2022年平方根知识点总结讲义.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点平方根 学问点总结【学习目标】1明白平方根、算术平方根的概念,会用根号表示数的平方根2明白开方与乘方互为逆运算,会用开方运算求某些非负数的平方根,会用运算器求平方根【要点梳理】要点一、平方根和算术平方根的概念1. 算术平方根的定义假如一个正数x 的平方等于 a ,即x2a , 那么这个正数x 叫做 a 的算术平方根（规定0 的算术平方根仍是a 的算术平方根” ,a 叫做被0）； a 的算术平方根记作a ,读作“开方数 .要点诠释： 当式子a 有意义时, a 肯定表示一个非负数,即a 0, a 0. 2. 平方根的定义2 假如

2、 x a ,那么 x 叫做 a 的平方根 . 求一个数 a 的平方根的运算, 叫做开平方 . 平方与开平方互为逆运算 . a a 0 的平方根的符号表达为 a a 0,其中 a 是 a 的算术平方根 . 要点二、平方根和算术平方根的区分与联系1区分：（1）定义不同； （2）结果不同：a 和a2联系：（1）平方根包含算术平方根；（2）被开方数都是非负数；（3）0 的平方根和算术平方根均为 0要点诠释：（1）正数的平方根有两个,它们互为相反数,其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根（2）正数的两个平方根互为相反数,依据它的算术平方根可以立刻写出它的另一个平方根 . 因此,我们可以利用算术平方

3、根来争论平方根 . 要点三、平方根的性质a22|a|aaa00a0aaa0a0要点四、平方根小数点位数移动规律被开方数的小数点向右或者向左移动2 位,它的算术平方根的小数点就相应地向右或者名师归纳总结 向左移动 1 位. 例如：62500250 ,62525,6.252.5 ,0.06250.25 . 第 1 页,共 5 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点【典型例题】类型一、平方根和算术平方根的概念1、如 2 m 4 与 3 m 1 是同一个正数的两个平方根,求 m 的值【思路点拨】 由于同一个正数的两个平方根互为相反数,由此可以

4、得到 2 m 4（ 3m 1）,解方程即可求解【答案与解析】解：依题意得 2 m 4（ 3 m 1）,解得 m 1； m 的值为 1【总结升华】 此题主要考查了平方根的性质：一个正数有两个平方根,它们互为相反数举一反三：【变式】已知2 a 1 与 a 2 是 m 的平方根,求m 的值 . . 【答案】 2 a 1 与 a 2 是 m 的平方根,所以2 a 1 与 a 2 相等或互为相反数解：当 2 a 1 a 2 时, a 1,所以 m 2 a122 1 121当 2 a 1（ a 2） 0 时, a 1,所以 m 2a1222 1 13292、 x 为何值时,以下各式有意义？1x2； 2x4

5、； 3x11x ； 4x1x3【答案与解析】解： 1 由于2 x0,所以当 x 取任何值时,2 x 都有意义1时x11x 有意2 由题意可知：x40,所以x4时,x4有意义x1所以1x3 由题意可知：x10解得：11x0义4 由题意可知：x10,解得x1且x3x30所以当x1且x3时,x1有意义x3【总结升华】 1 当被开方数不是数字,而是一个含字母的代数式时,肯定要争论,只有当被开方数是非负数时,式子才有意义2 当分母中含有字母时,只有当分母不为0 时,式子才有意义举一反三：名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 5 页精选学习资料 - - - - - - - - - 【变式

6、】已知b4 3 a22 2名师总结优秀学问点的算术平方根3 a2,求1 a1 b【答案】解：依据题意,得3 a20,就a2,所以 b 2,1 a1312,23 a0.3b221 a1的算术平方根为112bab类型二、平方根的运算3、求以下各式的值125 224 23 24 ；2 220110.361900.435【思路点拨】 （1）第一要弄清晰每个符号表示的意义. （2）留意运算次序【答案与解析】解： 12 252 242 32 4492517535 ；90.261.72201 410.361900810.61 53035432【总结升华】 1 混合运算的运算次序是先算平方开方,再乘除,后加减

7、,同一级运算按先后次序进行 2 初学可以依据平方根、算术平方根的意义和表示方法来解,娴熟后直接根据2 aa a0来解类型三、利用平方根解方程4、求以下各式中的x . 0（ 2）x12289；（1）x23610;64（3）9 3x22【答案与解析】名师归纳总结 解：（1）x2x3610第 3 页,共 5 页x2361x36119（2）12289x1289- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点 x 1 17 x 16 或 x 18. （3）9 3 x22640. （ 2）3x2264893 x23x2或x1499【总结升华】 此题的实质是一

8、元二次方程,开平方法是解一元二次方程的最基本方法（3）小题中运用了整体思想分散了难度. 举一反三：【变式】求以下等式中的x ：|（2）x2169,就 x _；b2a1（ 1）如x21.21,就 x _；（ 3）如2 x9 , 4就 x _；（4）如2 x22,就 x _【答案】（1） 1.1 ；（2） 13；（ 3）3；（4）2.2类型四、平方根的综合应用5、已知 a 、b 是实数,且2 a6b2 | 0,解关于 x 的方程a2x【答案与解析】解： a 、 b 是实数,2 a 6 | b 2 | 0,2 a 6 0, | b 2 | 0, 2 a 6 0,b 2 0 a3,b 2把 a3,b

9、2 代入 a 2 x b 2a 1,得 x 2 4, x 6【总结升华】 此题是非负数的性质与方程的学问相结合的一道题,应先求出 a 、b 的值,再解方程此类题主要是考查完全平方式、别等于零即可举一反三：算术平方根、肯定值三者的非负性,只需令每项分【变式】如x21y10,求x2022y2022的值【答案】名师归纳总结 解：由2 x1y10,得x210,y10,即x1,y1第 4 页,共 5 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 当 x 1, y 1 时,x2022名师总结优秀学问点2y20222022 12022 1当 x 1, y 1 时,x2022y

10、2022 120222022 10cm26、小丽想用一块面积为4002 cm 的正方形纸片, 沿着边的方向裁出一块面积为300的长方形纸片,使它长宽之比为3:2,请你说明小丽能否用这块纸片裁出符合要求的长方形纸片 . 【答案与解析】解：设长方形纸片的长为3 x x 0 cm ,就宽为 2 x cm ,依题意得3x2x300. 6x2300. x250. x 0, x 50 . 长方形纸片的长为 3 50 cm . 50 49, 名师归纳总结 507 . 20cm第 5 页,共 5 页 3 5021, 即长方形纸片的长大于20cm . 由正方形纸片的面积为400 2 cm , 可知其边长为20cm , 长方形的纸片长大于正方形纸片的边长. 答: 小丽不能用这块纸片裁出符合要求的长方形纸片. 【总结升华】 此题需依据平方根的定义运算出长方形的长和宽,再判定能否用边长为的正方形纸片裁出长方形纸片. - - - - - - -