2022年两角差的余弦公式.docx

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1、名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载两角差的余弦公式一、课标要求：本章学习的主要内容是两角和与差的正弦、余弦、和正切公式,以及运用这些公式进行简洁的恒等变换 . 三角恒等变换位于三角函数与数学变换的结合点上.通过本章学习,要使同学在学习三角恒等变换的基本思想和方法的过程中,进展推理才能和运算才能,使同学体会三角恒等变换的工具性作用,学会它们在数学中的一些应用 . 1. 明白用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程,进一步体会向量方法的作用；2. 懂得以两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式,二倍角的正弦、余弦、

2、正切公式,明白它们的内在联系；3. 运用上述公式进行简洁的恒等变换,以引导同学推导半角公式,积化和差、和差化积公式（不要求记忆）作为基本训练,使同学进一步提高运用转化的观点去处理问题的自觉性,体会一般与特殊的思想,换元的思想,方程的思想等数学思想在三角恒等变换中的应用 . 二、编写意图与特色1.本章的内容分为两节： “ 两角和与差的正弦、余弦和正切公式”,“ 简洁的三角恒等变换”,在学习本章之前我们学习了向量的相关学问,因此作者的意图是挑选两角差的余弦公式作为基础,运用向量的学问来予以证明,降低了难度,使同学简洁接受；2. 本章是以两角差的余弦公式作为基础来推导其它的公式；3. 本章在内容的支

3、配上有明暗两条线,明线是建立公式,学会变换,暗线是进展推理和运算的才能,因此在本章全部内容的支配上,特殊留意恰时恰点的提出问题,引导同学用对比、联系、化归的观点去分析、处理问题,强化运用数学思想方法指导设计变换思路的意识；4. 本章在内容的支配上贯彻“ 删减繁琐的运算、人为技巧化的难题和过分强调细枝末叶的内容” 的理念,严格掌握了三角恒等变换及其应用的繁、难程度,特殊留意不以半角公式、积化和差、和差化积公式作为变换的依据,而只把这些公式的推导作为变换的基本练习 . 三、教学内容及课时支配建议本章教学时间约 8 课时,详细安排如下：3.1 两角和与差的正弦、余弦、和正切公式 约 3 课时3.2

4、简洁的恒等变换 约 3 课时复习 约 2 课时 3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式一、课标要求：本节的中心内容是建立相关的十一个公式,通过探究证明和初步应用,体会和熟悉公式的特点及作用 . 二、编写意图与特色本节内容可分为四个部分,即引入,两角差的余弦公式的探究、证明及初步应用,和差公式的探究、证明和初步应用,倍角公式的探究、证明及初步应用 . 三、教学重点与难点1. 重点：引导同学通过独立探究和争论沟通,导出两角和差的三角函数的十一个公式,并明白它们的内在联系,为运用这些公式进行简洁的恒等变换打好基础；细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - -

5、- 第 1 页,共 10 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -2.难点：两角差的余弦公式的探究与证明.学习必备欢迎下载3.1.1 两角差的余弦公式一、教学目标把握用向量方法建立两角差的余弦公式.通过简洁运用, 使同学初步懂得公式的结构及其功能,为建立其它和 （差）公式打好基础 . 二、教学重、难点1. 教学重点：通过探究得到两角差的余弦公式；2. 教学难点：探究过程的组织和适当引导,这里不仅有学习积极性的问题,仍有探究过程必用的基础学问是否已经具备的问题,运用已学学问和方法的才能问题,等等 . 三、学法与

6、教学用具1. 学法：启示式教学2. 教学用具：多媒体四、教学设想：（一）导入： 我们在中学时就知道cos452,cos303,由此我们能否得到cos15cos 4530.大22家可以猜想,是不是等于cos45cos30 呢？cos.依据我们在第一章所学的学问可知我们的猜想是错误的！下面我们就一起探讨两角差的余弦公式（二）探讨过程：在第一章三角函数的学习当中我们知道,在设角 的终边与单位圆的交点为 1P , cos 等于角 与单位圆交点的横坐标,也可以用角 的余弦线来表示,大家摸索：怎样构造角 和角？（留意：要与它们的正弦线、余弦线联系起来 .）展现多媒体动画课件,通过正、余弦线及它们之间的几何

7、关系探究cos与 cos、 cos、 sin、 sin. 之间的关系,由此得到coscoscossinsin,熟悉两角差余弦公式的结构摸索：我们在其次章学习用向量的学问解决相关的几何问题,两角差余弦公式我们能否用向量的学问来证明？提示： 1、结合图形,明确应当挑选哪几个向量,它们是怎样表示的？2、怎样利用向量的数量积的概念的运算公式得到探究结果？展现多媒体课件比较用几何学问和向量学问解决问题的不同之处,体会向量方法的作用与便利之处. 第 2 页,共 10 页 - - - - - - - - - 摸索： cos., coscos,再利用两角差的余弦公式得出细心整理归纳 精选学习资料 - - -

8、- - - - - - - - - - - -名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -coscoscos cos学习必备欢迎下载sinsinsin sincos cos（三）例题讲解例 1、利用和、差角余弦公式求cos75 、 cos15 的值 . 216245,要学会灵解：分析：把75 、 15 构造成两个特殊角的和、差. cos75cos 4530cos45 cos30sin 45 sin302322224cos 60c o s1 5co s 4 53 0c os 4 5 co s 3 02 3 2s i n 4 5 si n 3 02 2 2

9、16224点评：把一个详细角构造成两个角的和、差形式,有许多种构造方法,例如：cos15活运用 . 例 2、已知sin4,2,cos5,是第三象限角,求cos53的值 . 513解：由于2,sin4由此得cos1sin2142125552又由于cos5,是第三象限角,所以sin1cos21131313所以coscoscossinsin3541233513513,65点评：留意角、的象限,也就是符号问题. 三、教学设想： （一）导入：问题1：我们在中学时就知道cos4522cos303,由此我们 能否得到 cos15cos 4530.大家2可以猜想, 是不是等于 cos 45cos30 呢？依据

10、我们在第一章所学的学问可知我们的猜想是错误的！下面我们就一细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页,共 10 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载起探讨两角差的余弦公式 cos .（二）探讨过程：在第一章三角函数的学习当中我们知道,在设角 的终边与单位圆的交点为 P , cos 等于角 与单位圆交点的横坐标,也可以用角的余弦线来表示；摸索 1：怎样构造角和角？（注：要与它们的正弦线、余弦线联系）摸索 2： 我们在其次章学习用向量的

11、学问解决相关的几何问题,两角差余弦公式我们能否用向量的学问来证明？（1）结合图形,明确应当挑选哪几个向量,它们是怎样表示的？（2）怎样利用向量的数量积的概念的运算公式得到探究结果？两角差的余弦公式：coscos2cossinsin（三）例题讲解：例 1、利用和、差角余弦公式求cos75 、 cos15 的值 . 解：cos75cos 4530cos45 cos30sin 45 sin3023216222224cos15cos 4530cos45 cos30sin 45 sin 303216222224点评：把一个详细角构造成两个角的和、差形式,有许多种构造方法,例如：cos15cos 6045

12、,要学会敏捷运用. 第 4 页,共 10 页 例 2、已知sin4,2,cos5,是第三象限角,513求 cos的值 . 解：由于2,sin4由此得5cos1sin2142355212又由于cos5,是第三象限角,13所以sin1cos21513313所以coscoscossinsin54123351351365细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -点评：留意角、的象限,也就是符号问题学习必备欢迎下载. 摸索：此题中没有2,

13、呢？（四）练习： 1. 不查表运算以下各式的值：（1）cos 80cos20sin80sin20 （2）12cos153sin152解: （1）cos 80cos20sin80sin20cos 8020cos 6012两角差的余弦公式,两角和与差的正弦、余弦、正切公式A 组 一、挑选题 :共 6 小题1、易 tan2 tan3就 tan D.1 7A.7B.1 5C.152、易设0,2,如sin3,就2 cos4 5A.1 5B.7 5C.7D.1 553、易sin110 sin 40cos40 cos70 等于 D.3 2A.1B.3C.1 2220 tan 24 的值等于 4、中10 ta

14、n 21 10 tan 22 10 tan23 1A. 16B. 8C. 4D. 25、中13的值是 sin10sin 80D.1 4A.1 B.2 C.4 6、中sin123cos12的值是 D.1 2A.2B.2C.22二、填空题 :共 3 小题7、易已知sin3,是第四象限角 ,就 sin4=_. 58、中如 tan42,就2sin12 cos_. cos9、中tan 200tan 4000 3 tan 20 tan 400_. 三、解答题 :共 2 小题细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页,共 10 页 - - - - -

15、- - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -10、中化简 :sincos1sin 24+学习必备欢迎下载=5 , 13sin. 211、 中 已知44,04,cos=3 ,sin 54+求 sin的值 . B 组一、挑选题 :共 6 小题1、易sin x 27 cos18 x sin18 x cos x 27 = A.1 B. 1C. 2D. 22 2 2 22、中tan 20 tan 50 1 tan20 tan 503 3A. 3 B. 3 C. D.3 33、中2cos10 sin 20 的值是 cos20A. 3 B. 6C.1

16、 D.12 21 14、中已知 tan , tan 就 tan 的值为 3 4A.1 B.1 C.7 D.1212 13 13 135、难假如sin 2022,就 tan sin 2022 tan1 1A. B. C. 4019 D. 40194019 40196、难已知 A.B 均为钝角 , sin A 5, sin B 10,就 A+B 的值为 5 10A.7 B.5 C.3 D.4 4 4 4二、填空题 :共 3 小题7、中 sin15cos 15=_ 的图象中相邻两对称轴的距离是. sin15cos158、中函数ysin2xcos2x6339、中如sinsin2,就coscos的取值范

17、畴 . . 2三、解答题 :共 2 小题细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页,共 10 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备. 欢迎下载2x2 m30的 两 个 不 等 实 根 , 求 函 数10、中化简 :2sin50 +sin10 1+3 tan10 2sin28011 、 难 已 知 t a n,t a n 是 一 元 二 次 方 程2mx24mf m 5m23 mtan4的值域 . C 组解答题 :共 2 小题1、难已知非零常数

18、a、b 满意a sin 5 cos 5bcos=tan8,求b . a0.5 absin155cos2、较难 已知 sinsinsin0,coscos1求 cos 的值 ; 2如,0,3,求 sin 的值 . 参考答案A 组1.Dtantantan12233=134, 第 7 页,共 10 页 1tantan72.A 0,2,sin3, cos4, 55原式 =2coscos4sinsin4=cossin4315553.B 原式cos 40 cos70sin 40 sin18070 cos 40 cos70sin 40 sin 70 =cos4070 cos 30 24.C 10 tan21

19、10 tan 24 2,10 tan 22 10 tan 23 2 ,更一般的结论0 4 5 , 1t a n 1t a n, 25.C 原式 =cos10 3sin10sin10 cos10=2sin 301041 sin 20 26.B 原式 =21sin123cos12= 2sin1232sin42227.7 2 10由sin3,是第四象限角 ,得cos1sin2132555细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必

20、备欢迎下载; sin于是有 sinsincos cos4sin24237 2442525108.2 3由tan41tan2,得tan11tan32sin12 cossin22 cos2tan212cos2sincoscos2tan13cos9.3tan600tan2000 40 tan 200tan 4003, 10 tan20 tan40030 3 tan 20 tan 400tan 2000 tan 40 ,即原式 =310.解:sincos1sin 2sin2= sincos1sinsin= 2sincos1sincoscossinsincos2=sincoscossin= sin=si

21、n11.解: 43, 2 + .又 cos 4 +=43 , sin 5 += 44 . 54又 0, 33+ .又 sin3+=5 , cos 133+=12 , 1344444sin+=sin +=sin+3+44= sin +cos 43+cos +sin 43+44=4 512 133 55 = 1363 . 65B 组1.D 原式 = sinx2718xsin 4523 第 8 页,共 10 页 22.B 原式 =tan 20 tan50 tan 50 tan 201tan50120 1tan303.A 2cos10 sin 20cos 20=2cos 3020）sin 20cos2

22、0=3 cos20sin 20sin 20=3cos20细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备欢迎下载sin, s i n 第 9 页,共 10 页 4.B tantan 1tantan=1 13tan tan5.C 可得 2022sincos2022cossin2022sincos2022cos sincos4019cossin,得 tan4019 tan,tan tan4019. 6.A 2A,2B,cosA2

23、5,cosB3 105102cosABcosAcosBsinAsinB =2 53 105105105102又AB2AB747.3把原式分子、分母同除以cos15 ,有3sin15cos15=tan151=tan15tan451sin15cos15tan151tan15tan45si n 6=tan15 45=tan30=3 . 38.3 2ys i n 2 x3c o s 2 x3c o s 62 s i n x3s i n 62x c o s36c o s 2x3cos2x6,T23,相邻两对称轴的距离是周期的一半32 / 39.14t14令 coscost , 22就sinsin2cos

24、cos2t21,222cost21,2cost23222t232,1t27,14t142222210.解:原式 = 2sin50 +sin10 1+3 tan10 2sin280= 2sin50 +sin10 1+3sin10 22 cos10cos 10= 2sin50 +sin10 cos10cos3sin1022 cos1010=2sin50+2sin10 cos50 2 cos10 cos 10=22 sin50cos10 +sin10 cos50 =22 sin60 =6 . 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

25、- - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -11.解:由已知 ,有tan学习必备欢迎下载, tan12m,tantan2 m3, m2mtan24 m . 3又由0 ,知m1 0 20, , f m 5m23 m24 m4m123. 3当m1 0,20, 时f m 在两个区间上都为单调递增故所求值域为13 4 44, . C 组1.分析 :这道题看起来复杂,但是只要能从式子中整理出b ,用 a8、 的三角函数表示出来5,再利用两角和与差的正、余弦15公式运算即可 . 解:由于a sin 5 cos5bcos sin 5 cos5bcos

26、,就 sin 5 cos5bcostan8. 3冲突！ 第 10 页,共 10 页 5 5 5 a ba babsinsinsin155a5a5整理 ,有b8 sin158 cos15 cos 5 cos 5cos8sin8 sin158 cos15=tan = 33 . 15 8 5 5 asinsin15552.解 :1sinsinsin ,coscoscos ,sinsin2coscos21,22cos1,cos1 2. 2由1同理得cos1,cos1,22,0,3,由对称性 ,不防设30, 就 03, 03, 03, 又由 1知3,3,3,如0 ,就30,有3,3, sinsin2. 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -