2022年初中函数知识点总结2.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 函数学问点总结 把握函数的定义、性质和图像 （一）平面直角坐标系 1、定义：平面上相互垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系,简称 为直角坐标系 2、各个象限内点的特点 : 第一象限：（+,+）其次象限：（- ,+）第三象限：（- ,- ）第四象限：（+,- ）点 P（x,y ）,就 x0,y 0；点 P（x,y ）,就 x0,y 0；点 P（x,y ）,就 x0,y 0；点 P（x,y ）,就 x0,y 0；3、坐标轴上点的坐标特点： x轴上的点,纵坐标为零； y 轴上的点,横坐标为零；原点的坐标为（0 , 0）；两坐标轴的点不属于任何

2、象限；4、点的对称特点：已知点 Pm,n, 关于 x 轴的对称点坐标是 m,-n, 关于 y 轴的对称点坐标是 -m,n 横坐标相同,纵坐标反号 纵坐标相同,横坐标反号关于原点的对称点坐标是-m,-n 横,纵坐标都反号5、平行于坐标轴的直线上的点的坐标特点：平行于 x 轴的直线上的任意两点：纵坐标相等；平行于 y 轴的直线上的任意两点：横坐标相等；6、各象限角平分线上的点的坐标特点：第一、三象限角平分线上的点横、纵坐标相等；其次、四象限角平分线上的点横、纵坐标互为相反数；7、点 P（x,y ）的几何意义：点 P（x,y ）到 x 轴的距离为 |y|,x2y2点 P（x,y ）到 y 轴的距离为

3、 |x|；点 P（x,y ）到坐标原点的距离为8、两点之间的距离：名师归纳总结 X轴上两点为 A x 1,0 、B2x0, |AB|x 2x 1|第 1 页,共 9 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - Y轴上两点为 C 0 ,y 1、D ,0y2 |CD|y2y1|已知 Ax 1y1、B x2y2 AB|=x2x 12y2y 12 x-a ,y）；x+a ,y）；x,yb）；x,yb）；9、中点坐标公式：已知Ax 1y1、B x 2y 2 M 为 AB的中点就： M=x 22x 1 , y22y 1 10、点的平移特点：在平面直角坐标系中,将点（ x,

4、y ）向右平移 a 个单位长度,可以得到对应点（将点（ x,y ）向左平移 a 个单位长度,可以得到对应点（将点（ x,y ）向上平移 b 个单位长度,可以得到对应点（将点（ x,y ）向下平移 b 个单位长度,可以得到对应点（留意：对一个图形进行平移, 这个图形上全部点的坐标都要发生相应的变化；反过来,从图形上点的坐标的加减变化,我们也可以看出对这个图形 进行了怎样的平移；（二）函数的基本学问：基本概念1、变量： 在一个变化过程中可以取不同数值的量；常量： 在一个变化过程中只能取同一数值的量；2、函数： 一般的,在一个变化过程中,假如有两个变量x 和 y,并且对于 x 的每一个确定的值, y

5、 都有唯独确定的值与其对应,那么我们就把 x 称为自变 量,把 y 称为因变量, y 是 x 的函数； * 判定 A 是否为 B 的函数,只要看 B取值确定的时候, A 是否有唯独确定的值 与之对应 3、定义域： 一般的,一个函数的自变量答应取值的范畴,叫做这个函数的定义 域；4、确定函数定义域的方法：（1）关系式为整式时,函数定义域为全体实数；（2）关系式含有分式时,分式的分母不等于零；（3）关系式含有二次根式时,被开放方数大于等于零；（4）关系式中含有指数为零的式子时,底数不等于零；名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - -

6、- （5）实际问题中,函数定义域仍要和实际情形相符合,使之有意义；5、函数的图像 一般来说,对于一个函数,假如把自变量与函数的每对对应值分别作为点的 横、纵坐标,那么坐标平面内由这些点组成的图形,就是这个函数的图象6、函数解析式： 用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做解析 式；7、描点法画函数图形的一般步骤；第一步：列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值）其次步：描点（在直角坐标系中,以自变量的值为横坐标,相应的函数值为 纵坐标,描出表格中数值对应的各点） ；第三步：连线（依据横坐标由小到大的次序把所描出的各点用平滑曲线连接 起来）；8、函数的表示方法 列表法：一目了然,使

7、用起来便利,但列出的对应值是有限的,不易看出自 变量与函数之间的对应规律；解析式法：简洁明白, 能够精确地反映整个变化过程中自变量与函数之间的 相依关系,但有些实际问题中的函数关系,不能用解析式表示；图象法：形象直观,但只能近似地表达两个变量之间的函数关系；（三）正比例函数和一次函数 1、正比例函数及性质 一般地,形如 y=kxk 是常数, k 0 的函数叫做正比例函数, 其中 k 叫做比例系 数. 注：正比例函数一般形式 y=kx k 不为零 k 不为零 取零 x 指数为 1 b当 k0 时,直线 y=kx 经过三、一象限,从左向右上升,即随 x 的增大 y 也增大；当 k0 时,图像经过一

8、、三象限；k0,y 随 x 的增大而增大； k0时,向上平移；当 b0 ,图象经过第一、三象限；k0,图象经过第一、二象限；kb0 直线从左向右是向上的 2、b 打算着直线与 y 轴的交点位置 b0 直线与 y 轴的正半轴相交 相交 k0 直线从左向右是向下的 b0 ,y 随 x 的增大而增大； k0时,将直线 y=kx 的图象向上平移 b 个单位；当 b0,b0 2、k0,b0 3 、k0,b0 4、k0 4、直线 y=kxbk 0 与坐标轴的交点1 直线 y=kx 与 x 轴、y 轴的交点都是 0 ,0 ；2 直线 y=kxb 与 x 轴交点坐标为与 y 轴交点坐标为 0 ,b 5、用待定

9、系数法确定函数解析式的一般步骤：（1）依据已知条件写出含有待定系数的函数关系式；（2）将 x、y 的几对值或图象上的几个点的坐标代入上述函数关系式中得到 以待定系数为未知数的方程；（3）解方程得出未知系数的值；（4）将求出的待定系数代回所求的函数关系式中得出所求函数的解析式 .6、两条直线交点坐标的求法：方法：联立方程组求 x、y 例题：已知两直线 yx+6 与 y2x-4 交于点 P,求 P 点的坐标？7、直线 y=k1x+b1 与 y=k2x+b2 的位置关系（1）两条直线平行： k1=k2 且 b1 b2 k2（2）两直线相交： k1（3）两直线重合： k1=k2且 b1=b2 平行于轴

10、（或重合）的直线记作. 特殊地,轴记作直线8、正比例函数与一次函数图象之间的关系 一次函数 y=kxb 的图象是一条直线, 它可以看作是由直线 y=kx 平移|b| 个 单位长度而得到（当 b0 时,向上平移；当 b0 或 ax+b0 时,图象分别位于第一、三象限,同一个象限内,y 随 x 的增大而减小；当k0时,函数在x0 上同为减函数；k0 时,函数在x0 上同为增函数；定义域为 x 0；值域为 y 0； 3. 由于在 y=k/xk 0 中, x 不能为 0,y 也不能为 0,所以反比例函数的图象不行能与 x 轴相交,也不行能与 y 轴相交； 4. 在一个反比例函数图象上任取两点 P,Q,

11、过点 P, Q分别作 x 轴,y 轴的平行线,与坐标轴围成的矩形面积为S1, S2,就 S1S2=|K| 5. 反比例函数的图象既是轴对称图形,又是中心对称图形,它有两条对称轴 y=x y=-x（即第一三,二四象限角平分线）,对称中心是坐标原点；6. 如设正比例函数 y=mx与反比例函数 y=n/x 交于 A、 B 两点（ m、n同号）,那么 A B 两点关于原点对称； 7. 设在平面内有反比例函数 y=k/x 和一次函数 y=mx+n,要使它们有公共交点,就 n2 +4k m（不小于）0； （ k/x=mx+n ,即 mx2+nx-k=0 ） 8. 反比例函数 y=k/x 的渐近线： x 轴

12、与 y 轴； 9. 反比例函数关于正比例函数 y=x,y=-x 轴对称 , 并且关于原点中心对称 . 第 5 点的同义不同表述 10. 反比例上一点 m向 x、 y 轴分别做垂线,交于 q、 w,就矩形 mwqo（ o 为原点）的面积为 |k| 11.k 值相等的反比例函数重合,k 值不相等的反比例函数永不相交； 12.|k| 越大,反比例函数的图象离坐标轴的距离越远；（五）二次函数二次函数是指未知数的最高次数为二次的多项式函数；二次函数可以表示为fx=ax2+bx+ca 不为 0 ；其图像是一条主轴平行于 y 轴的抛物线；一般式 已知图像上三点或三对、的值,通常挑选一般式 .y=ax2+bx

13、+ca 0,a 、 b、c 为常数 ,顶点坐标为 -b/2a,4ac-b2/4a ；顶点式 已知图像的顶点或对称轴,通常挑选顶点式 . y=ax+m2 +ka 0,a 、 m、 k 为常数 或 y=ax- h2+ka 0,a 、 h、k为常数 ,顶点坐标为（-m,k）或（ h,k ）对称轴为x=-m 或 x=h,有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式；名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 交点式 已知图像与轴的交点坐标、,通常选用交点式 y=ax-x1x-x2 仅限于与x 轴有交点A（x1, 0）和 B （x2,0

14、）的抛物线 ；抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点顶点抛物线有一个顶点P,坐标为 P -b/2a , 4ac-b2/4a ,当 -b/2a=0时,P 在 y 轴上；当 = b2-4ac=0时, P 在 x 轴上；开口二次项系数 a 打算抛物线的开口方向和大小；当 a 0 时,抛物线 向上 开口；当 a0 时,抛物线 向下 开口； |a| 越大 ,就抛物线的开口 越小 ；打算对称轴位置的因素一次项系数 b 和二次项系数 a 共同打算对称轴的位置；当 a 与 b 同号时（即 ab 0）,对称轴在 y 轴左 ；当 a 与 b 异 号时（即 ab 0）,对称轴在 y 轴右 ；（ 左同右异）c 的大小

15、打算抛物线 与 轴交点的位置 . 当时,抛物线, 与与轴有且只有一个交点 （0, ）：,抛物线经过原点 ; 轴交于正半轴；, 与轴交于负半轴 . 直线与抛物线的交点（1）轴与抛物线 得交点为 0, . （2）与 轴平行的直线 与抛物线 有且只有一个交点 , . （3）抛物线与 轴的交点二次函数 的图像与 轴的两个交点的横坐标、,是对应一元二次方程 的两个实数根 . 抛物线与 轴的交点情形可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 有两个交点抛物线与轴相交；有一个交点（顶点在 轴上）抛物线与 轴相切；没有交点 抛物线与 轴相离 . （4）平行于 轴的直线与抛物线的交点同（3）一样可能有 0 个交点、 1 个交点、2 个交点 . 当有 2 个交点时,两交点的纵坐标相等,设纵坐标为,就横坐标是的两个实数根 . （5）一次函数的图像 与二次函数的图像的交点,由方程组的解的数目来确定：名师归纳总结 方程组有两组不同的解时与有两个交点 ; 方程组只有一组解时第 9 页,共 9 页与只有一个交点；方程组无解时与没有交点 . （6）抛物线与轴两交点之间的距离： 如抛物线与轴两交点为,由于、是方程的两个根,故- - - - - - -