5 10 分第 7 页,共 12 页由于以上各点互不重合,所以在直线L 上,使PDB 为等腰三角形的点P 有 5 个- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载C分别在 x 轴, y 轴上,08 福建南平 如图,平面直角坐标系中有一矩形纸片OABC , O 为原点,点 A,点 B

18、 坐标为 m,2 （其中m0）,在 BC 边上选取适当的点E和点F,将OCE沿 OE 翻折,得到OGA90OGE；再将ABF沿 AF 翻折,恰好使点B 与点 G 重合,得到AGF,且（1）求 m 的值；名师归纳总结 （2）求过点 O, ,A的抛物线的解析式和对称轴；A2 0, ,第 8 页,共 12 页（3）在抛物线的对称轴上是否存在点P ,使得OPG是等腰三角形？如不存在,请说明理由；如存在,直接答出全部满意条件的点P 的坐标（不要求写出求解过程）（1）B m,2,由题意可知AGAB2,OGOC2, OAmOGA90,OG2AG2OA2222 m 又m0,m2（2）过 G 作直线 GHx 轴

19、于 H ,就OH1,HG1,故G , 又由（ 1）知设过 O, ,A三点的抛物线解析式为yax2bxc抛物线过原点,c0又抛物线过 G,A两点,ab10解得a214 a2 bb所求抛物线为yx22 x它的对称轴为x1（3）答：存在 ,满意条件的点P 有 10, , 1,1, 11,2, 11,2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载08 湖南株洲 如图（ 1）,在平面直角坐标系中,点数y2 x 的图象为1l . A 的坐标为（ 1,- 2）,点 B 的坐标为（ 3,- 1）,二次函（ 1）平移抛物线1l ,使平移后的抛物线过点A,但不过点

20、B,写出平移后的抛物线的一个解析式（任写一个即可） . （ 2）平移抛物线 1l,使平移后的抛物线过 A、B 两点,记抛物线为 2l,如图（ 2）,求抛物线 2l的函数解析式及顶点 C 的坐标 . （ 3）设 P 为 y 轴上一点,且 S ABC S ABP,求点 P 的坐标 .（ 4）请在图（ 2）上用尺规作图的方式探究抛物线 2l 上是否存在点 Q,使 QAB 为等腰三角形 . 如存在,请判定点 Q 共有几个可能的位置（保留作图痕迹）；如不存在,请说明理由 . y y o x o x l 1 l 2名师归纳总结 - - - - - - -图（ 1）图（ 2）（1）yx22x3或yx24x5

21、等 （满意条件即可） 1 分（2）设2l 的解析式为yx2bxc ,联立方程组21bc,193 bc解得：b9,c911,就2l 的解析式为y2 x9x11, 3 分22227 16） 4 分点 C 的坐标为（,4（ 3）如答图 23- 1,过点 A、B、C 三点分别作x 轴的垂线,垂足分别为D、E、F,就AD2,CF7,16BE1,DE2,DF5,FE3 4. S 梯形A CFD15. 5 分4得：SABCS 梯形ABEDS 梯形BCFE16延长 BA 交 y 轴于点 G,直线 AB 的解析式为y1x5,就点 G 的坐标为（ 0,5）,设点 P 的坐222第 9 页,共 12 页精选学习资料

22、 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载SBPGSAPG5h,又标为（ 0, h ）当点P 位于点G 的下方时,PG5h,连结AP 、 BP,就SABP22SABCSABP15,得h55,点 P 的坐标为（ 0,55）. 6 分1616PG5h,同理h251625） . 当点 P 位于点 G 的上方时,点 P 的坐标为（ 0,21616综上所述所求点P 的坐标为（ 0,55）或（ 0,25） 7 分16164 作图痕迹如答图23-2 所示 . Q 、Q 、Q 、Q ,共 4 个可能的位置 . 10 分由图可知,满意条件的点有F E 答图 23-2 答图 23-1 名师归纳总结 -

23、 - - - - - -第 10 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 08 浙江温州 如图,在 RtABC中,A学习必备欢迎下载AC8, D,E分别是边 AB,AC的中点,90,AB6,名师归纳总结 点 P 从点 D 动身沿 DE 方向运动,过点P作PQBC 于 Q ,过点 Q 作 QRBA交 AC 于R C 第 11 页,共 12 页R ,当点 Q 与点 C 重合时,点 P 停止运动设BQx , QRy A （1）求点 D 到 BC 的距离 DH 的长；（2）求 y 关于 x 的函数关系式（不要求写出自变量的取值范畴）；D P R E （3）是否存在点P ,使P

24、QR为等腰三角形？如存在,B H Q 恳求出全部满意要求的x 的值；如不存在,请说明理由解：（1）ARt,AB6,AC8,BC10点 D 为 AB 中点,BD1AB32DHBA90,BB BHDBAC,DHBD,DHBDAC3812ACBCBC105C （2）QRAB,QRCA90CC ,RQCABC,RQQC,y10x,A ABBC610即 y 关于 x 的函数关系式为：y3x6RM B D P R E 5（3）存在,分三种情形：1 M 2 当 PQPR 时,过点 P 作 PMQR 于 M ,就 QMH Q 1290 ,C290,1C cos 1cos C84,A 105QM4,13 5x6

25、4,x18B D P E R 2QP51255H Q C 5当 PQRQ 时,3x612,x6A 55C 当 PRQR 时,就 R 为 PQ 中垂线上的点,于是点R为 EC 的中点,D E P CR1CE1AC2tanCQRBA,B H Q 24CRCA3x66,x15综上所述,当x 为18 5或 6 或15 2时,PQR为等腰三角形5282- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载二次函数中的存在性问题直角三角形 08 辽宁十二市 如图 16,在平面直角坐标系中,直线 y 3 x 3 与 x 轴交于点 A ,与 y 轴交于点 C ,2 2 3抛物线 y ax x c a 0 经过 A, ,C 三点3（1）求过 A, ,C 三点抛物线的解析式并求出顶点 F 的坐标；（2）在抛物线上是否存在点 P ,使ABP 为直角三角形,如存在,直接写出 P 点坐标；如不存在,请说明理由；（3）摸索究在直线AC 上是否存在一点M ,使得MBF的周长最小,如存在,求出M 点的坐标；如不存在,请说明理由y A O B x C F 图 16 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 12 页