2022年变量间的相关关系教案.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载变量间的相关关系一、教材分析同学情形分析：同学已经具备了对样本数据进行初步分析的才能,且把握了肯定的运算基础；教材位置和作用：变量间的相关关系是高中新教材人教A 版必修 3 其次章 2.3 节的内容 , 本节课主要探讨如何利用线性回来思想对实际问题进行分析与猜测；为以后更好地讨论选修2-3 第三章3.2 节回来分析思想的应用奠定基础；二、教学目标1、学问与技能：利用散点图判定线性相关关系,明白最小二乘法的思想及线性回来方程系数公式的推导过程, 求出回来直线的方程并对实际问题进行分析和猜测,通过实例加强对回来直线方程含义的懂得；

2、2 、过程与方法：类比、及最小二乘法的数学思想方法；通过动手操作通过自主探究体会数形结合、培育同学观看、分析、比较和归纳才能；3、情感、态度与价值观：类比函数的表示方法,使同学懂得变量间的相关关系,增强应用回来直线方程对实际问题进行分析和猜测的意识；三、教学重点、难点重点：利用散点图直观熟识两个变量之间的线性相关关系,明白最小二乘法的思想并利用此思想求出回来方程；难点：对最小二乘法的数学思想和回来方程的懂得,教学实施过程中的难点是依据给出的线性回来方程的系数公式建立线性回来方程；四、教学设计）（一）、创设情境 导入新课1、相关关系的懂得我们曾经讨论过两个变量之间的函数关系：一个自变量对应着唯独

3、的一个函数值,这两者之间是一种确定关系； 生活中的任何两个变量之间是不是只有确定关系呢？如：同学成果与老师水平之间存在着某种联系,但又不是必定联系,对于同学成果与老师水平之间的这种不确定关系,我们称之为相关关系； 这就是我们这节课要共同探讨的内容变量间的相关关系；生活中仍有许多描述相关关系的成语,如：“ 虎父无犬子” ,“ 瑞雪兆丰年” ；通过同学熟识的函数关系,引导同学关注生活中两个变量之间仍存在的相关关系；让同学体会讨论变量之间相关关系的重要性；感受数学来源于生活；（二）、初步探究,直观感知1、依据样本数据作出散点图,直观感知变量之间的相关关系；在讨论相关关系前,先回忆一下函数的表示方法有

4、哪些列表,画图象,求解析式；下面我们就用这些方法来讨论相关关系；看这样一组数据：在一次对人体脂肪含量和年龄关系的讨论中 ,讨论人员获得了一组样本数据,依据样本数据 ,人体的脂肪含量与年龄之间有怎样的关系？年23 27 39 41 45 49 50 53 54 56 57 58 60 61 龄9.5 17.8 21.2 25.9 27.5 26.3 28.2 29.6 30.2 31.4 30.8 33.5 35.2 34.6 脂肪名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载结论：随着年龄增长,脂肪含量在增加

5、；用 一个点；年龄脂肪脂肪含量23 9.5 27 17.8 39 21.2 4041 25.9 3545 27.5 3049 26.3 2550 28.2 20x 轴表示年龄, y 轴表示脂肪；一组样本数据就对应着53 29.6 150510152025303540455055606554 30.2 10556 31.4 057 30.8 58 33.5 年龄60 35.2 散点图61 34.6 这个图跟我们所学过的函数图象有区分,它叫作散点图；2、判定正、负相关、线性相关：请观看这 4 幅图,看有什么特点？脂肪含量400510 图 152 20r253035400.84 45 5055606

6、51000050100150358003060025204001510200500年龄01234567891 4图 1378911.0图0.0.20.11.5 图610.0.0.0.0.0-0图 4图 1 呈上升趋势,图 2 呈下降趋势；这就像函数中的增函数和减函数； 即一个变量从小到大,另一个变量也从小到大,或从大到小；对于图1 中的两个变量的相关关系,我们称它为正相关；图 2 中的两个变量的相关关系,称为负相关；后面两个图很乱,前面两个图中点的分布呈条状；从数学的角度来说明：即图 1、2 中的点的分布从整体上看大致在一条直线邻近；我们称图 1、2 中的两个变量具有线性相关关系；这条直线叫做

7、回来直线；图 3、4 中的两个变量是非线性相关关系（三）、循序渐进、延长拓展名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 1、找回来直线师：下面我们再来看一下年龄与脂肪的散点图,欢迎下载脂肪含量 40 35 3025从整体上看, 它们是线性相关的； 假如可以求出回52040455055606515归直线的方程, 我们就可以清晰地明白年龄与体内10脂肪含量的相关性； 这条直线可以作为两个变量具50有线性相关关系的代表；能否画出这条直线？05101520253035年龄数学试验 1：画出回来直线同学方案二脂肪含量脂肪含量

8、4040353530同学方案一302525202010 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 6515151010550005101520253035 4045 505560 650年龄年龄第一种其次种脂肪含量 40 35 30 25 20 15 105 005101520253035404550556065年龄多种方法展现总结： 其次种方法好, 由于全部的点离这条直线最近；2、利用最小二乘法推导回来系数公式从整体上看,各点与此直线的距离和最小；名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎

9、下载假设我们已经得到两个具有线性相关关系的变量的一组数据： x 1 , y 1 x 2 , y 2 x n , y n ；当自变量 x 取 ix （ i =1,2, , n）时,可以得到 y . bx i a （ i =1,2, , n）,它与实际收集到的 iy 之间的偏差是 y i y . y i bx i a （ i =1,2, , n）,这样用 n 个偏差的和来刻画“ 各n点与此直线的整体偏差” 是比较合适的；总的偏差为 y i y ,偏差有正有负,易抵消,所以采i 1n用确定值 y i y ,由于带确定值运算不便利所以换成平方,i 1n 2Q y y . y 1 bx a 2 y 2

10、bx 2 a 2 y 3 bx 3 a 2 y n bx n a 现在的问题就归结为：当 a ,b 取什i 1么值时 Q最小；Q将上式绽开、再合并,就可以得到可以求出Q取最小值时“ 最小n aybx2inx ix2binx ixy i2y2in1x ix yi2y 2in1y iy 21nx ixnx ix 1i1i1nnx ixyiyx y inx ybi1inx ix2ii1x i2nx2（其中x1inx i,y1in1yi）n11n1naybx推导过程用到偏差的平方,由于平方又叫二乘方,所以这种使“ 偏差的和” 最小的方法叫二乘法” ；3、求出回来直线方程,并分析它的意义利用最小二乘法就

11、可以求出回来系数,进一步求出回来方程；下面我们详细操作一下；我们 iy 表示脂先明确几个符号的含义：ix 表示年龄,1x 是 23,x 是 27,直到x 是 61； i 从 1 到 14,肪,1y 是 9.5 ,y 是 17.8 ；x y 表示年龄与脂肪的成果,ix2表示 年龄的平方xiyixiyixi2名师归纳总结 年龄脂肪第 4 页,共 10 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 23 xi9.5 218.5 y学习必备欢迎下载inx i2表示自变量的平529 27 17.8 480.6 729 39 21.2 826.8 1521 41 25.9

12、1061.9 1681 45 27.5 1237.5 2025 49 26.3 1288.7 2401 50 28.2 1410 2500 53 29.6 1568.8 2809 54 30.2 1630.8 2916 56 31.4 1758.4 3136 57 30.8 1755.6 3249 58 33.5 1943 3364 60 35.2 2112 3600 61 34.6 2110.6 3721 48.071 27.264286 19403.2 34181 x1in表示自变量年龄的平均数,1in1y i表示因变量脂肪的平均数,n1n1方和,inx y 表示自变量与因变量乘积的和；要

13、求出 a ,b,必需先求出这些量；1数学试验 2：求出以下各式的值（ n=14）x1inxi= y1in1y i= inx y = inx i2= n1n11nbx yinx yaaybx = y .ybxai1nx i2nx2i10.448,b0.57650.5765x0.448通过运算,求出了求出回来直线方程有什么用呢？表格中选取年龄 得出的数据与真实数值之间的关系；x 的一个值代入上述回来直线的方程,看看名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - y .0.5765500.448学习必备欢迎下载29.272估量值是 2

14、9.272 ,与实际值 28.2 有偏差, 为什么会显现这样的结果？回来直线是估量出的,把 a 带入确定有误差；试猜测某人 37 岁时,他体内的脂肪含量；并说明结果的含义；代入运算 y . 0.5765 37 0.44820.882我们不能说他的体内脂肪含量的百分比肯定是 20.882%？只能说他体内的脂肪含量在 20.90%,附 近的可能性比较大；（四）、线性回来分析思想在实际中的应用总结：我们利用回来直线对年龄与脂肪的关系做了上述分析,这种分析方法叫做线性回来分析；利用这种分析方法可以对生活中的许多问题进行分析与猜测；例 2 有一个同学家开了一个小卖部, 他为了讨论气温对销售热饮的影响,

15、经过统计 , 得到一个卖出的热饮杯数与当天气温的对比表：摄氏温度/ -5 0 4 7 12 15 19 23 27 31 36 热饮杯数156 150 132 128 130 116 104 89 93 76 54 （1）画出散点图（2）从散点图中发觉气温与热饮销售杯数之间关系的一般规律（3）求回来方程（4）假如某天的气温是 2,猜测这天卖出的热饮杯数数学试验 3：求出以下各式的值（ n=11）x1inxi= y1in1y i= inx y = inx i2= n1n11nbii11x yinx yaybx = .ybxanx i2nx2（五）利用相关系数判定线性相关程度利用最小二乘法求出回来

16、直线的方程后,可以对上面两个变量的关系进行分析与猜测；是不是第 6 页,共 10 页全部的相关关系都可以求出回来直线的方程？请大家观看这4 幅图名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载脂肪含量4050510图152 20r253035400.84 4550556065100000501001503580030256002040015200100年龄10 123456789 04图 5图1r7 0.270.979111.10图2r0.0.8411.3r680.0-0.0.0.0.0.0.0.图4r0.05结论：前两个是线性相关,

17、 可以求回来方程, 后两个是非线性相关,直线不能很好地反映图中两个变量之间的关系；明显求回来直线的方程是没有意义的；有些变量线性相关,有些非线性相关,怎样衡量变量的线性相关程度呢？n x i x y i y 这时我们引入一个量：相关系数 i 1r n n2 2 x i x y i y i 1 j 1留意它的符号：当 r 0 时,x,y 正相关,当 r 0 时, x,y 负相关,统计学认为：对于 r ,如 r 1, 0.75,那么负相关很强,如 r 0.75,1,那么正相关很强,如 r 0.75, 0.30 或r 0.30,0.75,那么相关性一般,如 r 0.25,0.25,那么相关性较弱,不

18、同的相关性可以从散点图上直观地反应出来,观看这几幅散点图,判定图中的两个变-量的相关关系的强弱；图 1、2 正线性相关,图 1 中的点密集,相关性比图 2 好；利用相关系数也可以看出相关性, 图 1 中 r=0.97 接近 1,图 2 中 r=-0.85 ,所以可以总结出相关系数的确定值越大,线性相关关系就越强；（五）、归纳总结,内化学问回来直线方程的求法：先判定变量是否线性相关如线性相关,利用公式运算出 a 、b 利用回来方程对生活实际问题进行分析与猜测高考统计部分线性回来方程详细如何应用线性回来方程为y .bx .a 的求法：第 7 页,共 10 页名师归纳总结 - - - - - - -

19、精选学习资料 - - - - - - - - - （1） 先求变量 x 的平均值,既x学习必备2欢迎下载xn1 nx 1xx 3（2） 求变量 y 的平均值,既y1 ny 1y2y 3y n（3） 求变量 x 的系数.b ,有两个方法n法 1b .i1xixyi2yy ny（需懂得并会代入数据）（题目给出不用记忆）nx2x ix 1i1xxy2y.xnxxy 1yx2x2x2.x nx2x 1n x i x y i y 法 2 b . i 1n（题目给出不用记忆）2 x i x i 1x y 1 1 x y 2 2 . x y n n nx y2 2 2 2 ,（这个公式需要自己记忆,略微简洁

20、些）x 1 x 2 . x n nx（4） 求常数 .a ,既 .a y bx .最终写出写出回来方程 y . bx . a ；可以改写为：y bx . a （ .y 与 y 不做区分）例：已知 ,x y 之间的一组数据：x y0 1 2 3 1 3 5 7 求 y 与 x 的回来方程：解：（1）先求变量 x 的平均值,既x1 0 412341.5（2）求变量 y 的平均值,既y1 1 3 457（3）求变量 x 的系数.b ,有两个方法名师归纳总结 法 1.bx 1xy 1yx 2xy 2yx 3xy 3yx 4xy 4y第 8 页,共 10 页0x 1x2 x 2x2x 3x2x 4x2

21、451.51 41 1.53421.5543 1.5701.522 1 1.522 1.52 3 1.57- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 法 2.bx y 1x y2. x ynnxy学习必备欢迎下载3 74 1.5450 1 1 3252 x 12 x 2.2 x nnx2022 1222 374求常数 .a ,既a .ybx .451.52577最终写出写出回来方程y .bx .a .5 7x257数学试验1、画出回来直线脂肪含量 40 35 30 25 20 15 10 5 005101520253035404550556065年龄2、求出以下各式的值x11inxi= y1iny i= n1n1nx y = inx i2= i1n名师归纳总结 bii11x yinx yaybx = 第 9 页,共 10 页nx i2nx2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载.y bx a= 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 10 页