2022年小学奥数知识点完全梳理.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载学校奥数学问点完全梳理概述 一、运算1 四就混合运算与繁分数 运算次序 分数、小数混合运算技巧 一般而言： 加减运算中,能化成有限小数的统一以小数形式； 乘除运算中,统一以分数形式；带分数与假分数的互化 繁分数的化简2 简便运算 凑整思想 基准数思想 裂项与拆分 提取公因数 商不变性质 转变运算次序运算定律的综合运用.anba 1a2.anb连减的性质连除的性质同级运算移项的性质增减括号的性质变式提取公因数形如：a 1ba2b3 估算 求某式的整数部分：扩缩法4 比较大小通分1,就 cba.；形如：m 1m 2m 3,就n 1

2、n2n3；a.通分母b.通分子跟“ 中介” 比利用倒数性质如1 a1 bcn 1n2n 3m 1m 2m 35 定义新运算 6 特别数列求和 运用相关公式：名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 19 页精选学习资料 - - - - - - - - - 123nnn1n学习必备1欢迎下载22 12 2n12 n2 n6a nn n12 nn123 123n312n2n2n42abcabcabc1001abc71113a2b2abab1+2+3+4 （ n-1 ） +n+（n-1 ）+ 4+3+2+1=n二、数论1 奇偶性问题奇奇=偶奇 奇 =奇奇偶=奇奇 偶 =偶偶偶=偶偶 偶

3、 =偶2 位值原就形如： abc =100a+10b+c 3 数的整除特点：整除数特征11 的倍数2 末尾是 0、2、4、6、8 3 各数位上数字的和是3 的倍数5 末尾是 0 或 5 9 各数位上数字的和是9 的倍数11 奇数位上数字的和与偶数位上数字的和,两者之差是4 和 25 末两位数是4（或 25）的倍数8 和 125 末三位数是8（或 125）的倍数7、11、13 末三位数与前几位数的差是7（或 11 或 13）的倍数4 整除性质 假如 c|a、c|b,那么 c|a b； 假如 bc|a,那么 b|a,c|a； 假如 b|a,c|a,且（ b,c）=1,那么 bc|a； 假如 c|b

4、,b|a,那么 c|a. a 个连续自然数中必恰有一个数能被 a 整除；5 带余除法一般地,假如a 是整数, b 是整数（ b 0）,那么肯定有另外两个整数q 和 r, 0rb,使得 a=b q+r 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 19 页精选学习资料 - - - - - - - - - 当 r=0 时,我们称学习必备欢迎下载a 能被 b 整除；当 r 0 时,我们称a 不能被 b 整除, r 为 a 除以 b 的余数, q 为 a 除以 b 的不完全商（亦简称为商） ；用带余数除式又可以表示为 a b=q r, 0r b a=b q+r 6. 唯独分解定理任何一个大于

5、 1的自然数 n都可以写成质数的连乘积,即7.n= p1a1 p2a . p kaka2 . p kak 那么：约数个数与约数和定理n= p1a1 p2设自然数 n的质因子分解式如n的约数个数： dn=a1+1a2+1.ak+1 n的全部约数和：（1+P1+P1 2 + p1 a 1）（ 1+P2+P2 2 + p2 a ） （ 1+Pk+Pk 2 + pk ak ）8. 同余定理 同余定义： 如两个整数 a,b 被自然数 m 除有相同的余数,那么称 a,b 对于模 m同余,用式子表示为 abmod m 如两个数 a,b 除以同一个数 c 得到的余数相同,就 a,b 的差肯定能被 c 整除；两

6、数的和除以 m 的余数等于这两个数分别除以 m 的余数和；两数的差除以 m 的余数等于这两个数分别除以 m 的余数差；两数的积除以 m 的余数等于这两个数分别除以 m 的余数积；9完全平方数性质平方差： A2 -B2 =（A+B）（ A-B）,其中我们仍得留意A+B, A-B 同奇偶性；约数：约数个数为奇数个的是完全平方数；约数个数为 3的是质数的平方；质因数分解：把数字分解,使他满意积是平方数；平方和；10孙子定理（中国剩余定理）11辗转相除法12数论解题的常用方法：枚举、归纳、反证、构造、配对、估量三、几何图形1 平面图形多边形的内角和N 边形的内角和 =N-2 180等积变形（位移、割补

7、） 三角形内等底等高的三角形 平行线内等底等高的三角形 公共部分的传递性 极值原理（变与不变）三角形面积与底的正比关系名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 19 页精选学习资料 - - - - - - - - - S1S2 =ab ；学习必备欢迎下载S1S2=S4S3 或者 S1 S3=S2 S4相像三角形性质（份数、比例）a Abch; S1S2=a 2A2BCHS1 S3S2S4= a 2b 2abab ; S=（a+b）2燕尾定理 ABDEGFCS ABG：S AGCS BGE：S GECBE：EC；S BGA：S BGCS AGF：S GFCAF：FC；S AGC：S

8、 BCGS ADG：S DGBAD：DB；差不变原理知 5-2=3,就圆点比方点多 3；隐含条件的等价代换例如弦图中长短边长的关系；组合图形的摸索方法名师归纳总结 化整为零第 4 页,共 19 页先补后去正反结合- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载2 立体图形规章立体图形的表面积和体积公式不规章立体图形的表面积整体观照法体积的等积变形水中浸放物体：V升水=V物水测啤酒瓶容积：V=V空气+V三视图与绽开图最短线路与绽开图外形问题染色问题几面染色的块数与“ 芯”四、典型应用题1 植树问题开放型与封闭型间隔与株数的关系2 方阵问题、棱长、顶点

9、、面数的关系；外层边长数 -2=内层边长数（外层边长数 -1） 4=外周长数外层边长数2-中空边长数2=实面积数3 列车过桥问题 车长 +桥长 =速度 时间 车长 甲+车长 乙=速度和 相遇时间 车长甲+车长乙=速度差 追准时间 列车与人或骑车人或另一列车上的司机的相遇及追及问题 车长 =速度和 相遇时间 车长 =速度差 追准时间4 年龄问题 差不变原理5 鸡兔同笼 假设法的解题思想6 牛吃草问题 原有草量 =（牛吃速度 -草长速度） 时间7 平均数问题 8 盈亏问题 分析差量关系9 和差问题 10和倍问题 11差倍问题 12逆推问题仍原法,从结果入手名师归纳总结 - - - - - - -第

10、 5 页,共 19 页精选学习资料 - - - - - - - - - 13代换问题学习必备欢迎下载列表消元法 等价条件代换五、行程问题1 相遇问题 路程和 =速度和 相遇时间 2 追及问题 路程差 =速度差 追准时间 3 流水行船 顺水速度 =船速 +水速 逆水速度 =船速 -水速 2 船速 =（顺水速度 +逆水速度）水速 =（顺水速度 -逆水速度）2 4 多次相遇 线型路程：甲乙共行全程数 =相遇次数2-1 环型路程：甲乙共行全程数 =相遇次数 其中甲共行路程 =单在单个全程所行路程 共行全程数 5 环形跑道 6 行程问题中正反比例关系的应用 路程肯定,速度和时间成反比；速度肯定,路程和时

11、间成正比；时间肯定,路程和速度成正比；7 钟面上的追及问题； 时针和分针成直线； 时针和分针成直角；8 结合分数、工程、和差问题的一些类型；9 行程问题经常运用“ 时间倒流” 和“ 假定看成” 的摸索方法；六、计数问题 1 加法原理：分类枚举 2 乘法原理：排列组合 3 容斥原理： 总数量 =A+B+C-AB+AC+BC+ABC 常用：总数量 =A+B-AB 4 抽屉原理：至多至少问题 5 握手问题 在图形计数中应用广泛名师归纳总结 角、线段、三角形,第 6 页,共 19 页长方形、梯形、平行四边形正方形- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎

12、下载七、分数问题1 量率对应 2 以不变量为“1”3 利润问题 4 浓度问题 倒三角原理例：5 工程问题 合作问题 水池进出水问题6 按比例安排八、方程解题1 等量关系相关联量的表示法=100 甲 乙 =3 例：甲 + 乙x 100-x 3x x 解方程技巧恒等变形 2 二元一次方程组的求解 代入法、消元法3 不定方程的分析求解 以系数大者为试值角度4 不等方程的分析求解九、找规律 周期性问题 年月日、星期几问题 余数的应用 数列问题名师归纳总结 等差数列an=a1+n-1d 1第 7 页,共 19 页通项公式求项数：n=a nda 1- - - - - - -精选学习资料 - - - - -

13、 - - - - 求和：S= a 1学习必备欢迎下载a nn2等比数列求和：S=a qn11q裴波那契数列策略问题 抢报 30 放硬币 最值问题 最短线路a.一个字符阵组的分线读法 b.在格子路线上的最短走法数 最优化问题a.统筹方法 b.烙饼问题十、算式谜1 填充型 2 替代型 3 填运算符号 4 横式变竖式 5 结合数论学问点十一、数阵问题1 相等和值问题 2 数列分组 知行列数,求某数 知某数,求行列数3 幻方 奇阶幻方问题：杨辉法 罗伯法 偶阶幻方问题：双偶阶：对称交换法 单偶阶：同心方阵法十二、二进制 1 二进制计数法 二进制位值原就 二进制数与十进制数的相互转化名师归纳总结 - -

14、 - - - - -第 8 页,共 19 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载 二进制的运算2 其它进制（十六进制）十三、一笔画1 一笔画定理：一笔画图形中只能有 0 个或两个奇点；两个奇点进必需从一个奇点进,另一个奇点出；2 哈密尔顿圈与哈密尔顿链 3 多笔画定理奇点数 笔画数 = 2十四、规律推理1 等价条件的转换 2 列表法 3 对阵图 竞赛问题,涉及体育竞赛常识十五、火柴棒问题1 移动火柴棒转变图形个数 2 移动火柴棒转变算式,使之成立十六、智力问题1 突破思维定势 2 某些特别情境问题十七、解题方法（结合杂题的处理）1 代换法 2 消元法 3 倒推法

15、 4 假设法 5 反证法 6 极值法 7 设数法 8 整体法 9 画图法名师归纳总结 10列表法第 9 页,共 19 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 11排除法学习必备欢迎下载12染色法 13构造法 14配对法 15列方程 方程 不定方程 不等方程学校奥数学问点完全梳理概述 十八、运算7 四就混合运算与繁分数 运算次序 分数、小数混合运算技巧 一般而言： 加减运算中,能化成有限小数的统一以小数形式； 乘除运算中,统一以分数形式；带分数与假分数的互化 繁分数的化简8 简便运算 凑整思想 基准数思想 裂项与拆分 提取公因数 商不变性质 转变运算次序运算

16、定律的综合运用.anba 1a2.anb连减的性质连除的性质同级运算移项的性质.增减括号的性质.变式提取公因数形如：a 1ba2b9 估算 求某式的整数部分：扩缩法名师归纳总结 10比较大小第 10 页,共 19 页通分- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - c.通分母学习必备欢迎下载d.通分子,就 cba.；形如：m 1m 2m 3,就n 1n2n3；跟“ 中介” 比利用倒数性质如1 a1111bcn 1n2n 3m 1m 2m 3定义新运算12特别数列求和运用相关公式：123nnn11222 12 22 nnn12 n16a nn n12 nn3 123

17、n312n2n2n42abcabcabc1001abc71113a2b2abab1+2+3+4 （ n-1 ） +n+（n-1 ）+ 4+3+2+1=n十九、数论6 奇偶性问题奇奇=偶奇 奇 =奇奇偶=奇奇 偶 =偶偶偶=偶偶 偶 =偶7 位值原就形如： abc =100a+10b+c 8 数的整除特点：名师归纳总结 整除数特征11 的倍数第 11 页,共 19 页2 末尾是 0、2、4、6、8 3 各数位上数字的和是3 的倍数5 末尾是 0 或 5 9 各数位上数字的和是9 的倍数11 奇数位上数字的和与偶数位上数字的和,两者之差是4 和 25 末两位数是4（或 25）的倍数8 和 125

18、末三位数是8（或 125）的倍数- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载7、11、13 末三位数与前几位数的差是 7（或 11 或 13）的倍数9 整除性质10假如 c|a、c|b,那么 c|ab；q 和 r, 0rb,假如 bc|a,那么 b|a,c|a；假如 b|a,c|a,且（ b,c）=1,那么 bc|a；假如 c|b,b|a,那么 c|a. a 个连续自然数中必恰有一个数能被a 整除；带余除法一般地,假如a 是整数, b 是整数（ b 0）,那么肯定有另外两个整数使得 a=b q+r 当 r=0 时,我们称 a 能被 b 整除；当

19、 r 0 时,我们称a 不能被 b 整除, r 为 a 除以 b 的余数, q 为 a 除以 b 的不完全商（亦简称为商） ；用带余数除式又可以表示为 a b=q r, 0r b a=b q+r 6. 唯独分解定理任何一个大于 1的自然数 n都可以写成质数的连乘积,即9.n= p1a1 p2a . p kaka2 . p kak 那么：约数个数与约数和定理n= p1a1 p2设自然数 n的质因子分解式如n的约数个数： dn=a1+1a2+1.ak+1 n的全部约数和：（1+P1+P1 2 + p1 a 1）（ 1+P2+P2 2 + p2 a ） （ 1+Pk+Pk 2 + pk ak ）10

20、. 同余定理 同余定义： 如两个整数 a,b 被自然数 m 除有相同的余数,那么称 a,b 对于模 m同余,用式子表示为 abmod m 如两个数 a,b 除以同一个数 c 得到的余数相同,就 a,b 的差肯定能被 c 整除；两数的和除以 m 的余数等于这两个数分别除以 m 的余数和；两数的差除以 m 的余数等于这两个数分别除以 m 的余数差；两数的积除以 m 的余数等于这两个数分别除以 m 的余数积；9完全平方数性质平方差： A2 -B2 =（A+B）（ A-B）,其中我们仍得留意A+B, A-B 同奇偶性；约数：约数个数为奇数个的是完全平方数；约数个数为 3的是质数的平方；质因数分解：把数

21、字分解,使他满意积是平方数；平方和；10孙子定理（中国剩余定理）11辗转相除法12数论解题的常用方法：枚举、归纳、反证、构造、配对、估量二十、几何图形名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 19 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载3 平面图形 多边形的内角和N 边形的内角和 =N-2 180等积变形（位移、割补） 三角形内等底等高的三角形 平行线内等底等高的三角形 公共部分的传递性 极值原理（变与不变）三角形面积与底的正比关系S1S2 =ab ；S1S2=S4S3 或者 S1 S3=S2 S4 相像三角形性质（份数、比例）a Abch; S

22、1S2=a 2A2BCHS1 S3S2S4= a 2b 2abab ; S=（a+b）2燕尾定理 ABDEGFCS ABG：S AGCS BGE：S GECBE：EC；S BGA：S BGCS AGF：S GFCAF：FC；S AGC：S BCGS ADG：S DGBAD：DB；差不变原理名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 19 页精选学习资料 - - - - - - - - - 知 5-2=3,就圆点比方点多学习必备欢迎下载3；隐含条件的等价代换例如弦图中长短边长的关系；组合图形的摸索方法 化整为零 先补后去 正反结合4 立体图形 规章立体图形的表面积和体积公式 不规章

23、立体图形的表面积 整体观照法 体积的等积变形水中浸放物体：V升水=V物水测啤酒瓶容积：V=V空气+V三视图与绽开图最短线路与绽开图外形问题 染色问题二十一、几面染色的块数与“ 芯”、棱长、顶点、面数的关系；典型应用题14植树问题 开放型与封闭型 间隔与株数的关系15方阵问题 外层边长数 -2=内层边长数（外层边长数 -1） 4=外周长数16外层边长数2-中空边长数2=实面积数列车过桥问题车长 +桥长 =速度 时间 车长 甲+车长 乙=速度和 相遇时间 车长甲+车长乙=速度差 追准时间 列车与人或骑车人或另一列车上的司机的相遇及追及问题 车长 =速度和 相遇时间 车长 =速度差 追准时间17年龄

24、问题 差不变原理18鸡兔同笼 假设法的解题思想名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页,共 19 页精选学习资料 - - - - - - - - - 19牛吃草问题学习必备欢迎下载原有草量 =（牛吃速度 -草长速度） 时间20平均数问题21盈亏问题分析差量关系22和差问题23和倍问题24差倍问题25逆推问题仍原法,从结果入手26代换问题列表消元法等价条件代换二十二、行程问题10相遇问题路程和 =速度和 相遇时间11追及问题路程差 =速度差 追准时间12流水行船顺水速度 =船速 +水速逆水速度 =船速 -水速船速 =（顺水速度 +逆水速度）2 水速 =（顺水速度 -逆水速度）2 13

25、多次相遇线型路程：甲乙共行全程数 =相遇次数2-1 环型路程：甲乙共行全程数 =相遇次数其中甲共行路程 =单在单个全程所行路程 共行全程数14环形跑道15行程问题中正反比例关系的应用路程肯定,速度和时间成反比；速度肯定,路程和时间成正比；时间肯定,路程和速度成正比；16钟面上的追及问题； 时针和分针成直线； 时针和分针成直角；17结合分数、工程、和差问题的一些类型；18行程问题经常运用“ 时间倒流” 和“ 假定看成” 的摸索方法；二十三、计数问题6 加法原理：分类枚举7 乘法原理：排列组合名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页,共 19 页精选学习资料 - - - - - - -

26、 - - 学习必备 欢迎下载8 容斥原理： 总数量 =A+B+C-AB+AC+BC+ABC 常用：总数量 =A+B-AB 9 抽屉原理：至多至少问题10握手问题在图形计数中应用广泛二十四、角、线段、三角形,长方形、梯形、平行四边形正方形分数问题7 量率对应8 以不变量为“1”9 利润问题10浓度问题倒三角原理例：11工程问题 合作问题 水池进出水问题12按比例安排二十五、方程解题5 等量关系相关联量的表示法=100 甲 乙 =3 例：甲 + 乙x 100-x 3x x 解方程技巧恒等变形6 二元一次方程组的求解代入法、消元法7 不定方程的分析求解以系数大者为试值角度8 不等方程的分析求解名师归

27、纳总结 - - - - - - -第 16 页,共 19 页精选学习资料 - - - - - - - - - 二十六、找规律学习必备欢迎下载周期性问题 年月日、星期几问题 余数的应用 数列问题等差数列an=a1+n-1d 通项公式求项数：n=a nda 11求和：S= a 1a nn2等比数列求和：S=a qn11q裴波那契数列策略问题 抢报 30 放硬币 最值问题 最短线路a.一个字符阵组的分线读法 b.在格子路线上的最短走法数 最优化问题a.统筹方法 b.烙饼问题二十七、算式谜6 填充型 7 替代型 8 填运算符号 9 横式变竖式 10结合数论学问点二十八、数阵问题4 相等和值问题 5 数

28、列分组 知行列数,求某数知某数,求行列数6 幻方 奇阶幻方问题：名师归纳总结 杨辉法罗伯法第 17 页,共 19 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载偶阶幻方问题：双偶阶：对称交换法 单偶阶：同心方阵法二十九、二进制3 二进制计数法 二进制位值原就 二进制数与十进制数的相互转化 二进制的运算4 其它进制（十六进制）三十、一笔画 4 一笔画定理：一笔画图形中只能有 0 个或两个奇点；两个奇点进必需从一个奇点进,另一个奇点出；5 哈密尔顿圈与哈密尔顿链 6 多笔画定理笔画数 =三十一、奇点数 2规律推理4 等价条件的转换 5 列表法 6 对阵图 竞赛问题,涉及体育竞赛常识三十二、火柴棒问题3 移动火柴棒转变图形个数 4 移动火柴棒转变算式,使之成立三十三、智力问题3 突破思维定势 4 某些特别情境问题三十四、解题方法（结合杂题的处理）名师归纳总结 16代换法第 18 页,共 19 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 17消元法学习必备欢迎下载18倒推法19假设法20反证法21极值法22设数法23整体法24画图法25列表法26排除法27染色法28构造法29配对法30列方程方程不定方程不等方程名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页,共 19 页