2022年三角函数图像变换顺序详解.docx

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1、名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载图象变换的次序寻根题根争论一、图象变换的四种类型从函数 y = f x到函数 y = A f +m,其间经过 4 种变换：1.纵向平移 m 变换 2.纵向伸缩A 变换3.横向平移变换 4.横向伸缩变换一般说来,这 4 种变换谁先谁后都没关系,都能达到目标,只是在不同的变换次序中,“ 变换量” 可不尽相同,解题的“ 风险性” 也不一样 . 以下以 y = sin x 到 y = Asin + m 为例,争论 4 种变换的次序问题 . 【例 1】 函数 的图象可由 y = sin x 的图象经过

2、怎样的平移和伸缩变换而得到？【解法 1】 第 1 步,横向平移：将 y = sin x 向右平移,得第 2 步,横向伸缩：将的横坐标缩短倍,得第 3 步：纵向伸缩：将的纵坐标扩大3 倍,得第 4 步：纵向平移：将 向上平移 1,得【解法 2】 第 1 步,横向伸缩：将 y = sin x 的横坐标缩短倍,得y = sin 2x第 2 步,横向平移：细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页,共 5 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -将 y = si

3、n 2x 向右平移学习必备欢迎下载,得第 3 步,纵向平移：将向上平移,得第 4 步,纵向伸缩：将的纵坐标扩大3 倍,得）对应,而解法2 中有的变【说明】解法 1 的“ 变换量”（如右移）与参数值（换量（如右移）与参数值（）不对应,因此解法1 的“ 牢靠性” 大,而解法2 的“ 风险性” 大 . 【质疑】对以上变换,提出如下疑问：（1）在两种不同的变换次序中,为什么“ 伸缩量” 不变,而“ 平移量” 有变？（2）在横向平移和纵向平移中,为什么它们增减方向相反如当 0 时对应右移（增方向） ,而 m 1 时对应着“ 缩”,而 | A | 1 时,对应着“ 扩” ？y = A f +m【答疑】 对

4、于（2）,（3）两道疑问的回答是： 这是由于在函数表达式中 x 和 y 的位置在形式上“ 不公平” 所至. 假如把函数式变为方程式y+ = f ,就 x、y 在形式上就“ 位置公平” 了. 如将例 1 中的变成它们的变换“ 方向” 就“ 统一” 了. 对于疑问（ 1）：在不同的变换次序中,为什么“ 伸缩量不变”,而“ 平移量有变” ？这是由于在“ 一次” 替代：x中,平移是对x 进行的 . . 这 第 2 页,共 5 页 故先平移（ x）对后伸缩（）没有影响；但先收缩（ x）对后平移（）却存在着“ 平移” 相关细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - -

5、- - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -就是为什么（在例学习必备欢迎下载时,有的缘由 . 1 的解法 2 中）后平移【说明】为了使得 4 种变换量与 4 个参数（ A,m）对应,降低“ 解题风险”,在由 sinx 变到 Asin 0 的途中,采纳如下次序：（1）横向平移： x（2）横向伸缩： x+ Asin （3）纵向伸缩： sin （4）纵向平移： Asin Asin + m这正是例 1 中解法 1 的次序 . 二、正向变换与逆向变换假如把由sin x 到 Asin +m 的变换称作正向变换,那么反过来,由

6、Asin +m 到 sin x 变换就称逆向变换.明显,逆向变换的“ 次序” 是正向变换的“ 逆”. 由于正向变换的一般次序是：（1）横向平移, （2）横向伸缩, （3）纵向伸缩, （4）纵向平移 . 所以逆向变换的一般次序就是：（1）纵向平移, （2）纵向伸缩, （3）横向伸缩, （4）横向平移 . 如将函数 y= 2sin 2 +1 的图像下移 1 个单位得 y=2sin 2 x,再将纵坐标缩小一半得 y= sin2 x,再将横坐标扩大 2 倍得 y= sinx,最终将图象左移 得函数 y= sinx.【例 2】 将 y = f x cos x 的图象向右平移 , 再向上平移 1, 所得的

7、函数为 y=2sin 2 x . 试求 f x的表达式 . 【分析】这是图象变换的逆变换问题：已知函数的变换结果,求“ 原函数”. 我们考 第 3 页,共 5 页 虑将“ 正向变换” 的过程倒逆回去而得“ 逆向变换” 的次序. 【解析】将 y = 2sin2 x 下移 1 个单位（与正向变换上移1 个单位相反） ,细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -得y = 2sin学习必备欢迎下载（与正向变换右移相反）2 x1,再将2s

8、in2x1 左移得令 f x cos x = 2sin x cos x 得 f x = 2sin x【说明】 由此得原函数为 y=fxcosx=2 sin x cosx=sin2x. 正向变换为 sin 2x2sin 2x,其逆变换为 2sin 2xsin2x. 由于 2sin2x=1+sin2 x,所以下移 1 个单位得 sin2 x,左移 得 sin2x.三、翻折变换 使 0平移变换 x是“ 对 x 而言” ,由于 x 过于简洁而易被忽视 . 强调一下,这里 x 的系数是 +1. 千万不要误以为 是由 sin- x左移 而得 . 其实, x 或 y 的系数变- 1,也对应着两种不同的图象变

9、换：由 x - x 对应着关于 y轴的对称变换 ,即沿 y 轴的翻折变换；由 f x - f x对应着关于 x 轴的对称变换 ,即沿 x 轴的翻折变换 . 【例 3】 求函数 的单调减区间 . 【分析】先变换-3x3x,即沿 y 轴的翻折变换 . ,转化为求gx=sin3 x【解析1】的增区间细心整理归纳 精选学习资料 令 第 4 页,共 5 页 x （fx减区间主解）又函数的 fx周期为,故函数fx减区间的通解为 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载 x 【解析 2】的减区间为即是 x 【说明】 从图象变换的角度看问题 两步进行 : ,比较解析 1 和解析 2 可知 ,求 fx的减区间 ,实际上分1先求得 fx减区间的主解 x 2再利用主解进行横向平移 的整数倍 即得 fx减区间的通解 . 【摸索】本解先将“ 正数化” ,使 0 是本解胜利的关键 . 否就,假如去解不等式组将会使你陷入歧路,不防试试！细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页,共 5 页 - - - - - - - - -