2022年二次函数全章知识总结及练习.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 一、二次函数概念：（ a二次函数（1） 0）的函数,学习必备欢迎下载开口方向顶点坐标对称轴最值增减性a 的符号一般地,形如, , 是,a0叫做二次函数；这里需要强调：和一元二次方程类似,二次项系数a0,而 b, 可以为零二次函数的取值范畴a0是二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：y2 ax 的性质：最值增减性5yax2bxc 的性质顶点坐标对称轴最值增减性a 的肯定值越大,抛物线的开口越小；a 的符号开口方向a 的符号开口方向顶点坐标对称轴a0a0a0a0三、二次函数的图象与各项系数之间的关系2. yax2c 的性质：顶点坐标对称轴最

2、值增减性1. 二次项系数 a二次函数yax2bxc 中, a 作为二次项系数,明显a0上加下减；开口方向 当a0时,抛物线开口向上,a 的值越大,开口越小,反之a 的值越小,开口越大；a 的符号 当a0时,抛物线开口向下,a 的值越小,开口越小,反之a 的值越大,开口越大a0总结起来, a 打算了抛物线开口的大小和方向,a 的正负打算开口方向,a 的大小打算开口的大小2. 一次项系数 ba0对称轴最值增减性在二次项系数a 确定的前提下,b 打算了抛物线的对称轴第 1 页,共 8 页 在a0的前提下,3. ya xh2的性质：当b0时,b0,即抛物线的对称轴在y 轴左侧；2 a当b0时,b0,即

3、抛物线的对称轴就是y 轴；左加右减；2 aa 的符号开口方向顶点坐标当b0时,b0,即抛物线对称轴在y 轴的右侧2 aa0二次函数（2）a0 在a0的前提下,结论刚好与上述相反,即4. ya xh2k 的性质：当b0时,b0,即抛物线的对称轴在y 轴右侧；2 a上加下减,左加右减；当b0时,b0,即抛物线的对称轴就是y 轴；2 a名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载是一元二次当b0时,b0,即抛物线对称轴在y 轴的左侧y2 a xb x关于 x 轴对称后,得到的解析式是yax2bxc ；2a总结起来,在a 确定的前提下,b打

4、算了抛物线对称轴的位置ya xh2k 关于 x 轴对称后,得到的解析式是ya xh2k ；ab的符号的判定：对称轴xb在 y 轴左边就ab0,在 y 轴的右侧就ab0,2a2. 关于 y 轴对称概括的说就是 “ 左同右异”y2 a xb x关于 y 轴对称后,得到的解析式是yax2bxc；3. 常数项 c 当c0时,抛物线与y 轴的交点在x 轴上方,即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正；ya xh2k 关于 y 轴对称后,得到的解析式是ya xh2k ； 当c0时,抛物线与y 轴的交点为坐标原点,即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； 当c0时,抛物线与y 轴的交点在x 轴下方,即抛物线与y 轴交点的

5、纵坐标为负3. 关于原点对称总结起来,c 打算了抛物线与y 轴交点的位置即抛物线与y 轴交于（ 0, c）；y2 a xb x关于原点对称后,得到的解析式是yax2bxc ；总之,只要a, , 都确定,那么这条抛物线就是唯独确定的四、二次函数图象的平移yax2 h关于原点对称后,得到的解析式是ya xh2k ；1. 平移步骤：方法一：将抛物线解析式转化成顶点式ya xh2k ,确定其顶点坐标h,k；4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180 ）y2 a xb x关于顶点对称后,得到的解析式是yax2bxcb2； 保持抛物线y2 ax 的外形不变,将其顶点平移到h,k处,详细平移方法如下：2

6、 ay=ax2向上 k0【或向下 k0【或左 h0 【或左 h0【或左 h0 【或下 k0【或下 kx 2）并且在x 轴上截得的线段长为 二次函数的图象关于对称轴对称,可利用这一性质,求和已知一点对称的点坐标,或已知与一个交点坐标,可由对称性求出另一个交点坐标. x =_,x =_,函数的解析式为_ 八、函数的应用最大利润问题、抛物线形拱桥问题、最大面积问题九、跟踪练习16. 点A3 ,a在抛物线yx2x2上,就点 A 关于 y 轴的对称点的坐标是_ m24y2xm22m的图象过原点,就m 的值 _ 17. 二次函数二次函数的性质1抛物线 y=3x2+2x 的开口向,对称轴为,顶点坐标为,当

7、x 时,18. 已知二次函数yk24x22xk24k的图象过 ,10 点,就 k_ y 随着 x 的增大而减小,当x= 时,函数有最值为；时,19. 将函数式y1 2x23x5写成ya xh 2k的形式为 _ 2抛物线 y=-1x 2+x-4 的开口向,对称轴为,顶点坐标为,当 x 20. 已知点2,1y,51,y2,11,y3在函数y2x28x7的图象上,就y1,y2,y3的大小4时,35y 随着 x 的增大而增大,当x= 时,函数有最值为；关系为 _ 3抛物线 y=1x2-4x+3 的开口向,对称轴为,顶点坐标为,当 x 二次函数（4）221. 二次函数y1x2x4,函数值 y 随着自变量

8、 x 的增大而减小,就x 的取值范畴 _ y 随着 x 的增大而增大,当x= 时,函数有最值为；24抛物线 y=1+6x-x2 的开口向,对称轴为,顶点坐标为,当 x 时,22. 如2,5、4,5是抛物线上的两点,那么它的对称轴方程是_ y 随着 x 的增大而增大,当x= 时,函数有最值为；23. 二次函数ymx2m23m x1m的图象关于 y 轴对称,就顶点的坐标为_ _ 5.函数 y=2x+12+1,当 x 时, y 随着 x 的增大而减小, 当 x= 时,函数有最值为6. 已知函数ym1 xm2,当 m =_时,是开口向上的二次函数. 24. 二次函数yax2bxc的值永久为负值的条件是

9、_ 7. 函数yx2x1, y 随 x 增大而减小时,x _. 25. 二次函数yx24xm与 x 轴有两个交点,就m 的取值范畴是 _ 8. 二次函数y2x2bxc的顶点坐标为（1,5）,就 b =_, c =_ 26. 抛物线yx2bx8的顶点在 x 轴上,就 b 的值为 _ 9. 当 m =_ 时,抛物线y5x2m24x3的对称轴是 y 轴27. 抛物线yx22m1 xm2与 x 轴有两个交点,就m 的取值范畴是 _ 10. 如抛物线yax216x11的对称轴是直线x3,就a=_ 28. 二次函数ykx22 k1 xk1的图象开口向下,并与x 轴交于不同的两点,就k 范畴 _ 名师归纳总

10、结 29. A,11在抛物线yk21x22k2x1上,就抛物线的对称轴是；第 3 页,共 8 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 如 B 与 A 关于抛物线的对称轴对称,就cB 点的坐标 _ x2时,函数值都相等, 当 x 取学习必备欢迎下载yax2bxc的顶点坐标3 ,2 ,且与 x 轴两交点间的距离为4,求其解析式30二次函数yax2bxca、b、0,当 x 取1x 、2x 1x 1x26. 已知抛物线时,函数值为 _ 确定二次函数的解析式1. 二次函数图像经过1,0 、 3,1 、1,1 三点,求二次函数的解析式7. 当x1时,已知抛物线yax2

11、bxc取最大值是16,且它的图象在x 轴上截得的线段长为8,求函数的解析式2. 抛物线的顶点是,18 ,且过0 ,6 ,求抛物线的解析式8. 已知二次函数yax2bxc二次函数（5）x3与 x 轴、 y 轴的交点, 且过点,11,求这的图象经过一次函数y个二次函数的解析式3. 已知二次函数当x1时有最大值是6,其图像经过点2 ,8 ,求二次函数的解析式9. 抛物线yx2mx1的顶点在一次函数y2x1的图象上,求抛物线的解析式4. 二次函数图象过3 ,0、,23 两点,并且以x1为对称轴,求二次函数的解析式10.yx2bxc的对称轴在 y 轴的右侧, 抛物线与 y 轴交于Q0,3,与 x 轴交点

12、为 A、B,顶点为 P,5. 已知抛物线与x 轴交于A 2 ,0、B,10 两点,并经过点P28,求抛物线的解析式 PAB 的面积是 8,求解析式第 4 页,共 8 页名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 二次函数图象与a、b、c 的关系：学习必备欢迎下载5. 已知二次函数y=ax2+bx+c（a 0）的图象如下列图,有以下6 个结论： abc0； ba+c； 2a+b0, b 2-4ac0； 4a+2b+c0； a+bmam+b ,（m 为不等于1 的任意实数） ；1.二次函数yax2bxc的图象如下列图,以下结论：ab0； c 0；cb2

13、0；其中正确的结论有_. 4a二次函数（6）1 4a1bc 0.其中正确结论的个数是（）2（A ）1（B）2（C）3（D）4 2已知二次函数y=ax2+bx+c （a 0）的图象如下列图,以下有5 个结论： abc0； b a+c；6. 小明从图所示的二次函数yax2bxc的图象中, 观看得出了下面五条信息：c0；abc0；abc0； 2a3 b0；c4 b0,你认为其中正确信息的个数有（）A 2 个B3 个C 4 个D5 个yx14a+2b+c0； 2c3b； a+bm（am+b）（m 1）其中正确的结论有（）32102x7. 已知二次函数yax2bxc 的图象与 x 轴交于点 2 0, 、

14、x , ,且1x 12,与 y 轴的正半轴的3. 已知二次函数yax2bxc的图象如下列图,有以下结论：abc0；abc1；交点在 0 2, 的下方以下结论：4a2 bc0；ab0； 2 ac0； 2ab10其中正确结论的个数是个abc0； 4 a2 bc0；ca1其中全部正确结论的序号是（）1y 1 x AB CDO 1 写出满意条件的函数解析式：4. 已知二次函数y=ax2+bx+c （a 0）的图象如下列图,与y 轴相交一点C,与 x 轴负半轴相交一点A,1已知关于x 的函数同时满意以下三个条件：函数的图象不经过其次象限；且 OA=OC ,有以下 5 个结论：=-2,当x2时,对应的函数

15、值y0； 当x2时,函数值y 随 x 的增大而增大abc0； ba+c； 4a+2b+c0； 2a+b=0； c+1 a你认为符合要求的函数的解析式可以是：（写出一个即可）2将抛物线y2x 沿 x 轴翻折后再平移,使其经过点（21, 3）,那么变换后的抛物线的解析式可以其中正确的结论有名师归纳总结 是（写出一个即可） 3一个 y 关于 x 的函数同时满意两个条件：图象过（2,1 ）点；当x0 时, y 随 x 的增大而减小 . 这个函数解析式为_第 5 页,共 8 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载4有一个二次函数的图象,三位同学分

16、别说出了它的一些特点甲：对称轴是直线x=4；35.已知矩形的周长为二次函数（7）乙：与 x 轴两个交点的横坐标都是整数；36CM ,矩形绕过它的一条边旋转形成一个圆柱,矩形的长,宽各为多少时,旋转形丙：与 y 轴交点的纵坐标也是整数,且以这三个点为顶点的三角形的面积为成的圆柱侧面积最大？二次函数应用专题1用总长为 60m 的篱笆围成矩形场地,矩形面积s 随矩形一边长L 的变化而变化； 当 L 是多少时,场地面积 s 最大？6.一块三角形废料如下列图,A 30, C90,AB 12；用这块废料剪出一个长方形CDEF,其中,2. 如图 ,用一段长为30m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园,墙长为

17、18m,这个矩形的长、宽各为多少点 D、E、F 分别在 AC, AB ,BC 上,要使剪出的长方形CDEF 面积最大,点E 应选在何处？时,菜园的面积最大,最大面积是多少？A18m 墙D7. 如图,点 E、F、G、H分别位于正方形ABCD的四条边上,四边形EFGH也是正方形当点E位于何处时,菜园BC正方形 EFGH的面积最小？DGCHF3分别用定长为L 的线段围成矩形和圆,哪种图形的面积大？为什么？AEB8. 要修建一个圆形喷水池,在池中心竖直安装一根水管,在水管的顶端安一个喷水头,使喷出的抛物线4. 在周长为定值P 得扇形中,当半径是多少时,扇形面积最大？最大面积是多少？形水柱在与池中心的水

18、平距离为1m 处达到最高,高度为3m,水柱落地处离池中心3m,水管应多长？名师归纳总结 9. 下图中是抛物线形拱桥,当水面在时,拱顶离水面2 m, 水面宽 4m, 水面下降 l m. 水面宽度增加多少.第 6 页,共 8 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载10. 某商品现在的售价为每件60 元,每星期可卖出300 件,市场调查反映：每涨价1 元,每星期少卖出对应的函数值1y 、y , 就必值1y ,y 满意 A. 1y0,y 0 B. 1y0,2y0 C.1y0 D.1y0,y 0 2.已知二次函数y=x2x+a a0,当自变量x 取

19、 m 时,其相应的函数值小于0,那么以下结论中正确的是（）A m1的函数值小于0 B m1的函数值大于0 C m1的函数值等于0 D m-1 的函数值与0 的大小关系不确定3 二次函数yax2bx 的图象如图, 如一元二次方程ax2bxm0有实数根,就 m 的最大值为（）10 件；每降价1 元,每星期可多卖出20 件,已知商品的进价为每件40 元,如何定价才能使利润最大？11. 某宾馆有 50 个房间供游客居住,当每个房间定价为每天180 元时,房间会全部住满；当每个房间每A3B3 C6D9 4 二次函数y=ax2+bx+1（ a0）的图象的顶点在第一象限,且过点（1 ,0 ）设 t=a+b+

20、1,就 t值的变化范畴是（）A0t1 B0t 2 C1t 2 D 1t1 5 设二次函数y=x2+bx+c ,当 x 1时,总有 y 0,当 1 x 3时,总有 y 0,那么 c 的取值范畴是 （）A c=3 B c 3C 1 c 3D c 3天的定价增加10 元时,就会有一个房间闲暇,假如游客居住房间,宾馆每间每天需花费20 元的各种费6如 x1,x 2 x1 x2 是方程 x - ax- b = 1a 0 的两实根分别为 , ,就 , 满意（）A. 1 2 B. 1 2 C. 1 2 D. 28. 关于x 的方程a xm 2b0的解是x1= 2, x2=1（ a, m, b 均为常数,a

21、0）,就方程a xm22b0的解是；稍难9. （2022 天津市 3 分）如关于x 的一元二次方程（x2）（x 3）=m有实数根x1, x2,且 x1 x2,有以下1.已知二次函数yx2x1, 当自变量 x 取 m时, 对应的函数值大于0, 当自变量 x 分别取 m-1,m+1 时结论：x1=2,x2=3；m1；54名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 二次函数y=（x x1）（xx2） m的图象与 x 轴交点的坐标为（2, 0）和（ 3,0）学习必备欢迎下载（1）甲、乙两种商品的进货单价各多少元. 其中,正确结论的个数

22、是（）（2）该商店平均每天卖出甲商品500 件和乙商品300 件经调查发觉,甲、乙两种商品零售单价分（A）0 （B）1 （C）2 （D）3 别每降 0.1 元,这两种商品每天可各多销售100 件为了使每天猎取更大的利润,商店打算把甲、乙两种商品的零售单价都下降m 元. 在不考虑其他因素的条件下,当m 定为多少时,才能使商10.已知二次函数 y=ax 2+bx+c（a 0）的图象如下列图,有以下 6 个结论： abc 0；b a+c；2a+b0,b 2-4ac 0；4a+2b+c 0；a+b mam+b,（ m为不等于 1 的任意实数）；其中正确的结论有_. 店每天销售甲、乙两种商品猎取的利润最

23、大？每天的最大利润是多少？211.已知二次函数 y ax bx c 的图象与 x 轴交于点 2 0, 、 x, ,且 1 x 1 2,与 y 轴的正半轴的交点在 0 2, 的下方以下结论： 4 a 2 b c 0； a b 0； 2 a c 0； 2 a b 1 0其中正确结论的个数是 个12.已知二次函数 y=ax2+bx+c （a 0）的图象如下列图,与 y 轴相交一点 C,与 x 轴负半轴相交一点 A,且 OA=OC ,有以下 5 个结论：abc0； ba+c； 4a+2b+c0； 2a+b=0； c+1=-2,a其中正确的结论有14. 某汽车租赁公司拥有20 辆汽车据统计,当每辆车的日

24、租金为400 元时,可全部租出；当每辆车的二次函数（ 9）日租金每增加50 元,未租出的车将增加1 辆；公司平均每日的各项支出共4800 元设公司每日租出工辆车时,日收益为y 元（日收益 =日租金收入一平均每日各项支出）（1）公司每日租出x 辆车时,每辆车的日租金为元（用含 x 的代数式表示） ；13利民商店经销甲、乙两种商品. 现有如下信息 : 信息 3：按零售单价购买（2）当每日租出多少辆时,租赁公司日收益最大？最大是多少元？（3）当每日租出多少辆时,租赁公司的日收益不盈也不亏？信息 1 ：甲、乙两种商品的进货单价之和是5 元；信息 2: 甲商品零售单价比进货单价多1 元,甲商品 3 件和乙商品2 件,乙商品零售单价比进货单价的2 倍少共付了 19 元. 1 元名师归纳总结 请依据以上信息,解答以下问题：第 8 页,共 8 页- - - - - - -