2022年吉林省东北师范大学附属中学高中数学总复习文新人教版必修.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 第三章 不等式一、基础学问不等式的基本性质：（1）aba-b0 ；（2）ab, bcac；nb; （3）aba+cb+c；（ 4）ab, c0acbc；（5）ab, c0acb0, cd0acbd; （7）ab0, n N+anb n; （8） ab0, n N+na（9）a0, |x|a-axaxa 或 xb0, cd0 ,所以 acbc, bcbd ,所以 acbd；重复利用性质（6）,可得性质（7）；再证性质（ 8）,用反证法,如 na nb,由性质（ 7）得 n a n n b n,即 ab,与 ab 冲突,所以假设不 成 立 , 所

2、以 n a n b； 由 绝 对 值 的 意 义 知 （ 9 ） 成 立 ； -|a| a|a|, -|b|b|b| , 所 以-|a|+|b| a+b|a|+|b|,所以 |a+b| |a|+|b|；下面再证 （10）的左边,由于 |a|=|a+b-b| |a+b|+|b|,所以 |a|-|b|a+b| ,所以（10）成立；（ 11）明显成立； 下证（12）,由于 x+y-2 xy x y 20,所以 x+y2 xy,当且仅当 x=y 时,等号成立,再证另一不等式,令 3 x a , 3 y b , 3 z c,由于x 3+b 3+c 3-3abc =a+b 3+c 3-3a 2b-3ab

3、2-3abc =a+b 3+c 3-3aba+b+c=a+b+ca+b 2-a+bc+c 2-3aba+b+c=a+b+ca 2+b 2+c 2-ab-bc-ca= 1 a+b+ca-b 2+b-c 2+c-a 2 0,所以 a 3+b 3+c 33abc,即 x+y+z3 xyz ,等号当且仅当 x=y=z2时成立；二、基础例题1不等式证明的基本方法；（1）比较法 ,在证明 AB或 A0）与 1 比较大小,最终 B意实数x, y, z, 有x2+y 2+z 22ab abccaabxybacyzcbaxz.2ayzbcc【证明】左边 - 右边 = x2+y2+z22abaxy2abcbccb

4、c2acacxzbbcx22babxycaay2ccay20.bbc ca2abcayzabbz2aacac xzbccxbz22a2bcbbbbcxcaay2ccaybbz2abzbccxaa所以左边右边,不等式成立；名师归纳总结 - - - - - - -例 2 如 axlog1-x 1-x=1（ 因 为01-x21-x0, 01-x|loga1-x|. （2）分析法（明白）,即从欲证不等式动身,层层推出访之成立的充分条件,直到已知为止,表达第 1 页,共 5 页精选学习资料 - - - - - - - - - 方式为：要证 ,只需证 ；3 abc a+b2 ab.kk11,例 3 已知

5、a, b, cR +,求证： a+b+c-3【证明】要证 a+b+c33cab a+b2 ab 只需证c2ab3 3abc,由于c2abcabab3 3cab3 3abc,所以原不等式成立；例 4 已知实数 a, b, c满意 0ab c1 ,求证：2c2ca 1b b11a. 11【证明】由于 0n+1n. 例 5 对任意正整数【证明】 1 ）当 n=3 时,由于 3 4=8164=4 3,所以命题成立；2）设 n=k 时有 kk+1k+1k,当 n=k+1 时,只需证 k+1k+2k+2k+1,即k1k21. 由于 k2 k1k1 k所以只需证k1 k2kk1k,即证 k+12k+2kk+

6、2k+1,只需证 k+12kk+2 ,即证 k2+2k+1k2+2k. k2 k1k1明显成立；所以由数学归纳法,命题成立；（4）反证法；例 6 设实数 a0, a 1, ,a n 满意 a0=an=0,且 a0-2a 1+a20, a 1-2a 2+a30, , a n-2-2a n-1+an0,求证ak0k=1, 2, , n-1. 【证明】假设 akk=1, 2, ,n-1 中至少有一个正数,不妨设 ar 是 a1, a 2, , a n-1 中第一个显现的正数,就 a10, a 20, , a r-1 0, a r0. 于是 ar -a r-1 0,依题设 ak+1-a kak-a k

7、-1 k=1, 2, , n-1；所以从 k=r 起有 an-ak-1 an-1 -an-2 ar -ar-1 0. 由于 anak-1 ar+1ar 0 与 an=0 冲突；故命题获证；（5）分类争论法；名师归纳总结 （6）放缩法,即要证AB,可证 AC1, C 1C2, ,C n-1 Cn, CnBnN+. （放缩法尤为重要）第 2 页,共 5 页例 8 求证：1112n11nn2 .23【证明】111211111111123n2442n2n2n2n111n211n,得证；2n2n2例 9 已知 a, b, c是 ABC的三条边长, m0,求证：aambbmccm.【证明】aambbmaa

8、mabmaabbm1ammbbb1m c（由于 a+bc）,得证；c m c m（7）引入参变量法；（引参为消参服务）- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 例 10 已知 x, y R +, l, a, bl为待定正数,求fx, y=la32b3的最小值；x2y2【解】设yk,就x1k,y1klk,fx,y= 1k a3b32k2x1a33 ba3ka3kb31b313 b1a3k21a3+b 3+3a 2b+3ab 2= l2k2kkl2al2b 3,等号当且仅当ax例 11 设 x1x2x3x42, x3b a b 时成立；所以 fx, y min=

9、2 .y l2+x3+x4x1,求证： x 1+x2+x3+x4 24x1x2x 3x 4. 【 证 明 】设x 1=kx 2+x 3+x4 , 依 题 设 有1 3 k1, x3x 44 , 原 不 等 式 等 价 于1+k2x 2+x3+x424kx 2x 3x 4x 2+x 3+x4 ,即 1k2x 2+x3+x 4 x 2x 3x4,由于 fk=k+1 在 k11,上递减,4 k3所以1k2x2+x3+x4=1k12x2+x3+x4 4 k4k3123x2=4x 2x 2x3x4. 34所以原不等式成立；（8）局部不等式；名师归纳总结 例 12 已知 x, y, zR +,且 x2+y

10、2+z2=1,求证：1x21y1z2323.第 3 页,共 5 页xy2z【证明】先证1x2323x2.x由于 x1-x2=12x2 1x22123323, 223.所以1x2x2x2x2323x2.xx 1233同理1y2323y2,y1z2323z2,z所以1x21y21z2323x2y2z2323xyz例 13 已知 0a, b, c1,求证：a1b1c12；bccaab【证明】先证a1a2ac.bcb即 a+b+c2bc+2. 即证 b-1c-1+1+bca. 由于 0a, b, c1,所以式成立；同理b1a2 bc,c1a2 cc.cababb- - - - - - -精选学习资料

11、- - - - - - - - - 三个不等式相加即得原不等式成立；（9）利用函数的思想；例 14 已知非负实数 a, b, c 满意 ab+bc+ca=1,求 fa, b, c= 1 1 1 的最小值；a b b c c a【解】当 a, b, c 中有一个为 0,另两个为 1 时, fa, b, c= 5 ,以下证明 fa, b, c 5 . 不2 2妨设 ab c,就 0 c3 , fa, b, c= 2 2 c a2 b 1 .3 c 1 c 1 a b2由于 1=a+bc+ab a b +a+bc ,4解关于 a+b 的不等式得 a+b 2 c 2 1-c. 考虑函数 gt= 2 t

12、 1 , gt 在 c 2 ,1）上单调递增；c 1 t又由于 0c3 ,所以 3c 21. 所以 c 2+a4c 2. 所以 2 c 2 1 c c 2.13所以 fa, b, c= 2 2 c a2 b 1c 1 c 1 a b2c 2 2 c1 2 cc 2 11 c 2 c 2 11 c 2= 2 2 c c2 1 cc 1 c 12= 2c 2 11 c 21 c2 3 c2 12 24 c 3 c 1 5 3 1 c 1 c .2 2 2 2 2下证 3 1 c 21 c 0 3 c 3 c 21 c 2+6c+99c 2+9 c 3c0 c 3 .4 4由于 c 3 3,所以式成

13、立；3 4所以 fa, b, c 5 ,所以 fa, b, c min= 5 .2 2三1. 不等式x20的解集为（）x1 A x| 1x2 C x| 1x2 B x| 1x2 D x| 1x2 【答案】 B 【解析】原不等式等价于x1 x20,x10解得 1x 2 名师归纳总结 2. ）某物流公司有6 辆甲型卡车和4 辆乙型卡车,此公司承接了每天至少运输280t 货物的业务,已知每第 4 页,共 5 页辆甲型卡车每天的运输量为30t ,运输成本费用为0.9 千元；每辆乙型卡车每天的运输量为40t ,运输成本为 1 千元,就当每天运输成本费用最低时,所需甲型卡车的数量是 A6 B5 C4 D3

14、 【答案】 Cx 辆,乙型卡车y 辆yz 0.9xy【解析】设需要甲型卡车4 A- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 30 x 40 y 280由题意 0 x 6 且 x、yZ0 y 4运输成本目标函数 z 0.9 xy画出可行域 如图 可知,当目标函数经过 及需要甲型卡车和乙型卡车各 4 辆；A4,4 时, z 最小 7.6 千元3. 把圆 C：x22 y1按向量 a=h,-1 平移后得圆C1,如圆 C1 在不等式 x+y+1 a , b20 所确定的平面区域内,就h的最小值为（ A ）（A）1 （B）-1 （C）3（D）3334已知函数f x 的定义域

15、为 3, ,部分函数值如表所示,其导函数的图象如下列图,如正数满意f2ab1,就b2a2的取值范畴是 B A2 5,1B2,4C 1,4D, 254,5名师归纳总结 5. 已知函数f x 2 axbx1a bR . 2k 的取值范畴 . 第 5 页,共 5 页 如f 10且对任意实数x 均有f 0成立,求实数a b 的值；（）在 的条件下,当x2,2时,g x f x kx是单调函数,求实数【解析】）f 10ab10即ba1,又对任意实数x 均有fx0 成立b24a0恒成立,即a120恒成立a1,b2（）由（）可知f x22x1g x x22k x1g x 在 x 2,2 时是单调函数, 2,2,k22或 2,2k22k22或k222即实数 k 的取值范畴为, 26,- - - - - - -