2022年北京四中高中数学高考综合复习专题二十二抛物线.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 一、学习好资料欢迎下载抛物线高中数学高考综合复习专题二十二学问网络二、高考考点1.抛物线定义的应用；2.抛物线的标准方程及其几何性质；焦点、准线方程；3.抛物线的焦点弦引出的问题；4.直线与抛物线相交（或相切）引出的求法或范畴问题；5.抛物线与三角形（或四边形）问题；三、学问要点（一）定义与推论1.定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.定点 F 叫做抛物线的焦点,定直线l叫做抛物线的准线. M 的焦点半径与水平线段（或垂直线段）的等价转换奠定理论基础. 这肯定义为抛物线上任意一点2.推论：抛物线的焦点半径公式

2、名师归纳总结 设为抛物线上任意一点,就第 1 页,共 27 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 设为抛物线学习好资料欢迎下载上任意一点,就其它情形从略；（二）标准方程与几何性质1.标准方程设抛物线的焦点F 到准线 l 的距离为p（焦参数）,就在特定直角坐标系下导出抛物线的标准方程：认知：上述标准方程中的一次项的功能：一次项本身打算抛物线的外形与位置 . 其中,一次项所含变元对应的数轴为对称轴（焦点所在数轴）；一次项系数的符号打算焦点所在半轴（或开口方向） ：系数为正, 焦点在相应的正半轴上（或开口朝着对称轴正向）,反之,焦点在负半轴上（或开口朝着对称轴

3、负向）；一次项系数的肯定值打算抛物线开口大小（外形）：恰等于焦点参数的 2 倍 . 2.几何性质对于抛物线（ 1）范畴：x 轴对称这条抛物线在y 轴右侧,且向右上方和右下方无限延长；（ 2）对称性：关于轴为这条抛物线的轴. 认知：抛物线的准线与其对称轴垂直（抛物线主要共性之一）（ 3）顶点：原点 O（0,0）（抛物线方程为标准方程的必要条件之一）（ 4）离心率：（抛物线主要共性之二）（三）挖掘与引申1.抛物线方程的统一形式（ 1）顶点在原点,以 x 轴为对称轴的抛物线方程为,其焦点参数（一次项系数肯定值的一半）；焦点,准线；名师归纳总结 顶点在原点,以y 轴为对称轴的抛物线方程为第 2 页,共

4、 27 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 焦点,其焦点参数；学习好资料欢迎下载（一次项系数肯定值的一半）；,准线（ 2）顶点在,对称轴垂直y 轴的抛物线方程为：；顶点在,对称轴垂直,其焦点参数x 轴的抛物线方程为：,其焦点参数；2.抛物线的焦点弦设且 PQ 为抛物线的一条经过焦点的弦. （ 1）弦端点同名坐标的关系（课本 P119）（推导上述命题的副产品：（ 2）焦点弦长公式,其中 k 为直线 PQ 的斜率）（）PQ 的倾斜角为（课本 P118 例 3 引申）；（）设直线,就故有：（ 3）的面积公式：；名师归纳总结 - - - - - - -第 3

5、页,共 27 页精选学习资料 - - - - - - - - - （ 4）焦点半径与学习好资料欢迎下载的关系（定值）（ 5）平行与垂直关系的其它定值结论请读者通过课本习题去认知：P123 6,P133 2；（四）直线与抛物线直线与抛物线的位置关系,理论上由直线方程与抛物线方程的联立方程组实解的情形来确定,实践中往往归纳为对相关一元二次方程的判别式 的考察：直线与抛物线交于不同两点直线与抛物线交于一点（相切）或直线平行于抛物线的对称轴；直线与抛物线不相交四、抛物线经典例题例 1、（ 1）抛物线的焦点坐标为；到焦点 F 的距离为5,就抛物线方程为（ 2）已知抛物线顶点在原点,焦点在坐标轴上,抛物线

6、上的点；（ 3）经过抛物线的对称轴上一点作直线 l 与抛物线交于A、B 两点,如A 点纵坐标为,就 B 点纵坐标为 . 分析：（ 1）将抛物线方程化为标准方程切入当时,抛物线标准方程为,此时,焦参数,焦点；当时,抛物线标准方程为,此时,焦参数,焦点综上可知,不论a 的正负如何,总有焦点坐标为. 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 27 页精选学习资料 - - - - - - - - - （2）这里.留意到焦点半径学习好资料欢迎下载在不同标准方程下的不同形式,运用抛物线标准方程的统一形式也不能躲开争论,故而爽直地从标准方程的争论入手；留意到点A 在 x 轴下方,因此,就（）当

7、抛物线焦点在x 轴正半轴上时,设抛物线方程为又点 A 在抛物线上,就由,得：或由得： p=9 或 p=1 抛物线方程为：或,（）当抛物线焦点在x 轴负半轴上时,设抛物线方程为就,且仿（）解得 p=1 或 p=9 抛物线方程为 或（）当抛物线焦点在 y 轴负半轴上时,设抛物线方程为,就,p=4 此时抛物线方程为于是综合（）、（）、（）抛物线方程为或或. （ 3）为推导出其一般性的结论,我们将所给问题定义升级经过抛物线的对称轴上肯定点作抛物线的弦AB ,如设,查找点 A 、B 的同名坐标之间的联系；设弦 AB 所直线方程为x ：由与联立,消去名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共

8、27 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载（）应用上述结论,当a=p,时,由得 B 的纵坐标为 4p 例 2 、已知抛物线,点 A2,3 ,F 为焦点,如抛物线上的动点到A 、F 的距离之和的最小值为,求抛物线方程. 分析：在解析几何中,关于到两个定点的距离之和的最小值（或距离之差的最大值）问题,运用纯代数方法解,导致复杂运算,因而常运用几何方法与相关曲线的定义；解：留意到抛物线开口大小的不确定性（ 1）当点 A 和焦点 F 在抛物线的异侧时,由三角形性质得,解得 p=2 或 p=6 ；留意到p=6 时,抛物线方程为,此时如x=2,就,与点A 所在区域不符合；

9、当p=2 时,抛物线方程为,当 x=2 时,符合此时的情形；,（ 2）当点 A 和焦点 F 在抛物线的同侧时（如图）,作MN 准线 l 于点 N,得,解得名师归纳总结 易验证抛物线符合此时情形；第 6 页,共 27 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载于是综合（ 1）、（ 2）得所求抛物线方程为 或 .点评：求解此题有两大误区：一是不以点 A 所在的不同区域分情形争论,二是在由（1）（或（ 2）导出抛物线方程后不进行检验；事实上,在这里不论是 A 在什么位置,总得 成立,此题进行的检验是必要的 . 例 3、 经过抛物线 的焦点作弦

10、AB. （ 1）如弦 AB 被焦点 F 分成的线段之比为 3：1；求该弦所在直线的方程；（ 2）求证：直线 AB 不会是这条抛物线任意一条弦 CD 的垂直平分线 . 分析：对于比较复杂的抛物线的焦点问题,常采纳对交点坐标“设而不解 ”的策略 . 解：（ 1）设由题意知直线AB 的斜率存在且不为0,设直线AB 方程为将代入 消去 x 得：由韦达定理得：又由题意得（或）由得：将代入解得：所求直线方程为：或；. （ 2）证明：由题意抛物线焦点,准线假设直线AB 为弦 CD 的垂直平分线. 就留意到 C,D 两点在抛物线上名师归纳总结 过 C,D 分别作于 G,于 H 第 7 页,共 27 页- -

11、- - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载就又有 由 、知,即四边形 CDHG 为矩形轴轴这与直线 AB 与抛物线有两个交点冲突；于是可知,直线 AB 不是弦 CD 的垂直平分线；点评：（） 本例（1）的求解特色, 一是利用三角形相像转化已知条件；弦 AB 被焦点 F 分成的线段比为 3：1（或）；二是以 为基础构造并查找出 和 的关系式,从而为利用式制造了条件 . （）对于（2）等否定性命题,经常用反证法证明 .请大家在解题过程中留意领悟和感悟反证法的思路与策略 . 例 4、 如图,已知抛物线 的焦点为 F,直线 l 过定点 A4,0 ,且交抛物

12、线于 P、Q 两点；（ 1）如以 PQ 为直径的圆经过原点,求 p 的值；（ 2）在（ 1）的条件下,如,求动点 R 的轨迹方程；分析：留意到直线 l 过定点 A4,0 ,引入新参数 k,故考虑对 P、Q 坐标 “ 既设又解 ”；解：（ 1）当直线l 不垂直于x 轴时,设直线l 的方程为把代入抛物线方程得由题意：恒成立且 名师归纳总结 第 8 页,共 27 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 由题设得学习好资料欢迎下载、代入得：此时 p=2 当直线 l 垂直于 x 轴时,直线l 的方程为x=4,. 将 x=4 代入抛物线方程得：由得此时亦p=2 于是综

13、合以上争论得p=2. （ 2）解法一（既设又解）：设动点 R 坐标为（ x,y ）,由（ 1）知 p=2,F1,0 由得：由、得：由、消去参数得：当直线 l 垂直于 x 轴时,有,从而点满意. . 因此,所求动点R 的轨迹方程为解法二（设而不解）：由（1）所设得：又两式组合得：时得：,即当留意到得 四边形 PRQF 为平行四边形. 线段 PQ 与 FR 相互平分名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 27 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载设 FR 中点为 M ,由得再留意到 P、Q、M 、A 四点共线由、得：而当时,适合式几何意义,便可导

14、出动点R于是可知,所求动点R 的轨迹方程为. 点评：对于（2）解法一 “既设又解 ”的思路,过程简略,不需认知条件的条件,的几何意义以及 P、Q、M 、A 四点共线的特别性质,解题具有较高的技术含量；例 5、 直线 l 与抛物线 交于 A、B 两点, O 为原点,且有 . （ 1）求证：直线l 恒过肯定点；l 的斜率的取值范畴. （ 2）如,求直线（ 3）设抛物线焦点为F,试问：角能否等于？如能,求出相应的直线l 的方程；如不能,试说明理由；分析： 鉴于问题的复杂性,考虑对A 、B 坐标 “既设又解 ”,留意到大前提有三个小题,故从大前提的认知与延长切入. 解：（ 1）设得,就有由名师归纳总结

15、 留意到这里,由得：,故由得第 10 页,共 27 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料,欢迎下载（）当直线l 与 x 轴不垂直时,设其方程为将其与抛物线方程联立,消去x 得：由题意：且由,得：直线 l 的方程为,可见直线 l 过定点 2,0 ；（）当 轴时可得,直线 l 方程为,亦过定点 2,0 ；综上可得,直线 l 恒过定点 2,0 ；（ 2）由（ 1）得：由 得：所求 k 的取值范畴为（ 3）设,就有又名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 27 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载

16、而由抛物线定义知：,将,代入解得：,这与且冲突；并留意到当轴时,综上可知,；点评：如直线与抛物线交于不同两点A、B,且,就弦 AB 具有与焦点弦相像的性质：（）弦端点同名坐标之积为定值：（）直线AB 经过抛物线的轴上肯定点. 例 6、已知抛物线.设 AB 是抛物线上不重合的两个任意点,且,（O为坐标原点）（ 1）如,求点 M 的坐标；（ 2）试求动点 M 的轨迹方程；分析：留意到这里解题头绪的繁多,故考虑对解：设,就且 . A、B 坐标 “既设又解 ”或“ 解而不设 ”,以 “求解 ” 来化解解题的难度；由得解法一（既设又解）：名师归纳总结 由得第 12 页,共 27 页- - - - - -

17、 -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载又故得 由、得（或）于是再由已知条件得此时点 M 坐标为 4p,0. （ 2）设动点 Mx,y ,就由 得又由得：由、得：整理得：所求动点M 的轨迹方程为,. 解法二（对A 、B 坐标解而不设）：由题意,设直线OA 的方程为就直线 OB ：. 设 Mx,y ,得名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 27 页精选学习资料 - - - - - - - - - 由解得学习好资料欢迎下载由解得由 得（ 1）由 得：,即时,均由得点；当时或（ 2）留意到,由得消去参数 k,得即所求动点M 的轨迹方程为. 点评：

18、（ 1）此题已知条件：,四边形 OAMB为矩形 . （ 2）对解法一、解法二进行比较：（）对交点坐标“解而不设 ”思路简捷,过程明朗,通俗易懂；因此,当直线方程或曲线方程比较简洁时,要留意适时运用这一策略；（）细细品尝,解法一中对 标的 “只设不解 ” 有着明显不同；线方程与曲线方程联立的方程组名师归纳总结 - - - - - - -A、B 坐标的 “既设又解 ”,与前面解决直线与椭圆（或双曲线）相交问题时,对交点坐其中, 前面解决直线与椭圆（或双曲线或抛物线）相交问题时, 设出交点坐标之后,解“ 直”,解题中途运用韦达定理；而此题中设出A、B 坐标之后,解的是“关于所设交点坐标的第 14 页

19、,共 27 页精选学习资料 - - - - - - - - - 等式所成的方程组学习好资料欢迎下载” ,而且是一解究竟,直到解出所设交点坐标,前后的“既设又解 ”,一样说法,两种风情,其中的区分与缘由,需要我们细细品尝；五、高考真题（一）挑选题（ 1）（ 2005 全国卷） 已知双曲线（）的一条准线与抛物线的准线重合,就该双曲线的离心率为（）B. C. D. A. 分析：抛物线的准线为对于双曲线有：由,得：由得于是：,应选 D. （ 2）（ 2004 全国卷） 设抛物线的准线与x 轴交于点Q,如过点Q 的直线 l 与抛物线有公共点,就直线l的斜率的取值范畴为（）C. -1 ,1D. -4 ,4

20、 A. B. -2 ,2分析：抛物线的准线方程为点 Q 坐标为（ -2,0）名师归纳总结 由题意,设直线l 的方程为第 15 页,共 27 页代入得：可知, k=0 符合已知条件；当时,由得- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 由,得应选 C. 学习好资料欢迎下载A 、B 两点,它们的横坐标之和等于5,（ 3）（ 2005 上海卷） 过抛物线的焦点作一条直线与抛物线交于就这样的直线（）C.有无穷多条D.不存在x 轴的对称A.有且只有一条B.有且只有两条分析：抛物线的焦点 F（1,0） . 2,与题意不合,故AB 不垂直于 x 轴,于是由抛物线关于如直线轴,

21、就 A 、B 横坐标之和等于性知,这样的直线有两条,应选 B. （二）解答题1.（2005 全国卷） 设两点在抛物线. 上, l 是 AB 的垂直平分线. （ 1）当且仅当取何值时,直线l 经过抛物线的焦点F？证明你的结论；（ 2）当直线l 的斜率为2 时,求 l 在 y 轴上截距的取值范畴分析：从线段AB 的垂直平分线的性质切入（ 1）直线 l 经过 F 又 l 为弦 AB 的垂线平分线,问题由此可以突破（ 2）以 A、 B 关于直线 l 对称的条件突破难点；解：（ 1）抛物线焦点即,名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页,共 27 页精选学习资料 - - - - - - -

22、- - ,学习好资料F. 欢迎下载即当且仅当时,直线l 经过抛物线的焦点（ 2）设直线l 在 y 轴上的截距为b,就直线 l 的方程为可设直线AB 的方程为代入 得：由题意得：且 又设弦 AB 的中点为,解得：,即：留意到, 由得：由得：即直线 l 在 y 轴上的截距的取值范畴为名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页,共 27 页精选学习资料 - - - - - - - - - 点评：利用学习好资料欢迎下载b 的取值范畴解出的范畴,再利用直线l 经过弦 AB 的中点导出b 与 m 的关系式,就由导出便呼之欲出了；2.（2005 天津卷） 抛物线 C 的方程为,过抛物线C 上一点作

23、斜率为的两条直线分别交抛物线C 于两点（P、A、B 三点互不相同） ,且满意（,且）. 的取值范畴 . （ 1）求抛物线C 的焦点坐标和准线方程；（ 2）设直线AB 上一点 M ,满意,证明：线段PM 的中点在y 轴上；（ 3）当时,如点 P 坐标为（ 1,-1）,求为钝角时,点A 的纵坐标分析：（）对于（2）,为采纳向量的坐标公式,通过直线方程去求解或表示点 A、B 坐标；因此,解（2）由写出斜率为的直线方程切入,从求解 A、B 坐标突破（对 A 、B 坐标既设又解）；（）对于（ 3）,为钝角,故仍从推导 A 、B 以及 入手. 解：（ 1）抛物线方程这里的焦点参数,焦点坐标为,准线方程为（

24、 2）由题设知联立解得直线的方程为与抛物线方程名师归纳总结 当时,第 18 页,共 27 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - ,学习好资料欢迎下载同理,设点 M 坐标为,就由以及、得又,即线段PM 的中点在y 轴上 . （ 3）当 时,由点 P（1,-1）在抛物线上得,. ,由（ 2）得留意到 为钝角而,当时,从而；当时,从而于是综合、得所求 的取值范畴为点评：对于此题而言,第（2）小题的处理至关重要,在这里,利用点P 坐标和斜率,第一建立起直线的方程,而后与抛物线方程联立,导出与的关系式,就获知与的关系式,便一蹴而就,于是再利用题名师归纳总结 第 1

25、9 页,共 27 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载O 的不设条件推导点M 的横坐标与的关系便有八分胜算了；上异于坐标原点3.（ 2005 广东卷） 在平面直线坐标系中,抛物线同两点 A 、B 满意（如图）（ 1）求 的重心 G 的轨迹方程；（ 2）的面积是否存在最小值？如存在,恳求出最小值；如不存在,请说明理由. 的简洁以及重心公式的结构,简洁第一对A、B 坐标 “设而不解 ”；其次是分析：留意到抛物线方程“解而不设 ” .其实,如留意到的表达式,就“解而不设 ” 会更胜一筹；解：（ 1）设直线OA 的方程为OB 的方程为,将其与

26、抛物线方程联立,解得,同懂得得又由,设直线设的重心为,就由三角形重心坐标公式（推导从略）得留意到,由,消去参数 得即所求 的重心 G 的轨迹方程为（ 2）设的面积为S,由得名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页,共 27 页精选学习资料 - - - - - - - - - 当且仅当学习好资料欢迎下载时取等号 . （当且仅当 时取得）的面积存在最小值,且最小值为 1. 点评：对有关直线与曲线的交点“解而不设 ”,使解题的脉胳清楚,前途明朗,解题的技术含量较低；因此,对于方程简洁的抛物线与直线相交问题,应留意适时的运用这一策略；4. （ 2005 江 西 卷 ） 如图 ,设 抛物 线

27、的焦点为 F , 动点P 在直 线上运动,过点P 作抛物线C 的两条切线PA、PB,且与抛物线C 分别相切于 A 、B 两点 . （ 1）求 的重心 G 的轨迹方程；（ 2）证明：分析：留意到这里的 PA 、PB 为切线,并且抛物线方程简洁,故考虑对 A 、B 坐标 “ 设而不解 ” ；对于（ 2）,由于（ 1）中已经设出并表示出 A 、B、P 的坐标,故首选以证明两角的余弦值相等突破；解：（ 1）设切点由得：切线PA 的方程为切线 PB 的方程为P 坐标；由,联立解得点名师归纳总结 设的重心坐标为,第 21 页,共 27 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - -

28、- - 解得：学习好资料欢迎下载即留意到点P 在直线 l 上,代入得：即：所求的重心 G 的轨迹方程为. （ 2）由（ 1）知,又,且,名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页,共 27 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载点评：在此证明习题的过程中,将有关点的坐标或向量的坐标分别代入目标式两边,乃是为了在变形之后暴露出左右两边的相同之处；因此,当目标式两边中有同一量时,可考虑临时保持这一量不变,而领先变化其余部分；“保留相同部分,变形不同部分” ,这是用运算的方法证明等式成立的基本技巧；请同学们在上述解答中品悟这一技巧的应用；5.（2005 山

29、东卷） 已知动圆过定点 且与直线 相切,其中 p0. （ 1）求动圆圆心的轨迹 C 的方程；（ 2）设 A、 B 是轨迹 C 上异于原点 O 的两个不同点,直线 OA 和 OB 的倾斜角分别为 和 ,当 、 变化且 +为定值 时,证明：直线 AB 恒过定点,并求出该定点的坐标；分析：（ 1）定点,直线,得由直线与圆相切的充要条件知,动圆圆心 M 到定直线 l 的距离等于圆的半径,据此,可运用“直接法 ”,也可运用 “定义法 ” 求动圆圆心轨迹方程；A 、B 坐标易解,故可优先挑选对（ 2）留意到这里最终须写出直线AB 的方程,又直线OA 、OB 的方程易求,从而点 A、 B 的坐标“解而不设

30、” ；解：（ 1）设动圆圆心,定点,由动点M 到定点 F 和定直线l 距离相等,且定点不在定直线上M 的轨迹 C 是以定点由抛物线定义知,动点为焦点,直线为准线的抛物线动点 M 的轨迹 C 的方程是：（ 2）设直线OA 的方程为,直线 OB 的方程为,就由,解得：. ,名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页,共 27 页精选学习资料 - - - - - - - - - 由解得：学习好资料欢迎下载（）直线 AB 的斜率： 直线 AB 的方程为：即 留意,由解直线AB 的方程为：即 又留意到这里为定值,由知直线AB 恒过定点（）争论：当时,从而,由直线AB 的方程为,此时直线 AB

31、恒过定点（ 2p,0）当,即时,时,直线,这里不合,于是综合以上争论可知,当AB 恒过定点（ -2p,0）；当时,直线AB 恒过定点点评：运用这一策略解题,其难度在于由到的凑项；当时,为将直线AB 过定点和建名师归纳总结 - - - - - - -第 24 页,共 27 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载立联系,第一在直线 AB 的方程的常数项部分凑出,就前一部分自然随之变为,于是方程摇身一变成为方程,直线 AB 经过的定点便暴露在我们的视野之中了；6.（2004 全国卷） 给定抛物线,F 是 C 的焦点,过点 F 的直线 l 与 C 相交于 A 、B 两

32、点 . （ 1）设 l 的斜率为 1,求 与 夹角的大小；（ 2）设,如,求 l 在 y 轴上截距的变化范畴. 分析：当与的夹角为,以求的值切入；留意到（ 1）的目标与（2）的条件,故考虑对交点A 、B 的坐标 “既设又解 ”,以取 “设” 与“解”的两者之中,简化求解过程；解：（ 1）抛物线C 的焦点 F（1,0）,直线l 的方程为,设,与的夹角为将代入抛物线方程得：由题设知,为这一方程的不等实根,明显成立由违达定理得 由、解名师归纳总结 与夹角的大小为第 25 页,共 27 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （ 2）设直线l 的方程为学习好资料；欢迎下载,由得明显成立且 由题设 得即又由、解得于是将代入 得：解得：当解在4,9 上为增函数即名师归纳总结 - - - - - - -第 26 页,共 27 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载 由得或或因此,直线l 在 y 轴上的截距的取值范畴为导出,是沟通与 A 、B 坐标的点评：对于（2）,利用向量的坐标由联系,进而通过式导出k 与关系；第 27 页,共 27 页名师归纳总结 - - - - - - -