2022年中考数学中的《探究性问题动态几何》.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载中考数学中的探究性问题动态几何动态几何类问题是近几年中考命题的热点,同学的综合分析和解决问题的才能；题目敏捷、 多变,能够全面考查有关动态几何的概念, 在许多资料上有说明, 但是没有一个统一的定义, 在这里就不在赘述了；本人只是用一、学问网络20XX 年的部分中考数学试题加以说明；动点问题动态几何涉及的几种情形 动线问题动形问题二、例题经典1.【 05 重庆课改】 如图,在平面直角坐标系内,已知点A（0,6）、点 B（8, 0）,动点 P 从点 A 开头在线段AO 上以每秒 1 个单位长度的速度向点O 移动,同时动点Q 从点

2、B t 秒开头在线段BA 上以每秒 2 个单位长度的速度向点A 移动 ,设点 P、Q 移动的时间为1 求直线 AB 的解析式；y B x 2 当 t 为何值时,APQ 与 AOB 相像？3 当 t 为何值时,APQ 的面积为24 个平方单位？5A Q P 【解】（）设直线AB 的解析式为ykxbO 由题意,得b6 8kb0 3x6A y Q 解得k3b 6 4所以,直线AB 的解析式为yP B x 4（）由AO 6, BO 8 得AB 10 所以 APt , AQ 10 2tO 1当 APQ AOB 时, APQ AOB 所以t 6102 t解得t30秒y 1011B x 2当 AQP AOB

3、 时,AQP AOB A Q 所以t 101062 t解得t50秒 13P （）过点Q 作 QE 垂直 AO 于点 E在 Rt AOB 中, SinBAO BO AB4O y 5A 名师归纳总结 P Q 第 1 页,共 12 页E - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载8t在 Rt AEQ 中, QE AQ SinBAO 10-2t 4 855所以, S APQ1 2APQE1 t82248t 54 t 524t5解得 t2（秒）或 t3（秒）2.【 05 青岛 】如图,在矩形ABCD 中,AB 6 米, BC8 米,动点 P 以 2 米/

4、秒的速度从点 A 动身,沿 AC 向点 C 移动,同时动点 Q 以 1 米/秒的速度从点 C 动身,沿 CB 向点 B移动,设 P、Q 两点移动 t 秒（ 0t5 ）后,四边形 ABQP 的面积为 S 米 2；（1）求面积 S 与时间 t 的关系式；（2）在 P、Q 两点移动的过程中,四边形 出此时点 P 的位置；如不能,请说明理由；【解】（1）过点 P 作 PE BC于EABQP 与 CPQ 的面积能否相等？如能,求名师归纳总结 Rt ABC中,ACAB2BC2628210（米）3 52t3 t2412第 2 页,共 12 页由题意知：AP2t,CQt,就PC102 t由ABBC,PEC得P

5、E/ /ABPEPCABAC即：PE102t,PE3 102 t6t66 S A B C10 12655又824SSABCSPCQ241t6t6 3t23 t24255即：S3t23 t245（2）假设四边形ABQP与CPQ的面积相等,就有：即： t25 t200b24ac5 241200- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载方程无实根在 、Q两点移动的过程中,四边形ABQP与CPQ的面积不能相等；3.【05 乌鲁木齐 】四边形OABC是等腰梯形, OA BC；在建立如图的 平面直角坐标系中,A （4,0）,B（3,2）,点 M 从 O

6、点以每秒 2 单位的速度 向终点 A 运动； 同时点 N 从 B 点动身 以每秒 1 个单位的速度向终点 C 运动,过点 N 作 NP 垂直于 x 轴于 P 点连结AC 交 NP 于 Q,连结 MQ ；（1）写出 C 点的坐标；（2）如动点 N 运动 t 秒,求 Q 点的坐 标（用含 t 的式子表示（3）其 AMQ 的面积 S 与时间 t 的函数关系式,并写出自变量 t 的取值范畴；（4）当 t 取何值时,AMQ 的面积最大；（5）当 t 为何值时,AMQ 为等腰三角形；【解】（1）C（1,2）（ 2）过 C 作 CEx 轴于 E,就 CE2 当动点 N 运动 t 秒时, NB t 点 Q 的

7、横坐标为3t| t2232t设 Q 点的纵坐标为y Q 由 PQ CE 得yQ13ty Q2点 Q（3t,232 t）t2 （ 3）点 M 以每秒 2 个单位运动,OM 2t,AM 42t SAMQ1AMPQ142 t232 t2 2t t1 22233当 t2 时, M 运动到 A 点, AMQ 不存在t2 t 的取值范畴是0t2 当（ 4）由 S AMQ 2t2t2 2 t123；3 3322t1时,S mzx22（ 5）、如 QM QA QPOA MP AP 而 MP4（ 1t2t） 33t 名师归纳总结 即 1t3 3t t1当 t1 时, QMA 为等腰三角形；22第 3 页,共 1

8、2 页2如 AQ AM AQ2AP2PQ2 1t2232 t213 1t9AQ=131tAM 42t 13 1t42t 33- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - t851813而0851813学习必备欢迎下载2232385 18 13当 t时, QMA 为等腰三角形；23 如 MQ MA MQ 2MP 2PQ 2 3 3 t 2 2 2 t 2 85 t 2 154 t 853 9 9 985 t 2 154 t 85 4 2 t 2 49 t 2 10 t 59 09 9 9 9 9 9解得 t59 或 t 1（舍去）059 2 49 49当 t59 时

9、, QMA 为等腰三角形；49综上所述：当 t1、t85 18 13 或 t59 QMA 都为等腰三角形；2 23 494.【 05 宜昌 】如图 1,已知ABC 的高 AE=5,BC=40, ABC45 , F 是 AE 上的3点, G 是点 E 关于 F 的对称点,过点 G 作 BC 的平行线与 AB 交于 H、与 AC 交于 I,连接IF 并延长交 BC 于 J,连接 HF 并延长交 BC 于 K（1）请你探究并判定四边形HIKJ 是怎样的四边形？并对你得到的结论予以证明；（2）当点 F 在 AE 上运动并使点H、I、K、J 都在 ABC 的三条边上时,求线段AF 长的取值范畴HAGBI

10、A（图 2 供摸索用）FBJEKCBEC图1【解】 1点 G 与点 E 关于点 F 对称, GF=FE 图2HI BC, GIF= EJF,又 GFI= EFJ, GFI EFJ, GI=JE 同理可得 HG=EK , HI=JK, 四边形 HIKJ 是平行四边形（ 2）当 F 是 AE 的中点时, A、 G 重合,所以AF=2.5 CC、EAB如图 1, AE 过平行四边形HIJK 的中心 F, HGIHG=EK, GI=JE. HG/BE=GI/EC. FCEBE,GI HG, CK BJ. BJEK当点 F 在 AE 上运动时 , 点 K、J 随之在 BC 上运动 , 图 1 如图 2,

11、当点 F 的位置使得B、J 重合时,这时点K 仍为 CE 上的某一点（不与A名师归纳总结 HGFI第 4 页,共 12 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 重合）,而且点学习必备欢迎下载H、I 也分别在 AB 、AC 上设 EF x, AHG ABC 45, AE5,BE5GI ,AG HG52x ,CE40 5. 3图 2 AGI AEC , AG AE GICE. 52x5 540 5 3x1, AF 5x4 5 AF4. 25.【 05 漳州 】如图 1,在直角梯形ABCD 中, AD BC,顶点 D, C 分别在 AM ,BN上运动 点 D 不

12、与 A 重合,点 C 不与 B 重合 ,E 是 AB 上的动点 点 E 不与 A ,B 重合 ,在运动过程中始终保持 DE CE,且 AD+DE=AB=a ；（1）求证：ADE BEC；（2）当点 E 为 AB 边的中点时 如图 2,求证： AD+BC=CD ； DE,CE 分别平分 ADC , BCD ；（3）设 AE=m ,请探究：BEC 的周长是否与m 值有关,如有关请用含m 的代数式表示 BEC 的周长；如无关请说明理由；【解】（1）太简洁,略；（2）过点 E 作梯形两底的平行线交腰CD 于 F,就 F 是 CD 的中点,就 EF 既是梯形 ABCD 的中位线,又是 Rt DEC 斜边

13、上的中线；依据各自的性质：AD+BC 2EF, CD 2EF 所以 AD+BC CD. 由 EFD 是等腰三角形（FDFE1 CD 2）得 FDE FED 由 EF AD 可得 ADE FED 同理可证： CE 平分 BCD ； FDE ADE ,即 DE 平分 ADC ；名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载（ 3）设 AD x,由已知 AD+DE AB=a 得 DE ax,又 AE m 在 Rt AED 中,由勾股定理得：x2m2 2（ ）化简整理得：a2m22ax在 EBC 中,由 AE m,A

14、B a,得 BEam 由于 ADE BEC,所以ADAEDE,即：xmax,BE BC EC am BC EC解得：BC（ m）m, EC（ m）（ ）.x x所以BEC 的周长 BE BCEC（ m）（ m）m（ m）（ ）x x（ a m） 1 max（ m）ama 2m 2x x x x把式代入,得BEC 的周长 BE BCEC2ax2a,x所以BEC 的周长与 m 无关；6.【05 河北 】如图 12,在直角梯形ABCD 中, AD BC, C 90 , BC 16,DC 12, AD21；动点 P 从点 D 动身,沿射线 DA 的方向以每秒 2 两个单位长的速度运动,动点 Q 从点

15、C 动身,在线段 CB 上以每秒 1 个单位长的速度向点B 运动,点 P,Q 分别从点 D,C 同时动身,当点 Q 运动到点 B A P D 时,点 P 随之停止运动；设运动的时间为 t（秒）；（ 1）设 BPQ 的面积为 S,求 S 与 t 之间的函数关系式；（ 2）当 t 为何值时,以B,P,Q 三点为顶点的三角形是等腰B Q C 图 10 三角形？（ 3）当线段PQ 与线段 AB 相交于点O,且 2AO OB 时,求 BQP 的正切值；名师归纳总结 （ 4）是否存在时刻t,使得 PQBD ？如存在,求出t 的值；如不存在,请说明理由；第 6 页,共 12 页【解】（1）如图 3,过点 P

16、 作 PMBC,垂足为M ,就四边形PDCM 为矩形； PM DC12 QB 16t, S1 2 12 16t 96t A P D （2）由图可知： CM PD2t,CQt；以 B、 P、Q 三点为顶点的三角形是等腰三角形,可以分三种情形：2,B M Q C 如 PQBQ ；在 Rt PMQ 中,PQ2t212图 3 由 PQ 2BQ2 得t212216t2,解得 t7 2； 如 BPBQ；在 Rt PMB 中,BP2162 2122；由 BP2BQ2 得：- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 162 212216t2即学习必备t欢迎下载；3 t23214

17、40由于 7040 3 t232t1440无解,PB BQ 如 PBPQ；由 PB2PQ2,得t2122162 2122整理,得3 t264t2560；解得t 116,t 216（不合题意,舍去）3综合上面的争论可知：当t7 2秒或t16 3秒时,以 B、P、Q 三点为顶点的三角形是等腰三角形；（3）如图 4,由 OAP OBQ,得APAO1P A E D BQOB2O Q C AP2t21,BQ 16t, 22t2116t；B t58 5；图 4 过点 Q 作 QEAD ,垂足为 E,PD2t,EDQCt, PEt；在 RT PEQ 中, tanQPEQE1230A P E D PEt29（

18、4）设存在时刻t,使得 PQBD ；如图 5,过点 Q 作QEADS ,垂足为 E；由 Rt BDC Rt QPE,得O DCPE,即12 16t；解得 t9 BCEQ12B Q C 所以,当 t9 秒时, PQBD ；图 5 7.【 05 河北课改 】图 15 1 至 157 中的网格图均是20 20 的等距网格图（每个小方格的边长均为 1 个单位长）；侦察兵王凯在 P 点观看区域 MNCD 内的活动情形；当 5 个单位长的列车（图中的）以每秒 1 个单位长的速度在铁路线 MN 上通过时,列车将阻挡王凯的部分视线, 在区域 MNCD 内形成盲区 （不考虑列车的宽度和车厢间的缝隙）；设列车车头

19、运行到 M 点的时刻为 0,列车从 M 点向 N 点方向运行的时间为 t（秒）； 在区域 MNCD 内,请你针对图15 1,图 152,图 15 3,图 154 中列车位于不同位置的情形分别画出相应的盲区,并在盲区内涂上阴影； 只考虑在区域ABCD 内开成的盲区；设在这个区域内的盲区面积是y（平方单位） ；如图 155,当 5t 10 时,请你求出用 如图 156,当 10t15 时,请你求出用 如图 157,当 15t20 时,请你求出用t 表示 y 的函数关系式；t 表示 y 的函数关系式；t 表示 y 的函数关系式；名师归纳总结 依据 中得到的结论,请你简洁概括y 随 t 的变化而变化的

20、情形；第 7 页,共 12 页 依据上述争论过程,请你按不同的时段,就列车行驶过程中在区域MNCD 内所形成盲区的面积大小的变化情形提出一个综合的猜想（问题是额外加分,加分幅度为14 分）；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载【解】 略 如图 6,当 5t 10 时,盲区是梯形 AA 1D1D O 是 PQ 中点,且 OA QD ,A 1A 是 PD1D 的中位线；A 1, A 分别是 PD 1和 PD 中点又 A 1At5, D1D2 t5 而梯形 AA 1D1D 的高 OQ=10,y1t5 2 t5 1015 t75y15t752

21、如图 7,当 10t 15 时,盲区是梯形A 2B 22C22D 22,易知 A 2B2 是 PC2D 2 的中位线,且A 2B2=5,C2D2=10 又梯形 A 2B 2C2D2 的高 OQ=10,y1 510 1075y752如图 8,当 15 t20 时,盲区是梯形B3BCC 3易知 BB 3 是 PCC3 的中位线名师归纳总结 y且 BB 35t1520tOQ=10 ,第 8 页,共 12 页又 梯 形B3BCC 3 的 高120t2 20t1030015 t2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - y30015t学习必备欢迎下载当 5 t10 时,

22、由一次函数 y 15t 75 的性质可知,盲区的面积由 0 逐步增大到 75；当 10t15 时,盲区的面积 y 为定值 75；当 15t20 时,由一次函数 y 300 15 t 的性质可知,盲区的面积由 75 逐步减小到 0 通过上述争论可知,列车从 M 点向 N 点方向运行的过程中,在区域 MNCD 内盲区面积大小的变化是：在 0t10 时段内,盲区面积从 0 逐步增大到 75；在 10t15 时段内,盲区的面积为定值 75；在 15t20 时段内,盲区面积从 75 逐步减小到 0 8.【 05 黄岗】 如图,在直角坐标系中,O 是原点, A 、B、C 三点的坐标分别为 A（18,0）,

23、B（18,6）,C（8,6）,四边形 OABC 是梯形,点P、Q 同时从原点动身,分别坐匀速运动,其中点P 沿 OA 向终点 A 运动,速度为每秒1 个单位,点Q 沿 OC、CB 向终点 B 运动,当这两点有一点到达自己的终点时,另一点也停止运动； 求出直线 OC 的解析式及经过O、A、C 三点的抛物线的解析式； 试在中的抛物线上找一点 D,使得以 O、A 、D 为顶点的三角形与AOC 全等,请直接写出点 D 的坐标； 设从动身起,运动了 t 秒；假如点 Q 的速度为每秒 2 个单位,试写出点 Q 的坐标,并写出此时 t 的取值范畴； 设从动身起,运动了 t 秒；当 P、Q 两点运动的路程之和

24、恰好等于梯形 OABC 的周长的一半,这时,直线 PQ 能否把梯形的面积也分成相等的两部分,如有可能,恳求出 t 的值；如不行能,请说明理由；y C（8,6）B（18,6）Q名师归纳总结 O P yaxA （18,0）x 第 9 页,共 12 页【解】 O、C 两点的坐标分别为O00,C86,设 OC 的解析式为ykxb,将两点坐标代入得：k3,b0,y3x440 x18A ,O 是 x 轴上两点,故可设抛物线的解析式为- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 再将 C,86代入得：a学习必备欢迎下载340y27 20x3x 240D 10 6,2当 Q 在

25、OC 上运动时,可设 Q m , 3 m,依题意有：m 2 3 m 2 t 24 4m 8 t, Q 8 t , 6 t,0 t 55 5 5当 Q 在 CB 上时, Q 点所走过的路程为 t2, OC10, CQ2t 10Q 点的横坐标为 2 t 10 8 2 t 2, Q 2t 2 6,5 t 10 11 分梯形 OABC 的周长为 44,当 Q 点 OC 上时, P 运动的路程为 t ,就 Q 运动的路程为 22 t OPQ 中, OP 边上的高为：22 t 3 , S OPQ 1 t 22 t 35 2 5梯形 OABC 的面积1 18 10 6 84,依题意有：1 t 22 t 3

26、84 12 2 5 2整理得：t 2 22 t 140 0 22 24 140 0,这样的 t 不存在当 Q 在 BC 上时, Q 走过的路程为 22 t, CQ 的长为：22 t 10 12 t梯形 OCQP 的面积1 6 22 t 10 t 36 8412 2这样的 t 值不存在综上所述,不存在这样的 t 值,使得 P,Q 两点同时平分梯形的周长和面积9.【 05 宁德 】如图,已知直角梯形 ABCD 中, AD BC,B90o,AB 12cm,BC8cm,DC 13cm,动点 P 沿 ADC 线路以 2cm/秒的速度向C 运动,动点 Q 沿 BC 线路以 1cm/秒的速度向 C 运动；

27、P、Q 两点分别从 A、B 同时动身,当其中一点到达 C 点时,另一点也随之停止；设运动时间为 t 秒,PQB 的面积为 ym 2；（1）求 AD 的长及 t 的取值范畴；（2）当 1.5 tt0t0 为（ 1）中 t 的最大值 时,求 y 关于 t 的函数关系式；（3）请详细描述：在动点P、Q 的运动过程中,PQB 的面积随着t 的变化而变化的规律；名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载BC 于 E 点【解】（1）在梯形 ABCD 中, AD BC、B90o过 D 作 DEAB DE 四边形 ABE

28、D 为矩形DEAB 12cm 在 Rt DEC 中, DE12cm, DC13cm EC5cm AD BEBCEC3cm 点 P 从动身到点 C 共需313 28（秒）点 Q 从动身到点 C 共需8 189 少）又 t0 ot8 （2）当 t 1.5（秒）时, AP3,即 P 运动到 D 点当 1.5t8 时,点 P 在 DC 边上PC162t 过点 P 作 PM BC 于 Ag PM DE PC DCPM DE即 162t13PM 12 PM12 13 162t 又 BQ t y1 2 BQPM 1 2 t1213 162t12 13 t 296 13 t （3）当 0t1.5 时, PQB

29、 的面积随着 t 的增大而增大；当 1.5t4 时, PQB 的面积随着t 的增大而（连续）增大；当 4t8 时, PQB 的面积随着t 的增大而减小；cm BC16cm .现有动点 P 从点10.【05 杭州 】在三角形ABC 中, BO 60 ,BA24A 动身 ,沿射线 AB 向点 B 方向运动 ;动点 Q 从点 C 动身 ,沿射线 CB 也向点 B 方向运动 .假如 点 P 的速度是 4cm/秒,点 Q 的速度是 2cm/秒,它们同时动身 ,求: 1 几秒钟后 , PBQ 的面积是 ABC 的面积的一半 . 名师归纳总结 2 在第 1问的前提下 ,P,Q 两点之间的距离是多少. 第 11 页,共 12 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载【解】（1）2 秒或 12 秒钟后, PBQ 的面积是 ABC 的面积的一半（2）PQ 4 13 或 8 7名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 12 页