2022年三角函数必备知识点及练习.docx

《2022年三角函数必备知识点及练习.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年三角函数必备知识点及练习.docx（19页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师精编 优秀资料三角函数必备学问点1. 任意角的三角函数：（1）弧长公式：l a R R 为圆弧的半径,a为圆心角弧度数,l 为弧长；（2）扇形的面积公式：S 1 lR R 为圆弧的半径,l 为弧长；2（3）三角函数（ 6 个）表示： a 为任意角,角 a 的终边上任意点 P 的坐标为 x , y ,它与原点的距离为 r（r0）那么角 a 的正弦、余弦、正切、余切、正割、余割分别是：y x y x r rsin a,cos a,tan a,cot a,sec a,csc a . r r x y x y（4）

2、同角三角函数关系式：倒数关系：tan a cot a 1 商数关系：tan a sin a,c ot a co s acos a s i n a平方关系：sin 2a cos 2a 1（5）诱导公式：（奇变偶不变,符号看象限）k/2+ a 所谓奇偶指的是整数 k 的奇偶性函 数x sin x cos x tan x cot xa sin a cos a tan a cot a2 a sin a cos a tan a cot acos a sin a cot a tan aa22.两角和与差的三角函数：（1）两角和与差公式：cosacosacossinasins i n s i n ac o

3、sc o ssi ntanatanatan注：公式的逆用或者变形1tanatan（2）二倍角公式：sin2a2sinacosacos2acos2asin2a12sin2a2cos2a1 第 1 页,共 10 页 tan2a12tanaa从二倍角的余弦公式里面可得出1cos2 atan2sin2a降幂公式：cos2a1cos2a,22（3）半角公式（可由降幂公式推导出）：1sinacosasina1cos a,cosa1cosa,tana1cos a2221cos a1cosasina22细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

4、- - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -3.三角函数的图像和性质：（其中k名师精编优秀资料xytanxz）ysinxycos三角函数定义域（- , +）（- , +）xk2值域（- , +）-1,1 -1,1 最小正周期T2T2T奇偶性奇偶奇单调性2 k22,k22 k1 , 2 kk2,k2单调递增单调递增2 k2,2k32 k,2 k1单调递增2单调递减单调递减对称性xk2xkk 2,0、 2来k0, k2, 0零值点xkxk2xk最值点xkk22y miny max11x2k,ymax1；1无xx k1min,y4.函数yAs

5、inx的图像与性质：（本节学问考察一般能化成形如yAsinx图像及性质）（1）函数yAsinx和yAcos x的周期都是T2（2）函数yAtanx和yAcotx的周期都是 T（3）五点法作yAsinx的简图,设tx,取 0、2、32求相应 x 的值以及对应的y 值再描点作图；（4）关于平移伸缩变换可详细参考函数平移伸缩变换,提倡先平移后伸缩；切记每一个变换总是对字母x而言,即图像变换要看“ 变量” 起多大变化,而不是“ 角变化”多少；（附上函数平移伸缩变换）: 函数的平移变换：细心整理归纳 精选学习资料 yfx yfxa a0将yfx图像沿 x 轴向左（右）平移a 个单位 第 2 页,共 10

6、 页 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师精编 优秀资料（左加右减）yfx yfx b b0将yfx图像沿 y 轴向上（下）平移b 个单位（上加下减）函数的伸缩变换：yfxyfwxw0将yfx图像纵坐标不变,横坐标缩到原先的将图像横坐标不变,纵坐标伸长到原先1 倍（ww1缩短,0w1伸长）yfxfxyAfxA0y的 A 倍（A1伸长,0A1 缩短）函数的对称变换：yfxyfx 将yfx图像绕 y 轴翻折 180 （整体翻折）y 轴翻（对三角函数来

7、说：图像关于x 轴对称）yfxyfx将yfx图像绕 x 轴翻折 180 （整体翻折）（对三角函数来说：图像关于y 轴对称）yfxyfx将yfx图像在 y 轴右侧保留, 并把右侧图像绕折到左侧（偶函数局部翻折）yfxyfx 保留yfx在 x 轴上方图像, x 轴下方图像绕x 轴翻折上去（局部翻动）5.三角变换：三角变换是运算化简过程中运用较多的变换,提高三角变换才能,要学会创设条件,敏捷运用三角公式,把握运算、化简的方法技能；（1）角的变换：角之间的和差、倍半、互补、互余等关系对角变换,仍可作添加、删除角的恒等变形（2）（3）（4）（5）（6）函数名称变换：三角变形中经常需要变函数名称为同名函数

8、；采纳公式：as i nbc o sa2b2s i n 其中cosaab2,sinabb222常数代换：在三角函数运算、求值、证明中有时候需将常数转化为三角函数,特殊是常数“1” ；幂的变换：对次数较高的三角函数式一般采纳降幂处理,有时需要升幂例如：1cos a常用升幂化为有理式；公式变形： 三角公式是变换的依据,应娴熟把握三角公式的顺用、逆用及变形；结构变化：在三角变换中经常对条件、结论的结构进行调整,或重新分组,或移项,或变乘为除,或求差等等；在形式上有时需要和差与积的互化、分解因 式、配方等；细心整理归纳 精选学习资料 （7）消元法：假如所要证明的式子中不含已知条件中的某些变量,可用此法

9、 第 3 页,共 10 页 （8）思路变换：假如一种思路无法再走下去,试着转变自己的思路,通过分析比较 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师精编 优秀资料去挑选更合适、简捷的方法去解题目；（9）利用方程思想解三角函数；如对于以下三个式子：sin a cos a,sin acos asin a cos a,已知其中一个式子的值,其余二式均可求出,且必要时可以换元；6.函数的最值（ 几种常见的函数及其最值的求法）： y a sin x b（或 a c

10、os x b 型：利用三角函数的值域,须留意对字母的争论 y a sin x b cos x 型：引进帮助角化成 y a 2 b 2 sin x 再利用有界性 y a sin 2 x b sin x c 型：配方后求二次函数的最值,应留意 sin x 1 的约束 y a sin x b 型：反解出 sin x,化归为 sin x 1 解决c sin x d y a sin x cos x b sin x cos x c 型：常用到换元法：t sin x cos x,但须留意 t 的取值范畴：t 2；（3）三角形中常用的关系：sinAsinBC,cosAAcosBC,sinAcosB2C,2si

11、n2Asin2 BCc o sc o s 2 BC练习题：1. ysinxcos 21是（） 第 4 页,共 10 页 - - - - - - - - - A最小正周期为2 的偶函数B最小正周期为2 的奇函数C最小正周期为的偶函数D最小正周期为的奇函数2. 为得到函数ycosx的图象,只需将函数ysinx 的图像（）3A向左平移个长度单位B向右平移个长度单位66C向左平移5个长度单位D向右平移5个长度单位663. 如 sin0 且 tan0是,就是（）A第一象限角B 其次象限角C 第三象限角D 第四象限角4. 函数fxsinxcosx的最大值为（）A1 B 2 C 3 D 2 5. 函数ysi

12、n2x3图像的对称轴方程可能是（）细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -Ax6Bx12名师精编x优秀资料Dx12C66. 函数 y=cosxx R的图象向左平移2个单位后, 得到函数 y=gx 的图象, 就 gx 的解析 第 5 页,共 10 页 - - - - - - - - - 式为 A.-sinx B.sinx C.-cosx D.cosx7. 已知函数f x 1 cos2 sin2x xR ,就f x 是（）A、最小正周期为的奇函数 B、最小正周期为2的

13、奇函数C、最小正周期为的偶函数 D、最小正周期为2的偶函数8. 函数f x cos2x2sinx 的最小值和最大值分别为（）A. 3,1 B. 2,2 C. 3,3 2D. 2,3 29. 将函数ysinx的图象 F 向右平移3个单位长度得到图象F ,如 F 的一条对称轴是直线x1,就的一个可能取值是（） A.5 B.5 C.11 D.111212121210. 函数f x sinsinxx是（）x2sin2A以 4为周期的偶函数 B以 2为周期的奇函数C以 2为周期的偶函数 D以 4为周期的奇函数11. 如动直线xa 与函数f x sinx 和g x cosx 的图像分别交于M,N两点,就M

14、N 的最大值为（）A1 B2C3D2 12. 已知cossin43,就sin7的值是（）656A2 3B2 3 5C4D4 55513. sin 330 等于（）A3B1C1 2D3222细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -14. tanxcotx2 cosx 名师精编优秀资料. tan x. sin x. cosx. cot x 第 6 页,共 10 页 - - - - - - - - - 15. 把函数ysinx xR 的图象上全部的点向左平行移动3个单位

15、长度,再把所得图象上全部点的横坐标缩短到原先的1倍（纵坐标不变） ,得到的图象所表示的函数是（）2Aysin2x3,xRBysinx6,xR2Cysin2x3,xRDysin 2x3,xR16. 设asin5,bcos2,ctan2,就（）777A abcB acbC bcaD bac17. 函数ysinxcos 21的最小正周期是（） A.2 B. C.3 D.2218. 在同一平面直角坐标系中,函数ycosx3x0,的图象和直线y1的交222点个数是（）A.0 B.1 C.2 D.4 19. 如角的终边经过点P ,2,就 tan 2的值为20. fxcosx6的最小正周期为5,其中0 ,就

16、= 21. 设x0,2,就函数y2sin2x1的最小值为sin 2x22. 如sin23,就 cos2_；523. 函数 f x 3sin x +sin2+x的最大值是24. 求函数y74sinxcosx2 4cosx4 4cosx 的最大值与最小值；细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -25. 已知函数f x sin2x名师精编优秀资料（0 ）的最小正周期为3 sinxsinx 2（）求的值；0,23上的取值范畴1（xR ,0）的最小值正周期是2（）求函数f

17、x 在区间26.已知函数f x 2co s 2x2sinxcosx（）求的值；f x 取得最大值的x的集合（）求函数f x 的最大值,并且求使27. 已知函数f cos2x32sinx4sinx4（）求函数f x 的最小正周期和图象的对称轴方程（）求函数f x 在区间 12,2上的值域28.已知函数f x 2sinxcosx2 3 sin2x3444（）求函数f x 的最小正周期及最值； 第 7 页,共 10 页 （）令g x fx,判定函数g x 的奇偶性,并说明理由3细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

18、名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师精编 优秀资料练习题参考答案：1.D 2.C 3.C 4.B 5.B 6.A 7.D 8.C 9.A 10.A 11.B 12.C 13.B 14.D 15.C 16.D 17.B 18.C 19.4 20. 10 21. 33 22. 7 23.2 2524.解：y74sinxcosx4cos2x4cos4x72sin 2x4cos2x1cos2x72sin 2x4cos2xsin2x72sin 2x2 sin 2x11, 中的最大值为1sin 2x26由于函数zu126在z max1 12610最小值

19、为z min1 1266x1时 y 取得最小值 6故当 sin 2x1时 y 取得最大值 10 ,当 sin 2【点评】：此题重点考察三角函数基本公式的变形,配方法,符合函数的值域及最值；【突破】：利用倍角公式降幂,利用配方变为复合函数,重视复合函数中间变量的范畴是关 键；25.解：（）f x 1cos2x3sin 2x3sin 2x1cos2x1 第 8 页,共 10 页 22222sin2x160 ,2由于函数f x 的最小正周期为,且所以2 2,解得11 2（）由（）得f x sin 2x6由于0x2,3细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - -

20、- - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -所以2x7,名师精编优秀资料666所以1sin2x1, 第 9 页,共 10 页 - - - - - - - - - 62因此0sin2x13,即f x 的取值范畴为0,3262226.解：fx21cos2xsin2x12sin2xcos 2x22sin2xcos4cos2xsin422sin2x42由题设,函数fx的最小正周期是2,可得22,所以2 2（）由（）知,fx2sin4x42当4x422k,即x16kkZ时,sin4x4取得最大值1,所以函数2fx的最大值是

21、22,此时 x 的集合为x|x16k,kZ227. 解：（ 1）f x cos2x32sinx4sinx41cos2x3sin 2xsinxcos sinxcos 221cos2x3sin 2xsin2xcos2x221cos2x3sin 2xcos2x22sin2x6周期T22（2）x12,2,2x63,56细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -由于f x sin2x6名师精编优秀资料3,2上单调递减,在区间 , 12 3上单调递增,在区间28.所以当x3时,

22、f x 取最大值 1 12时,f x 取最小值3又f123f21,当x222所以 函数f x 在区间 , 12 2上的值域为3 2,1解：（）f sinx3cosx2sinx 3222f x 的最小正周期T2412当sinx1时,f x 取得最小值2 ；当sinx 21时,f x 取得最大值2 第 10 页,共 10 页 233（）由（）知f x 2sinx又g x fx332g x 2sin1x2sinx2cosx 233222gx 2cosx2cosxg x22函数g x 是偶函数细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -