2022年二次函数讲义详细.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 第一讲 二次函数的定义学问点归纳 ：二次函数的定义：一般地,假如 y ax 2 bx c a , b , c 是常数,a 0 ,那么 y 叫做 x 的二次函数 . 二次函数具备三个条件,缺一不行：（1）是整式方程； （2）是一个自变量的二次式；（ 3）二次项系数不为 0 考点：二次函数的二次项系数不为0,且二次函数的表达式必需为整式例 1、函数 y=（m2 ） xm222x1 是二次函数,就m= 例 2、 以下函数中是二次函数的有（） y=x1； y=3（x1）22； y=（x3）22x2； y=1x300 套据市场调查发觉,这种服装每提xx2

2、A1 个B2 个C3 个D4 个例 3、某商场将进价为40 元的某种服装按50 元售出时,每天可以售出高 1 元售价,销量就削减 5 套,假如商场将售价定为 x,请你得出每天销售利润 y 与售价的函数表达式例 4 、如图,正方形 ABCD 的边长为 4,P 是 BC 边上一点, QPAP 交 DC 于 Q,假如 BP=x, ADQ 的面积为 y,用含 x 的代数式表示y第 1 页,共 31 页名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 训练题 : 1、已知函数y=ax2 bxc（其中 a,b, c 是常数）,当 a 时,是二次函数；当a ,b 时,

3、是一次函数；S 与对角线 a 的关系当 a ,b , c 时,是正比例函数2、如函数 y=m2+2m7x2+4x+5 是关于 x 的二次函数,就m的取值范畴为；3、已知函数y=m1 x2m +1+5x3 是二次函数,求m的值；4、已知菱形的一条对角线长为a,另一条对角线为它的3 倍,用表达式表示出菱形的面积5、请你分别给a,b,c 一个值,让yax2bxc为二次函数,且让一次函数y=ax+b 的图像经过一、二、三象限6以下不是二次函数的是（）Ay=3x 24 By= 3 1x 2 C y= x 25 Dy=（x1）（x2）7函数 y= （mn） x 2mxn 是二次函数的条件是（）Am、n 为

4、常数,且 m 0 B m、 n 为常数,且 m nCm、n 为常数,且 n 0 D m、n 可以为任何常数8如图,校内要建苗圃,其外形如直角梯形,有两边借用夹角为 135 的两面墙,另外两边是总长为 30 米的铁栅栏（1）求梯形的面积 y 与高 x 的表达式；（2）求 x 的取值范畴9如图,在矩形 ABCD 中, AB=6cm ,BC=12cm 点 P 从点 A 开头沿 AB 方向向点 B 以 1cm/s 的速度移动,同时,点 Q 从点 B 开头沿 BC 边向 C 以 2cm/s 的速度移动假如 P、Q 两点分别到达 B、C 两点停止移动,设运动开头后第 t 秒钟时,五边形 APQCD 的面积

5、为 Scm 2,写出 S 与 t 的函数表达式,并指出自变量 t 的取值范畴名师归纳总结 第 2 页,共 31 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 10已知：如图,在 Rt ABC 中, C=90 , BC=4, AC=8点 D 在斜边 AB 上,分别作 DEAC ,DFBC,垂足分别为 E、F,得四边形 DECF设 DE=x ,DF=y （ 1）AE 用含 y 的代数式表示为：AE= ；（ 2）求 y 与 x 之间的函数表达式,并求出 x 的取值范畴；（ 3）设四边形 DECF 的面积为 S,求 S与 x 之间的函数表达式其次讲 二次函数的图像和性质

6、学问点归纳：1、求抛物线的顶点、对称轴的方法（ 1 ）公式法：. yax2bxcaxb24 acb2, 顶点是（b4,acab2）, 对称轴是直线2a42 a4 axb2a（2）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形,所以抛物线上对称点的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴,对称轴与抛物线的交点是顶点 . 2、二次函数的图象及性质：（1）二次函数 y=ax 2 a 0）的图象是 一条 抛物线,其顶点是原点,对称轴是 y 轴；当 a0 时,抛物线开口向上, 顶点是最低点 ；当 a 0 时,抛物线开口向下,顶点是最高点；a 越小,抛物线开口越大2（2）二次函数 y ax bx c 的

7、图象是一条 对称轴平行 y 轴或者与 y 轴重合的抛物线要会依据对称轴和图像判定二次函数的增减情形；3、图象的平移 ： 左加右减,上加下减例 1、抛物线y=2x2 6x1 y=2x26x1 对称轴顶点坐标开口方向位置增减性最值名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 31 页精选学习资料 - - - - - - - - - 例 2、已知直线y=2x3 与抛物线y=ax2相交于 A、B 两点,且 A 点坐标为（ 3,m）（ 1）求 a、m 的值；（ 2）求抛物线的表达式及其对称轴和顶点坐标；（ 3）x 取何值时,二次函数 y=ax 2 中的 y 随 x 的增大而减小；（ 4）求 A

8、、B 两点及二次函数 y=ax 2 的顶点构成的三角形的面积例 3、求符合以下条件的抛物线 y=ax 2 的表达式：（ 1）y=ax2 经过（ 1,2）；（ 2）y=ax1 2 与 y= 2x2 的开口大小相等,开口方向相反；（ 3）y=ax1 2 与直线 y= 2x3 交于点（ 2,m）例 4、抛物线 y=ax2bxc 如下列图,就它关于y 轴对称的抛物线的表达式是例 7、已知二次函数y=（m 2）x2（ m3）xm2 的图象过点（ 0,5）（ 1）求 m的值,并写出二次函数的表达式；（2）求出二次函数图象的顶点坐标、对称轴名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 31 页精选

9、学习资料 - - - - - - - - - 例 5、二次函数 y=ax h 2 的图象如图：已知 a= 12, OAOC,试求该抛物线的解析式；例 6、试写出抛物线 y=3x 2经过以下平移后得到的抛物线的解析式并写出对称轴和顶点坐标；（1）右移 2 个单位；（ 2）左移2 3个单位；（3）先左移 1 个单位,再右移4 个单位；y=x23x+5,例 7、把抛物线y=x2+bx+c 的图象向右平移3 个单位,在向下平移2 个单位,所得图象的解析式是试求 b、c 的值；训练题 : 1抛物线 y=4x24 的开口向,当 x= 时, y 有最值, y= ；2当 m= 时, y=（m1）xm 2m3m

10、 是关于 x 的二次函数3抛物线 y=3x2 上两点 A （x, 27）,B（2,y）,就 x= ,y= 4当 m= 时,抛物线 y=（m1）xm2m9 开口向下,对称轴是在对称轴左侧, y 随 x 的增大而在对称轴右侧,y 随 x 的增大而5抛物线 y=3x2 与直线 y=kx 3 的交点为（ 2,b）,就 k= ,b= 6已知抛物线的顶点在原点,对称轴为y 轴,且经过点（1, 2）,就抛物线的表达式为7在同一坐标系中,图象与y=2x2 的图象关于x 轴对称的是（）Dy=x2第 5 页,共 31 页1 Ay= 2x21 2 2 By= 2 x Cy= 2x2 的图象,开口最大的是（）8抛物线

11、, y=4x2,y= 2x名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 1 2 2 2Ay= 4 x By=4x Cy= 2x D无法确定9对于抛物线 y= 3 1x 2 和 y= 3 1x 2 在同一坐标系里的位置,以下说法错误选项（）A两条抛物线关于 x 轴对称 B两条抛物线关于原点对称C两条抛物线关于 y 轴对称 D两条抛物线的交点为原点10二次函数 y=ax 2 与一次函数 y=ax a 在同一坐标系中的图象大致为（）11已知函数 y=ax 2的图象与直线 y=x4 在第一象限内的交点和它与直线 y=x 在第一象限内的交点相同,就a 的值为（

12、）1 1A4 B2 C 2 D 41 512. 已知二次函数 y= 4 x 2 2 x 6,当 x= 时, y 最小= ；当 x 时, y 随 x 的增大而减小13抛物线 y=2x 2 向左平移 1 个单位,再向下平移 3 个单位,得到的抛物线表达式为14如二次函数 y=3x 2+mx3 的对称轴是直线 x1,就 m；15当 n _,m_时,函数 ym nx n mnx 的图象是抛物线,且其顶点在原点,此抛物线的开口 _. 16已知二次函数 y=x 22ax+2a+3,当 a= 时,该函数 y 的最小值为 0. 17. 二次函数 y=3x 26x+5,当 x1 时, y 随 x 的增大而；当

13、x0,b0,c0 B.a0,b0,c=0 C.a0,b0,b0,c 0 Bb -2a Ca-b+c 0 Dc0； a+b+c 0 a-b+c 0 b 2-4ac0 abc 0 ；其中正确的为（ABCD4. 当 bbc,且 a bc0,就它的图象可能是图所示的名师归纳总结 Oy1xy1xy1 xy1 x第 8 页,共 31 页OOOABCD- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 6二次函数yax2bxc 的图象如图5 所示,那么abc,b24ac, 2a b,abc 四个代数式中,值为正数的有 ） A.4 个B.3 个C.2 个D.1 个7. 二次函数 y=a

14、x2bxc 与一次函数y=ax c 在同一坐标系中的图象大致是图中的（8、在同一坐标系中,函数y=axb 2bx 与 y= x的图象大致是图中的（）9. 已知抛物线yax2 bxca 0 的图象如下列图,就以下结论：a,b 同号； 当 x1 和 x 3 时,函数值相同；4ab0; 当 y 2 时, x 的值只能取 0；其中正确的个数是（）A1 B 2 C 3 D4 11. 已知二次函数 yax 2bx c 经过一、三、四象限（不经过原点和其次象限）就直线 yaxbc 不经过（）A第一象限 B 其次象限 C第三象限 D 第四象限12、二次函数yax2bxca0的图象如图,以下判定错误选项（）0）

15、4acAa0Bb0Cc0Db2ax 213 、 二次函数ybxc的图象如下列图,就以下关系式中错误 的是（A a0 y Bc0 Cb24 ac 0 1 O 1 x Dabc0 第 13 题图名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 31 页精选学习资料 - - - - - - - - - 第四讲 二次函数的交点问题学问点： 二次函数与 x 轴、 y 轴的交点的求法：分别令 y=0,x=0 ；二次函数与一次及反比例函数等的相交：联立两个函数表达式,解方程 . 例 1、已知抛物线 yx 2-2x-8 ,（ 1）求证：该抛物线与 x 轴肯定有两个交点,并求出这两个交点的坐标；（ 2）如

16、该抛物线与 x 轴的两个交点为 A、B,且它的顶点为 P,求 ABP的面积例 2、如图,直线 经过 A（3,0）,B（0,3）两点,且与二次函数 y=x 21 的图象, 在第一象限内相交于点 C求：（ 1） AOC 的面积；（ 2）二次函数图象顶点与点A、B 组成的三角形的面积A、B,此抛物线与x 轴的另一个交例 3、. 如图,抛物线yx2bxc 经过直线yx3与坐标轴的两个交点点为 C,抛物线顶点为 D. （1）求此抛物线的解析式；（2）点 P 为抛物线上的一个动点,求使SAPC：SACD5 ：4 的点 P 的坐标；第 10 页,共 31 页名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资

17、料 - - - - - - - - - 例 4、已知抛物线 y=1 x 2+x-52 2（1）用配方法求它的顶点坐标和对称轴（2）如该抛物线与 x 轴的两个交点为 A、B,求线段 AB的长例 5、已知抛物线 y=mx 2（ 32m）xm 2（m 0）与 x 轴有两个不同的交点（ 1）求 m的取值范畴；（ 2）判定点 P（1, 1）是否在抛物线上；（3）当 m=1时,求抛物线的顶点Q及 P 点关于抛物线的对称轴对称的点P 的坐标,并过P 、 Q、P 三点,画出抛物线草图例 6已知二次函数y=x2（ m3）xm的图象是抛物线,如图2-8-10 名师归纳总结 （ 1）试求 m为何值时,抛物线与x 轴

18、的两个交点间的距离是3？MPQ的面积第 11 页,共 31 页（ 2）当 m为何值时,方程x2（ m3） xm=0的两个根均为负数？（ 3）设抛物线的顶点为M,与 x 轴的交点 P、Q,求当 PQ最短时- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 训练题1抛物线 y=a（x 2）（x 5）与 x 轴的交点坐标为6,就它的表达式为2已知抛物线的对称轴是x=1,它与 x 轴交点的距离等于4,它在 y 轴上的截距是3如 a0,b0, c0, 0,那么抛物线 y=ax 2bxc 经过 象限4抛物线 y=x 22x3 的顶点坐标是5如抛物线 y=2x 2（ m3）xm7 的

19、对称轴是 x=1,就 m= 6抛物线 y=2x 2 8xm与 x 轴只有一个交点,就 m= 7已知抛物线 y=ax 2bxc 的系数有 abc=0,就这条抛物线经过点8二次函数 y=kx 23x4 的图象与 x 轴有两个交点,就 k 的取值范畴9抛物线 y=x 22 a xa 2的顶点在直线 y=2 上,就 a 的值是10抛物线 y=3x 25x 与两坐标轴交点的个数为（）A3 个 B 2 个 C1 个 D无a b c11如图 1 所示,函数y=ax2bxc 的图象过（ 1,0）,就bccaab的值是（）11）A 3 B 3 C 2D 212已知二次函数y=ax2bxc 的图象如图2 所示,就

20、以下关系正确选项（A0b1 B 0b2 C 1b2 D b=1 x 轴有两个交点2a2a2a2 a13已知二次函数y=x2mxm2求证：无论m取何实数,抛物线总与14已知二次函数y=x22kx k2k2（ 1）当实数 k 为何值时,图象经过原点？（ 2）当实数 k 在何范畴取值时,函数图象的顶点在第四象限内？名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 31 页精选学习资料 - - - - - - - - - 第五讲 函数解析式的求法例一、已知抛物线上任意三点时,通常设解析式为一般式 y=ax 2+bx+c,然后解三元方程组求解；1已知二次函数的图象经过 A（0,3）、B（1,3）

21、、C（ 1,1）三点,求该二次函数的解析式；2已知抛物线过 A（1,0）和 B（4,0）两点,交 y 轴于 C点且 BC5,求该二次函数的解析式；例二、已知抛物线的顶点坐标,或抛物线上纵坐标相同的两点和抛物线上另一点时,通常设解析式为顶点式y=axh2+k 求解 ；3已知二次函数的图象的顶点坐标为（1, 6）,且经过点（2, 8）,求该二次函数的解析式；4已知二次函数的图象的顶点坐标为（1, 3）,且经过点 P（2, 0）点,求二次函数的解析式；例三、 已知抛物线与轴的交点的坐标时,通常设解析式为交点式y=ax x1x x 2 ；5二次函数的图象经过 A（ 1,0）,B（3,0）,函数有最小值

22、8,求该二次函数的解析式；6抛物线 y=2x 2+bx+c 与 x 轴交于（ 2,0）、（ 3,0）,就该二次函数的解析式；名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 31 页精选学习资料 - - - - - - - - - 例 4、一次函数 y=2x 3,与二次函数y=ax2bx c 的图象交于A（m,5）和 B（3,n）两点,且当x=3 时,抛物线取得最值为9（ 1）求二次函数的表达式；（ 2）在同一坐标系中画出两个函数的图象；（ 3）从图象上观看,x 为何值时,一次函数与二次函数的值都随x 的增大而增大（ 4）当 x 为何值时,一次函数值大于二次函数值？例 5、 某蔬菜基地

23、种植西红柿,由历年市场行情得知,从二月一日起的300 天内,西红柿市场售价与上市时间的关系用图中的一条折线表示,西红柿的种植成本与上市时间关系用图中的抛物线表示（ 1）写出图中表示的市场售价与时间的函数表达式 P=f（ t ）,写出图中表示的种植成本与时间函数表达式 Q=g（t ）；（ 2）认定市场售价减去种植成本为纯收益,问何时上市的西红柿纯收益最大？（注：市场售价和种植成本的单位：元 /10 2kg,时间单位：天）训练题1如抛物线 y=ax 2+bx+c 的顶点坐标为（1, 3）,且与 y=2x 2 的开口大小相同,方向相反,就该二次函数的解析式；第 14 页,共 31 页2抛物线 y=2

24、x2+bx+c 与 x 轴交于（ 1,0 ）、（3,0 ）,就 b,c . 3如抛物线与x 轴交于 2 ,0 、（3,0）,与 y 轴交于 0 ,4 ,就该二次函数的解析式4依据以下条件求关于x 的二次函数的解析式（1）当 x=3 时, y 最小值=1,且图象过（ 0,7）名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （2）图象过点（ 0, 2）（1, 2）且对称轴为直线x=32（3）图象经过（ 0,1）（1,0）（3, 0）（4）当 x=1 时, y=0; x=0 时,y= 2,x=2 时, y=3 （5）抛物线顶点坐标为（1, 2）且通过点（ 1

25、, 10）5当二次函数图象与x 轴交点的横坐标分别是x1= 3,x2=1 时,且与 y 轴交点为（ 0, 2）,求这个二次函数的解析式6已知二次函数y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴交于 2 , 0 、（4,0）,顶点到 x 轴的距离为3,求函数的解析式；7知二次函数图象顶点坐标（3,1 2）且图象过点（2,11 2）,求二次函数解析式及图象与y 轴的交点坐标；8已知二次函数图象与 x 轴交点 2,0, 1,0与 y 轴交点是 0,1求解析式及顶点坐标；9如二次函数y=ax2+bx+c 经过（ 1,0）且图象关于直线x= 1 2对称,那么图象仍必定经过哪一点？10y= x2+2k 1x+2

26、k k2,它的图象经过原点,求解析式与 x 轴交点 O、A 及顶点 C 组成的OAC面积；11抛物线 y= k22x2+m 4kx 的对称轴是直线x=2 ,且它的最低点在直线y= 1 2 x +2 上,求函数解析式；名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页,共 31 页精选学习资料 - - - - - - - - - 第六讲 一元二次函数的应用例 1、某商场销售一批名牌衬衫,平均每天可售出 20 件,每件盈利 40 元为了扩大销售,增加盈利,尽快削减库存,商场打算实行适当的降价措施经调查发觉,假如每件衬衫每降价 1 元,商场平均每天可多售出 2 件（1）如商场平均每天要盈利 120

27、0 元,每件衬衫应降价多少元？（2）每件衬衫降低多少元时,商场平均每天盈利最多？例 2、. 某商场销售某种品牌的纯牛奶,已知进价为每箱40 元,生产厂家要求每箱售价在4070 元之间市场调查发觉：如每箱以 50 元销售,平均每天可销售 90 箱,价格每降低 1 元,平均每天多销售 3 箱,价格每上升 1元,平均每天少销售 3 箱1 写出平均每天销售 y 箱与每箱售价 x 元 之间的函数关系式 注明范畴 2 求出商场平均每天销售这种牛奶的利润 W 元 与每箱牛奶的售价 x 元 之间的二次函数关系式 每箱的利润售价进价 3 求出 2 中二次函数图象的顶点坐标,并求当x40,70 时 W的值在坐标系

28、中画出函数图象的草图4 由函数图象可以看出,当牛奶售价为多少时,平均每天的利润最大？最大利润为多少？例 3、如图 , 在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD,其中 AB和 AD分别在两直角边上. 1. 设矩形的一边AB=xcm,那么 AD边的长度如何表示？.2. 设矩形的面积为ym2, 当 x 取何值时 ,y 的最大值是多少名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页,共 31 页精选学习资料 - - - - - - - - - 训练题：1、y=3x 2-x 2, 当 x 时, y 随 x 的增大而减小,当 x 时, y 有最大值2、周长为 60cm 的矩形,设其一边为 xcm,就当

29、 x=_时,矩形面积最大,为 _. 3、如抛物线的对称轴是 x=3,函数有最小值为 8,且过（ 0,26）,就其解析式为 _. 4、已知边长为 4 的正方形截去一个角后成为五边形 ABCDE（如图）,其中 AF=2,BF=1试在 AB上求一点 P,使矩形 PNDM有最大面积5、启明公司生产某种产品,每件产品成本是 3 元,售价是 4 元,年销售量为 10 万件；为了获得更好的效益,公司预备拿出肯定的资金做广告,依据体会,每年投入的广告费是x（万元）时,产品的年销售量将是原销售量的 y 倍,且yx27x7；假如把利润看作是销售总额减去成本费和广告费,试写出年利润S（万元）与101010广告费 x

30、（万元）的函数关系式,并运算广告是多少万元时,公司获得的年利润最大,最大年利润是多少万元？6、如图,有长为24 米的篱笆,围成中间隔有一道篱笆的长方形的花圃,且花圃的长可借用一段墙体；（墙体的最大可用长度a=10 米）设 AB= xm ,长方形 ABCD 的面积为2 s m（1） 求 S与 x 的函数关系式；（2） 假如要围成面积为 45 平方米更大的花圃,AB 的长是多少米？（3） 能围成面积比 45 平方米更大的花圃吗？假如能,恳求出最大面积,并说明围法；假如不能,请说明理由；7、某通讯器材公司销售一种市场需求较大的新型通讯产品, 已知每件产品的进价40 元,每年销售该产品的总开支（不含进

31、价）总计120 万元,在销售过程中发觉,年销售量y（万名师归纳总结 第 17 页,共 31 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 件）与销售单价 x（元）之间存在着如下列图的一次函数关系；（1） 求 y 关于 x 的函数关系式；（2） 试写出该公司销售该种产品的年获利 z（万元）关于销售单价 x（元）的函数关系式（年获利 =年销售额 -年销售产品总进价-年总开支）,当销售单价 x 为何值时,年获利最大？并求这个最大值；（3） 如公司期望这种产品一年的销售获利不低于40 万元,借助（ 2）中函数的图像,请你帮忙该公司确定销售单价的范畴,在此情形下,要使产品

32、销售量最大你认为销售单价应定为多少元？8、如下列图 ,在直角梯形 ABCD 中,A= D=90 ,截取 AE=BF=DG=x. 已知 AB=6,CD=3,AD=4. 求（1）四边形 CGEF的面积 S 关于 x 的函数表达式和x 的取值范畴 .（ 2）当 x 取何值时,四边形CGEF 的面积 S 取得最小值Dx GCFx BE xA9、已知：如图,在 Rt ABC中, C=90 , BC=4,AC=8,点 D在斜边 AB上, 分别作 DE AC,DFBC,垂足分别为 E、F,得四边形DECF,设 DE=x,DF=y. x 的取值范畴 . A 1用含 y 的代数式表示AE. 2求 y 与 x 之

33、间的函数关系式,并求出3 设四边形 DECF的面积为 S,求出 S 的最大值 . B D E F C 基础练习一名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页,共 31 页精选学习资料 - - - - - - - - - 一、填空题：1. 二次函数 y=x2-2x+1 的对称轴方程是 x=_. 2、对于二次函数,当 x= _ 时, y 有最小值,其值是 _ ；3、把抛物线 向左平移 3 个单位,再向下平移 4 个单位,所得到的抛物线的解析式为 _；4、抛物线 的开口向 _ ,对称轴是 x= _ ,当 x_ 时, y 随 x 的增大而减小；5、抛物线 的对称轴是直线,就 a= _ ；6、抛物线 的顶点是（）,就 a= _ ,c= _ ；7、已知二次函数 的最小值为 1,那么 m的值为 _ . 8、已知二次函数,当 x5 时,y 随 x 增大而增大；当 x5 时, y 随 x 增大而减小,就 a= _ ；9、二次函数 y=x22x+2 的最大值是 _ ；10、一个关于 x 的二次函数, 当 x=2 时取得最小值7, 就这个二次函数图象的开口肯定向 _ ,顶点坐标为 _ ；11、假如二次函数 y=ax2+bx+c 的图象顶点为（2,4 ）且过点（ 3,0 ）,那么 a 的值为 _；1