2022年中考数学专题复习教学案--开放探究题.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载开放探究题开放探究问题最常见的是命题中缺少肯定的条件或无明确的结论,要求添加条件或概括结论；其次是给定条件, 判定存在与否的问题；按自己的喜好自编问题并加以解决的试题；近几年来又逐步显现了一些依据供应的材料,开放探究问题涉及学问面广,遍布整个中学阶段的全部学问,要求同学具有较强的解题才能和思维才能；开放探究问题就开放而言,有条件开放、结论开放、解题方法开放、编制问题开放：就探究而言,可归纳为探究条件型、探究结论型、探究结论存在与否型及归纳探究型四种；类型一：探究条件型探究条件型是依据问题供应的残缺条件添补如干条件,使结论成立,

2、 解决此类问题的一般方法是： 依据结论成立所需要的条件增补条件,此时要留意已有的条件及由已有的条件推 导出的条件,不行重复条件,也不能遗漏条件；例 1（ 2022 丽水市）已知命题：如图,点A,D,B,E 在同一条直线上,且AD=BE, A=FDE,就 ABC DEF. 判定这个命题是真命题仍是假命题,假如是真命题,请给出证明；假如是假命题,请添加一个适当条件使它成为真命题 , 并加以证明 . 解：是假命题 . 以下任一方法均可：添加条件： AC=DF. 证明： AD=BE, AD+BD=BE+BD,即 AB=DE. 在 ABC和 DEF中, AB=DE,A=FDE,AC=DF, ABC DE

3、FSAS. 添加条件：CBA=E. 证明： AD=BE, AD+BD=BE+BD,即 AB=DE. 在 ABC和 DEF中,名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载A=FDE,AB=DE,CBA=E , ABC DEFASA. 添加条件：C= F. 证明： AD=BE, AD+BD=BE+BD,即 AB=DE. 在 ABC和 DEF中,A=FDE, C=F ,AB=DE, ABC DEFAAS 同步测试120XX 年牡丹江市 如图, ABCD中, E 、 F 分别为BC 、 AD 边上的点,要使 BF

4、DE,需添加一个条 A F D 件：B E C 1. BE DF 或 BFDE；AF CE ; BFD BED；AFB ADE 等2（ 2022 东营）如图,在四边形 ABCD中,已知 AB与 CD不平行, ABD ACD,请你添加一个条件：,使得加上这个条件后能够推出 AD BC且 ABCD. A D O B C 2. DAC ADB, BAD CDA, DBC ACB, ABC DCB,OBOC,OA OD；任选其一 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载类型二：探究结论型探究结论型问题是指依据题

5、目所给的条件经过分析、推断,得出一个与条件相关的结论,解决此类问题的关键是需要对已知的条件进行综合推理,得出新的结论；例 2（ 20XX年安徽）如图, ,M为线段 AB的中点, AE与 BD交于点 C, DME A B且 DM交 AC于 F,ME交 BC于 G（1）写出图中三对相像三角形,并证明其中的一对；（2）连结 FG,假如 45 , AB 4 2 ,AF3,求 FG的长【答案】（1）证：AMF BGM, DMG DBM, EMF EAM 以下证明AMF BGM AFM DME E A E BMG, A B AMF BGM（2）解：当 45 时,可得ACBC且 ACBC484,CF431M

6、为 AB的中点, AM BM 22又 AMF BGM,AF AMBM BGBGAM BM2 232 28AF3又ACBC4 2 cos454,CG33FGCF2CG21242533同步测试3（ 20XX年福州）请写出一个比5 小的整数的切线, AC 交O于点3. 答案不唯独,小于或等于的整数均可,如：2,1 等4（ 20XX年莆田）已知,如图,BC 是以线段 AB 为直径的OD ,过点 D 作弦 DEAB,垂足为点 F ,连接 BD、BE（ 1）认真观看图形并写出四个不同的正确结论：_,_ , _,_（不添加其它字母和帮助线,不必证明）；名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共

7、16 页精选学习资料 - - - - - - - - - D C 学习必备欢迎下载A O F B E （ 2）A=30 , CD =2 3 3,求O的半径 r4. （ 1） BCAB,ADBD,DFFE,BDBE, BDFBEF,BAD, BDFBEF, AE,DEBC等BDFA O D C F B E 名师归纳总结 （2）解 :AB是O的直径ADB90第 4 页,共 16 页又E30A30BD1ABr2又BC 是O的切线CBA90C60在 RtBCD中,CD2 33BD2r3tan 60DC3r2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载类

8、型三：探究结论存在与否型探究结论存在与否型问题的解法一般先假定存在,然后以此为条件及现有的条件进行推理,然后得出问题的解或冲突再加以说明；例 3（ 2022 仙桃）如图,直角梯形ABCD中, AD BC, ABC90 ,已知 ADAB 3,BC 4,动点 P 从 B 点动身,沿线段 BC向点 C作匀速运动；动点 Q从点 D 动身,沿线段 DA向点 A 作匀速运动过 Q点垂直于 AD的射线交 AC于点 M,交 BC于点 NP、Q两点同时出发,速度都为每秒 1 个单位长度当 Q点运动到 A 点, P、Q 两点同时停止运动设点 Q 运动的时间为 t 秒1 求 NC,MC的长 用 t 的代数式表示 ；

9、2 当 t 为何值时,四边形 PCDQ构成平行四边形？3 是否存在某一时刻,使射线 QN恰好将ABC的面积和周长同时平分？如存在,求出此时t 的值；如不存在,请说明理由；4 探究： t 为何值时,PMC为等腰三角形？解：（ 1）在直角梯形 ABCD中,QNAD, ABC90 ,四边形 ABNQ是矩形；QD=t,AD=3, BN=AQ=3-t, NC=BC-BN=4-（3- t）= t+1 ；AB3,BC4, ABC 90 , AC=5；QNAD, ABC90 , MN AB,CM CN,AC BC即 CM t 1,MC 5 t 5. 5 4 4（2）当 QD=CP时,四边形 PCDQ构成平行四

10、边形；当 t=4-t ,即 t=2 时,四边形 PCDQ构成平行四边形；3 MN AB,名师归纳总结 MNC ABC,要使射线 QN将 ABC的面积平分,就MNC与 ABC的面积比为1：2,即第 5 页,共 16 页相像比为1：2 ,CN1,即t411,BC22t= 2 21. CN=2 2 ,MC=5 2 2, CN+MC=9 2 2, ABC的周长的一半 =345=69 2 2,不存在某一2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 时刻,使射线QN恰好将学习必备欢迎下载ABC的面积和周长同时平分；（4）分 3 种情形：如图,当 PM=MC时, PMC为等腰

11、三角形；就 PN=NC,即 3-t-t=t+1,t 2,即 t 2时, PMC为等腰三角形；3 3如图,当 CM=PC时, PMC为等腰三角形；即5 t 5 4 t ,4t 11时, PMC为等腰三角形；9如图,当 PM=PC时, PMC为等腰三角形；PC=4t , NC=t+1,PN=2t-3, 又MNAB3 4,NCBCMN=3t41,t412+（ 2t-3 ）2=（4t ）2,由勾股定理可得3即当 t=103 57时,PMC为等腰三角形；同步测试5（20XX年广西南宁改编）如图,在边长为 5 的正方形 ABCD中,点 E 、 F 分别是 BC 、 DC 边上的点,且 AE EF ,延长

12、EF 交正方形外角平分线 CP 于点 P, AB 边上是否存在一点 M ,使得四边形 DMEP 是平行四边形？如存在,请赐予证明；如不存在,请说明理由名师归纳总结 解法AEEF第 6 页,共 16 页2390- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载四边形 ABCD为正方形BC9090,DAABA E 2 D 139012DAMABE1 F DAMABEDMAE3 AEEPB C DMPE四边形 DMEP 是平行四边形解法 ：在 AB 边上存在一点 M ,使四边形 DMEP是平行四边形证明：在 AB 边上取一点 M ,使 AMBE ,连接 M

13、E 、 MD 、 DP ADBA,DAMABE90A 5 E 4 D P RtDAMRtABEM 1 F DMAE,141590B C 4590AEDMAEEPDMEP四边形 DMEP 为平行四边形6（2022 白银市） 如图（ 1）,抛物线yx22xk 与 x 轴交于 A、B两点,与 y 轴交于点C（0,3）图（ 2）、图（ 3）为解答备用图（1） k,点 A的坐标为,点 B 的坐标为；（2）设抛物线 y x 22 x k 的顶点为 M,求四边形 ABMC的面积；（3）在 x 轴下方的抛物线上是否存在一点 D,使四边形 ABDC的面积最大？如存在,恳求出点 D的坐标；如不存在,请说明理由；名

14、师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - （4）在抛物线yx22x学习必备欢迎下载k 上求点 Q,使BCQ是以 BC为直角边的直角三角形图（ 1）图（ 2）图（ 3）解：（ 1）k3,A（ -1 ,0）,B（ 3,0）（2）如图（ 1）,抛物线的顶点为M（1,-4 ）,连结 OM就 AOC的面积 =3 , MOC的面积 = 23 ,2 MOB的面积 =6, 四边形 ABMC的面积= AOC的面积 + MOC的面积 + MOB的面积 =9（3）如图（ 2）,设 D（m,m 2 2 m 3）,连结OD就 0 m3,m 2 2 m

15、 30且 AOC的面积 = 3 , DOC的面积 = 3 m,2 2 DOB的面积 =-3 （m 2 2 m 3）,2 四边形 ABDC的面积 = AOC的面积 + DOC的面积 + DOB的面积= 3 m 2 9 m 62 2= 3 m 3 2 752 2 8 存在点 D3,15,使四边形 ABDC的面积最大为 75 2 4 8（4）有两种情形：图（3）图（4）名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载如图（ 3）,过点 B 作 BQ1BC,交抛物线于点 CBO=45 , EBO=45 , BO=OE=

16、3 点 E 的坐标为（ 0,3） 直线 BE的解析式为yx3Q1、交 y 轴于点 E,连接 Q1C由yx3,3解得 . .x 1= -2, . .x 2=3,yx 22xy 1=5；y 2=0. 点 Q1 的坐标为（ -2 ,5）如图（ 4）,过点 C作 CFCB,交抛物线于点 CBO=45 , CFB=45 , OF=OC=3 点 F 的坐标为（ -3 ,0） 直线 CF的解析式为yx3Q2、交 x 轴于点 F,连接 BQ2由yx3,3解得 . .x 1=0, . .x2=1,y2 x2xy 1= -3；y2= -4点 Q2的坐标为（ 1, -4 ）综上,在抛物线上存在点 Q1（-2 ,5）

17、、 Q2（1,-4 ）,使 BCQ 1、 BCQ 2 是以 BC为直角边的直角三角形类型四：归纳探究型归纳探究型问题是指给定一些条件和结论,通过归纳、总结、概括,由特别推测一般的结论或规律,解决这类问题的一般方法是由特别性得到的结论进行合理猜想,适量验证；例 420XX 年抚顺市 已知：如下列图,直线MANB,MAB与NBA的平分线交于点 C ,过点 C 作一条直线 l 与两条直线 MA、NB分别相交于点D、E之间的数量关系,（1）如图 1 所示,当直线 l 与直线 MA 垂直时,猜想线段AD、BE、AB请直接写出结论,不用证明；（2）如图 2 所示,当直线 l 与直线 MA 不垂直且交点D、

18、E都在 AB 的同侧时,（ 1）中的结论是否成立？假如成立,请证明：假如不成立,请说明理由；名师归纳总结 （3）当直线 l 与直线 MA 不垂直且交点D、E在 AB 的异侧时,（ 1）中的结论是否仍旧成第 9 页,共 16 页立？假如成立, 请说明理由； 假如不成立, 那么线段 AD、BE、AB之间仍存在某种数量关- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载系吗？假如存在,请直接写出它们之间的数量关系M E N M B E N M B N M B N D C D C l C A C A l A A B 图 1 AB图 2 备用图备用图解：（ 1

19、） ADBE（2）成立（方法一）：在AB 上截取 AGAD ,连接 CG A F D 2 5 M 6 E N l 12,ACACADCAGC56AMBN123418012,342390ACB90即6790567818058907834,BCBCBGCBECBGBEADBEAGBGADBEAB（方法二）：过点C 作直线 FGAM ,垂足为点 F ,C 交 BN 于点 G 作 CHAB ,垂足为点 H 1 3 G 4 B 由（ 1）得 AFBGABH 题（ 2）方法二图名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - AMBN,AF

20、G90学习必备欢迎下载BGF FGE 901 2,3 4CF CH,CH CGCF CG5 6CFDCGEDF EGAD BE AF BG AB（方法三）：延长 BC ,交 AM 于点 F AMBN5 43 45 3AF AB1 2,AC ACAFCABCCF CB6 7FCDBCEDF BEAD BE AD DF AF AB（3）不成立存 在 当 点 D 在 射 线 AM 上 、 点 E 在 射 线 BN 的 反 向 延 长 线 上 时 （ 如 图 ） ,ADBEAB当点 D 在射线 AM 的反向延长线上,点BEADABE在射线BN上时（如图）,名师归纳总结 - - - - - - -第 1

21、1 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - F M N 学习必备欢迎下载M E N D M D 5 6 C 7 E l C B E l C B A 1 2 3 4 B A A D 题（ 2）方法三图题（ 3）图l 题（ 3）图同步测试7（2022 仙桃） 如下列图,在ABC中, D、E 分别是 AB、AC上的点, DE BC,如图,然后将ADE绕 A 点顺时针旋转肯定角度,得到图,然后将BD、 CE分别延长至M、N,使DM1 BD,EN21 CE,得到图,请解答以下问题：21 如 ABAC,请探究以下数量关系：在图中, BD与 CE的数量关系是 _ ；在图中,猜想 A

22、M与 AN的数量关系、MAN与 BAC的数量关系,并证明你的猜想；2 如 ABk ACk 1 ,按上述操作方法,得到图,请连续探究：AM与 AN的数量关系、MAN与 BAC的数量关系,直接写出你的猜想,不必证明名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载7. （ 1） BD=CE；AM=AN, MAN=BAC 理由如下：在图中, DE/BC,AB=AC AD=AE. 在 ABD与 ACE中ABAC,CAE , ABD ACE.BD=CE,ACE=ABD.在 DAM与BADADAE EAN中,DM=1 2B

23、D,EN=1 2CE,BD=CE, DM=EN, AEN=ACE+CAE, ADM=ABD+BAD,AEN=ADM. 又 AE=AD, ADM AEN.AM=AN,DAM=EAN. MAN=DAE=BAC.AM=AN,MAN=BAC. （2）AM=kAN, MAN=BAC. 随堂检测：1.（20XX 年台州市） 请你写出一个图象在第一、三象限的反比例函数答：2. （2022 白银市） 如图 6,四边形 ABCD是平行四边形, 使它为矩形的条件可以是3. （20XX年牡丹江）先化简：aa1a2a1,并任选一个你喜爱的数a 代入求值a4. （09 湖南邵阳）已知MMx2xy2、Nx2y2,用“+”

24、 或“- ” 连接 M、N,有2yx2y2三种不同的形式：MN、N、NM,请你任选其中一种进行运算,并化简求值,其中 x y =52名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载5. （09 湖南邵阳） 如图是一个反比例函数图象的一部分,点 A ,110,B 10 1, 是它的两个端点（1）求此函数的解析式,并写出自变量 x 的取值范畴；（2）请你举出一个能用此题的函数关系描述的生活实例6.（20XX 年杭州市） 如图,在等腰梯形ABCD中, C=60 , AD BC,且 AD=DC,E、F 分别在 AD、

25、DC的延长线上,且DE=CF,AF、BE交于点 P（1）求证： AF=BE；B A P D E C （2）请你推测 BPF的度数,并证明你的结论F 7. （20XX年遂宁）如图,二次函数的图象经过点D0,73 ,且顶点 C的横坐标为4,该9图象在 x 轴上截得的线段 AB的长为 6. 求二次函数的解析式；该抛物线的对称轴上找一点 P,使 PA+PD最小,求出点 P 的坐标；在抛物线上是否存在点 Q,使QAB与 ABC相像？假如存在,求出点 Q 的坐标；如果不存在,请说明理由名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必

26、备 欢迎下载随堂检测答案：1.y1（答案不唯独）2=a11x2. 答案不唯独,如AC=BD, BAD=90 o,等3. 原式 =aa1a22 a1=aa1aa1a挑选 a 除了 0 与 1 以外的数代入均可；4. 挑选一：MN2xyx2y2yxy2yyxxy,x2y2x2y2xyxxy当 x y =52 时,x5y ,原式 =5y7 3,2 52yy2挑选二：MN2xyx2y2y2xx2y2x2y2xyxyxy当 x y =52 时,x5y ,原式 =yy5 2y3 7xy,52y2挑选三：NMx2y22xyy2xx2y2x2y25xyxyxy当 x y =52 时,x5y ,原式 =yy3

27、72 52yy2注：只写一种即可5. （ 1）设yk,A ,110在图象上,10k ,即 1k1 1010,y10,其中xx1x10；的速度去上学,那么小明从家（2）答案不唯独如：小明家离学校10km ,每天以v km/h去学校所需的时间t10v6. （ 1） BA=AD, BAE=ADF,AE=DF, BAE ADF, BE=AF；（2）猜想 BPF=120 .名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载由（ 1）知 BAE ADF, ABE=DAF . BPF=ABE+ BAP=BAE,而 AD BC

28、, C=ABC=60 ,BPF=120 .7. 解：设二次函数的解析式为：y=ax-h2+k,顶点 C的横坐标为4,且过点 0 ,73 9y=ax-4 2+k 73 16 a k 9又对称轴为直线 x=4,图象在 x 轴上截得的线段长为 6, A1, 0 ,B7 ,0 0=9a+k ,由解得 a= 3 , k=3,二次函数的解析式为：9y= 3 x-4 239点 A、B 关于直线 x=4 对称, PA=PB,PA+PD=PB+PDDB,当点 P 在线段 DB上时PA+PD取得最小值,DB与对称轴的交点即为所求点 P,设直线 x=4 与 x 轴交于点 M, PMOD, BPM= BDO, 又 P

29、BM= DBO, BPM BDO, PM BM,DO BOPM 79 3 3 3,点 P的坐标为 4 ,3 7 3 3由知点 C4,3 ,又 AM=3,在 Rt AMC中,cot ACM= 3 , ACM=60 o,AC=BC,3o ACB=120当点 Q在 x 轴上方时,过Q 作 QNx 轴于 N,假如 AB=BQ,由 ABC ABQ有 BQ=6,名师归纳总结 ABQ=120 o,就 QBN=60 o, QN=3 3 ,BN=3, ON=10,此时点Q10,33 ,假如 AB=AQ,由第 16 页,共 16 页对称性知 Q-2 ,33 当点 Q在 x 轴下方时,QAB就是 ACB,此时点 Q的坐标是 4 ,3 ,经检验,点 10 ,33 与-2 ,33 都在抛物线上,综上所述,存在这样的点Q,使 QAB ABC,点 Q 的坐标为 10 ,33或 -2 ,33 或4 ,3 - - - - - - -