2022年平面向量的线性运算及练习.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载平面对量的线性运算学习过程学问点一：向量的加法r br r a b,在平面内任取一点r A ,作 AB ar,BCb,就向量AC（1）定义已知非零向量r 叫做ar 与br 的和,记作ar,即ar bABBCAC求两个向量和的运算,叫做叫向量的加法这种求向量和的方法,称为向量加法的三角形法就说明：运用向量加法的三角形法就时,要特殊留意“ 首尾相接”,即其次个向量要以第一个向量的终点为起点,就由第一个向量的起点指向其次个向量终点 的向量即为和向量. 两个向量的和仍旧是一个向量,其大小、方向可以由三角形法就确定位移的合成可以看作向量

2、加法三角形法就的物理模型（2）向量加法的平行四边形法就uuur r以点 O 为起点作向量 OA a,OB b,以 OA,OBuuur为邻边作 Y OACB,就以 O 为起点的对角线所在向量 OCr r r r uuur就是 ,a b 的和,记作a b =OC；说明：三角形法就适合于首尾相接的两向量求和,而平行四边形法就适合于同起点的两向量求和,但两共线向量求和时,就三角形法就较为合适 . 力的合成可以看作向量加法平行四边形法就的物理模型对于零向量与任一向量r r a a,r 0r 0r ar a（3）特殊位置关系的两向量的和当向量a与b不共线时,a+b的方向不同向,且|a+b|b|,就a+b的

3、方向与a相同,且|a+b|=|a|-|b|；如|a|b|,就a+b的方向与b相同,且 |a+b|=|b|-|a|. （4）向量加法的运算律向量加法的交换律：a + b = b + a向量加法的结合律：a+b +c=a+ b+c 学问点二：向量的减法名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - （1）相反向量：与学习必备欢迎下载r a；r a长度相同、方向相反的向量.记作r（2）向量ar 和-a互为相反向量,即r-a. 零向量的相反向量仍是零向量r r r r r任一向量与其相反向量的和是零向量,即 a-a -a a0r r r

4、r r r r r r假如向量 ,a b 互为相反向量,那么 a-b,b-a,ab0r r r r（3）向量减法的定义：向量 a 加上的 b 相反向量,叫做 a 与b 的差 . r r r r即：a b = a + b 求两个向量差的运算叫做向量的减法 . （4）向量减法的几何作法uur r uuur r uur r r r r在平面内任取一点 O,作 OA a OB b,就BA a b即a b 可以表示为从向量r rb 的终点指向向量 a 的终点的向量,这就是向量减法的几何意义r r说明：AB表示a b .强调：差向量“ 箭头” 指向被减数r r r r用“ 相反向量” 定义法作差向量,a

5、b = a + b , 明显,此法作图较繁,但最终作图可统一 . 学问点三：向量数乘的定义r（1）定义： 一般地, 我们规定实数 与向量a 的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,r记作 a,它的长度与方向规定如下：r r|a |a | r r r r当 0 时, a r 的方向与ar 的方向相同；当 0 时, a 的方向与a 的方向相反当 0时, a0（2） 向量数乘的运算律依据实数与向量的积的定义,我们可以验证下面的运算律：设、为实数,那么r r a a；r r r aaa；r r r rab abr a学问点四：向量共线的条件r r r r向量a a 0 与b 共线,当且仅当有唯独一个实

6、数r,使b学习结论名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载（1）两个向量的和仍旧是向量,它的大小和方向可以由三角形法就和平行四边形法就确定,这两种法就本质上是一样的共线向量加法的几何意义,为共线向量首尾相连接,第一个向量的起点与其次个向量的的终点的向量终点连接所得到的有向线段所表示的向量r r r（2）a b 可以表示为从向量 b 的终点指向向量r a（3）实数与向量不能相加减,但实数与向量可以相乘向量数乘的几何意义就是几个相等向量相加r（4）向量ar ar 0r 与b共线,当且仅当有唯独一个实数r ar

7、,使br a；,试判定练习r r a b,作uur OAr ar uuur b OBr uuur 2 , b OCr ar 3 b例 1已知任意两个非零向量A、B、C 三点之间的位置关系uuur解：ABOBOAa+2ba+b b,uuur且 uuur ACOCOAa+3ba+b2 b,uuurAC2AB所以, A 、B、C 三点共线例 2.如图,平行四边形 ABCD 的两条对角线相交于uuur r uuur r r r点 M ,且 AB uuur uuur uuur uuura, ADb,试用a,b 表示向量MA MB MC MDuuur uuur r r解 析：AM MC = 1 a b ,

8、所 以uuur r r uuuur uuur uuur uuur r r uuur r rMA 1 a b , DM MB MA AB 1 a b 所以 MD 1 b a 2 2 2例 3. 一艘船从长江南岸 A 点动身以 5 km/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶,同时江水的流速为向东 2 km/h试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度（保留两个有效数字）；求船实际航行速度的大小与方向 用与江水速度间的夹角表示,精确到度 . 分析： 速度是一个既有大小又有方向的量,所以可以用向量表示,速度的合成也就是向量的加法 . 解析： 如图, 设 AD 表示船向垂直于对岸行驶的速度,AB 表示水

9、流的速度,以 AD 、. AB 作邻边作平行四边形ABCD ,就AC 就是船实际航行的速度在 Rt ABC 中, |AB|2,|BC| 5,名师归纳总结 |AC | uuur AB2uuur BC2222 5295.4第 3 页,共 7 页 tan CAB5 2,CAB68- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载答：船实际航行速度的大小约为 为 68 . 5.4 km/h ,方向与水的流速间的夹角为约1. 2006 上海理 如图,在平行四边形 ABCD中,以下结论中错误选项（）（A） AB DC ；（ B） AD AB AC ；D C （C

10、） AB AD BD ；（D） AD CB 0 A B 2（ 2007 湖南文） 如 O、E、F 是不共线的任意三点,就以下各式中成立的是（） A EF OF OE B. EF OF OEC. EF OF OE D. EF OF OE3（2003 辽宁） 已知四边形 ABCD是菱形, 点 P在对角线 AC上（不包括端点 A、C）,就 AP（）A AB AD , 1,0 B AB BC , 0 , 2 2C AB AD , 1,0 D AB BC , 0 , 2 24. 2022 辽宁理 已知 O,A,B 是平面上的三个点 , 直线 AB上有一点 C,满意 2 AC CB 0 ,就 OC（） A

11、 2OA OB BOA 2 OB C2 OA 1 OB D1 OA 2 OB3 3 3 35（ 2003 江苏；天津文、理）O是平面上肯定点,A、 、C 是平面上不共线的三个点,动点 P 满意 OP OA AB AC , 0, 就 , P 的轨迹肯定通过 ABC 的AB AC （A）外心（B）内心（C）重心（D）垂心6（2005 全国卷 理、文）已知点A 3,1,B0,0,C 3,0设BAC 的平分线 AE与 BC 相交于 E ,那么有 BCCE ,其中等于 （A）（B）1 2（C）（D）1 3的方向相反,就7设a,b是两个不共线的非零向量,如向量ka2b与8akbk=_. 8. （ 2007

12、 江西理）如图,在 ABC 中,点 O是 BC的中点,过点 O的直线分别交直线 AB、AC于不同的两点 M、N,如 AB m AM ,AC n AN ,就 mn 的值为9（ 2005 全国卷理 ）ABC 的外接圆的圆心为 O,两条边上的高的交点为 H,OH m OA OB OC ,就实数 m =10. （2007 陕西文、理） 如图,平面内有三个向量OA 、 OB 、 OC ,其中 OA 与名师归纳总结 OB 的夹角为120 , OA 与 OC 的夹角为 30 ,且 OA OB 1,第 4 页,共 7 页OC 22. 如 OC OAOB ,R,就的值为. 例 1. B例 2例 3 B. - -

13、 - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载（三）基础训练：1. C；2B. 3A4. A. 5B 6C； 7_4_；8. 2 9 1 ；10. 26. ,0 ,1 3 2 2（四）拓展与探究：11、D； 12.平面对量的线性运算（复习课）复习目标：. 1、把握向量加、减法的运算,并懂得其几何意义 . . 2、把握向量数乘运算,并懂得其几何意义,以及两个向量共线的含义 . . 3、明白向量的线性运算性质及其几何意义 . 重点 :向量加、减、数乘运算及其几何意义 . 难点 :应用向量线性运算的定义、性质敏捷解决相应的问题 . 一、学案导学 自主建构复习

14、 1:向量的加法 复 习 2:向量的减 法已知 向量 a 和向 量 b ,作向量 a+b.复习 3： 向量的数乘已知 向量 a,作向量 3a 和-3a .二、合作共享 沟通提升已 知向量 a 和向量 b,作 向量 a-b .复习 4：平面对量共线定理名师归纳总结 1、填空：1ADCA- 2 ABCBDC- 3 ABACBDCD- 第 5 页,共 7 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 4在平行四边形学习必备ABAD欢迎下载就BAD_ABCD中,如ABAD2、判定题：（1）相反向量就是方向相反的向量（2）AB BA 0（3） AB OA OB（4）在 A

15、BC 中,必有 AB BC CA 0（5）如 AB BC CA 0,就 A、B、 C 三点必是一个三角形的三个顶点；3、如 OA 3 OB 2 OC , 就 A B C 三 点是否共线三、案例剖析 总结规律例 1:依据条件判定以下四边形的外形1ADBC 2 A D1B C 3 A DB C 且A BA D A D与 OA 交34OAOCOBOD;O是四边形所在平面内一点） 5 A CA B6四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,并且AOOC DOOB例 2、如图, 在OAB中,延长 BA 到 C,使 AC=BA, 在 OB 上取点 D,使 BD=OB.DC于 E,设 OAa OBb,请用

16、a b,表示向量OC DC. 例 3、设.ABCD 一边 AB 的四等分点中最靠近B 的一点为E,对角线 BD 的五等分点中靠近 B 的一点为 F,求证： E、F、C 三点在一条直线上名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 四、反馈矫正形成才能学习必备欢迎下载跟踪训练：1、有一边长为的正方形ABCD ,设BCb ACcOBOC= 0,就 O 是求： 1 abc2 abc3 abc2、已知 A、B、C 是不共线的三点,O 是 ABC 内的一点, 如 OA名师归纳总结 ABC 的 （填内心、重心、垂心、外心等）. 第 7 页,共 7 页- - - - - - -