2022年向量与三角形内心、外心、重心、垂心知识的交汇.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 向量与三角形内心、外心、重心、垂心学问的交汇天津四中：刘晖一、四心的概念介绍（1）重心中线的交点：重心将中线长度分成 2：1；（2）垂心高线的交点：高线与对应边垂直；（3）内心角平分线的交点（内切圆的圆心） ：角平分线上的任意点到角两边的距离相等；（4）外心中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等；二、四心与向量的结合名师归纳总结 （1）OAOBOC0O 是ABC的重心 . 第 1 页,共 4 页证法 1：设Ox ,y,A x 1,y 1,B x2,y2,Cx3,y3OAOBOC0x 1x x 2xx 33x0xx1x2x33

2、y 1y y 2y yy 0yy 1y2y33O 是 ABC 的重心 . 证法 2：如图AOAOBOCOA2OD0OEAO2ODA、O、D三点共线,且 O分 AD为 2：1 BDCO 是ABC 的重心（2）OAOBOBOCOCOAO 为ABC 的垂心 . 证明：如下列图O 是三角形 ABC 的垂心, BE 垂直 AC ,AD 垂直 BC, D、E 是垂足 . OAOBOBOCOB OAOCOBCA0AOBACOE同理OABC,OCABO 为ABC 的垂心BDC（3）设 a , b , c 是三角形的三条边长,O是ABC的内心aOAbOBc OC0O为ABC 的内心 . 证明：AB 、ACc b

3、分别为AB、AC方向上的单位向量,ABAC平分BAC , cbAOABAC ,令abcccbb- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - AOabcc（ABAC bcb化简得abbc OAbABcAC0a OAOBcOC0O 为ABC 的外心；（4）OAOBOC典型例题：例 1： O 是平面上肯定点,A、B、C是平面上不共线的三个点,动点EP 满意OPOAABAC,0,就点 P 的轨迹肯定通过ABC的（）CA外心B内心C重心D垂心分析：如下列图ABC,D、E分别为边BC、AC的A中点 . ABAC2ADOPOA2ADOPOAAPBDAP2ADAP / AD名师归

4、纳总结 满意点 P 的轨迹肯定通过ABC 的重心,即选 C . 第 2 页,共 4 页例 2：（03 全国理 4）O是平面上肯定点,A、B、C是平面上不共线的三个点,动点 POPOAABAC,0,就点 P 的轨迹肯定通过ABC 的（B ）OPABACA外心B内心C重心D垂心分析：AB 、ACAB AC分别为AB、AC方向上的单位向量,ABAC平分BAC , ABAC点 P 的轨迹肯定通过ABC 的内心,即选B . 例 3： O 是平面上肯定点,A、B、C是平面上不共线的三个点,动点P 满意OAABAC,0,就点 P 的轨迹肯定通过ABC 的ABc os BACc os C- - - - - -

5、 -精选学习资料 - - - - - - - - - （）A 外心B内心C重心D垂心AEC分析： 如下列图 AD 垂直 BC,BE 垂直 AC , D、E 是垂足 . ABBACBCABcosACcos CBD=ABBCACBCABcosBACcos C=ABBCcosBACBCcosCABcosBACcosC=BC + BC =0 点 P 的轨迹肯定通过ABC 的垂心,即选D . 练习：名师归纳总结 1已知ABC三个顶点A、B、C及平面内一点P ,满意PAPBPC0,如实第 3 页,共 4 页数满意：ABACAP,就的值为（）A 2 3 B 2C3 D 6 2如ABC 的外接圆的圆心为O,半

6、径为 1,OAOBOC0,就OAOB A1B0 C1 D1223点 O 在ABC 内部且满意OA2 OB2 OC0,就ABC 面积与凹四边形ABOC 面积之比是（）A 0 B3C5D42434ABC 的外接圆的圆心为O,如OHOAOBOC,就 H 是ABC 的（）A 外心B内心C重心D垂心5 O 是平面上肯定点,A、B、C是平面上不共线的三个点,如2 OABC2OB2CA2OC2AB2,就 O 是ABC 的（）A外心B内心C重心D垂心6 ABC的外接圆的圆心为O,两条边上的高的交点为H,OHm OAOBOC,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 就实数 m = 7（06 陕西）已知非零向量AB 与AC 满意 AB |AB |+ACBC=0 且ABAC=1 2 , 就|AC |AB |AC | ABC 为 ACABCBBCCA,就A三边均不相等的三角形B直角三角形C等腰非等边三角形D等边三角形8已知ABC 三个顶点A、B、C,如AB2ABABC 为（）A等腰三角形B等腰直角三角形C直角三角形D既非等腰又非直角三角形练习答案： C、 D、C、 D、 D、 1、D、C 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 4 页