2022年函数单调性和奇偶性专题.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载函数单调性和奇偶性专题一学问点精讲：一、单调性1.函数的单调性定义：一、函数单调性的定义及性质（1）定义对于给定区间I 上的函数 yfx ,假如对任意x x 2fI ,当x 1x ,都有fx 1ffx 2,那么就称 yfx 在区间 I 上是增函数； 当x 1x ,都有x 1fx 2,那么就称 yx在区间 I 上是减函数与之相等价的定义：fx 1f2x 20,或都有,fx 1,fx 2x 20就说f x 在这x 1xfx 1x2,f个区间上是增函数（或减函数）；连线的斜率都大x 1x 2其几何意义为：增（减）函数图象上的任意两点

2、x 1于（或小于） 0；（2）函数的单调区间假如函数 y f x 在某个区间上是增函数 （或减函数） ,就说 f x 在这一区间上具有 （严格的） 单调性, 这一区间叫做该函数的单调区间；如函数是增函数就称区间为增区间,如函数为减函数就称区间为减区间；单调性反映函数的局部性质；一个函数f x 在区间I1,I 上都是增函数,但它在区间I2I 上不肯定是增函数；（3）判定单调函数的方法：定义法,其步骤为：在该区间上任取x 1x ,作差fx 1fx 2、化积、定号；互为反函数的两个函数具有相同的单调性；奇函数在对称的两个区间上具有相同的单调性,反的单调性；而偶函数在对称的两个区间上却有相复合函数单调

3、性的依据：设 y f u , u g x , x a b , u m n 都是单调函数,就y f g x 在 a b 上也是单调函数, 其单调性是 f 与 g 单调性相同就 y f g x 是增函数,单调性相反就 y f g x 是减函数；几个与函数单调性相关的结论：名师归纳总结 （）增函数 +增函数 =增函数；减函数+减函数 =减函数；fx .在区间 D 的任第 1 页,共 12 页（）增函数减函数=增函数；减函数增函数=减函数；假如 yfx 在某个区间D 上是增函数（或减函数）,那么 . y- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载意一个

4、子区间上也是增函数（或减函数）；（4）常见一些函数的单调性：一次函数ykxbk0,当k0时,在,上是增函数；当k0时,在,上是减函数k0时,反比例函数ykk0,当k0时,在,0 和 0,上都是减函数； 当x在,0 和 0,上都是增函数b 2 a,二次函数yax2bxca0,当a0,在,b上是减函数, 在2a上是增函数；当a0,在,b上是增函数,在b,上是减函数2 a2 ayax和当a1时,yax和ylog ax 在其定义域内为增函数,当0a1,ylog ax 在其定义域内为减函数；二、奇偶性f 对 于 函 数fx的 定 义 域 内 任 意 一 个x, 都 有fx fx 或x fx0,就称fx为

5、奇函数 . 奇函数的图象关于原点对称；f 对 于 函 数fx的 定 义 域 内 任 意 一 个x, 都 有fxfx 或x fx0,就称fx为偶函数 . 偶函数的图象关于y轴对称；通常采纳图像或定义判定函数的奇偶性. 具有奇偶性的函数,其定义域原点关于对称（也就是说,函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称）二经典例题剖析：（不带答案版）单调性 : 名师归纳总结 例 1（1）函数 fx|x2|x 的单调减区间是_. 第 2 页,共 12 页（2）函数f x x2的单调区间 _；1变式：（1）函数yx11的单调区间为1,x0（2）设函数 fx0,x0, gx x 2fx1,就函数 gx

6、的递减区间是 _1,x0例 2：（1）函数f x 2x2m1x1在 ,1 上单调递减,就实数m 的范畴 _；（2）函数yxaa0在 2, 上单调递增,就实数a 的范畴 _；x- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 变式：（1）已知函数精品资料欢迎下载a 的取值范畴为fxx 22ax3 在区间 1,2 上具有单调性,就实数_ （2）函数 y=log a（2 ax）在 0,1上是减函数,就例 3设函数 fx定义在实数集上, 它的图象关于直线a 的取值范畴是 _. x1 对称, 且当 x1时,fx3 x1,就f1,f3,f2之间的大小关系是_. 323例 4定义新

7、运算：当ab 时, ab a；当 ab 时, ab b 2,就函数 fx1xx2x,x 2,2的最大值等于 _. 例 5： （1）用定义证明f x x3 xa aR 在 , 上是减函数；,上为增函数,变式： 用定义证明函数f x kk0在 0, 上的单调性；x例 6：已知函数f x x2ax0,常数 aR ）如函数f x 在x2x求 a 的取值范畴变式： 已知函数f x22a1x2在区间4,上是增函数,求实数a 的范畴；例 7： 设函数f x xaab0,判定f x 在其定义域上的单调性；xb例 8：求f x log 3x25x2（a0且a1）的单调区间；例 9：设 a 为实数,函数f x x

8、2|xa|1, xR ,求f x 的最小值奇偶性例 1：判定以下函数的奇偶性：名师归纳总结 （1）f x x31（4）（2）f x |x1|0|x1|（5）f x x x45x25第 3 页,共 12 页x（3）f x x23 xf x x22 , x x0x22 , x x- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载变式： 判定函数的奇偶性y1 , xx0yx21y2 xx3y2x；f x x12x22f x x11xf x x222xx3,xx001xx23,例 2：已知f x 是偶函数,x0时,f x 2x24x ,求x0时f x 的解析

9、式 . 变式： 已知f x 是奇函数,g x 是偶函数,且f x g x x11,求f x 、g x . 例 3：如f x 是偶函数,且在,0 上增函数,又f 30,求f 0的解集；x例 4：（ 1）定义在 1,1上的奇函数f x 是减函数, 解关于 a的不等式：f1af1a20（2）定义在 2,2 上的偶函数f x 在 0,2 上单调递减, 且f1m f m 成立, 求 m 的取值范畴；变式：（1）定义在 1,1上的偶函数, （0,1 ）上为增函数,且f a2f4a20成立,求 a 的取值范畴；（2）定义在 1,1上的奇函数f x 是减函数,且f a2f4a20成立,求 a 的取值范畴；名师

10、归纳总结 例 5：已知函数f x 对任意m nR 都有f mnf m f n 1,并且当x0时, 1；第 4 页,共 12 页（1）求证：f x 在 R 上是增函数； （2）如f34,求满意条件f a2a52的实数 a 的取值范畴；变式：（1）设函数f x 是定义在 R上的奇函数, 且在区间 ,0 上是减函数； 试判定函数f在区间 0, 上的单调性,并赐予证明；x1（2）已知定义在R 上的函数fx满意 fxf x0,且在 ,0上单调递增,假如x20 且 x1x20,就 fx1fx2的取值范畴是_. - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 例 6：已知函数f（

11、x）=x+ p x精品资料欢迎下载+m（p 0）是奇函数,当x 1,2时,求 f（x）的最大值和最小值 . 变式： 设 a 为实数,函数fxx2xa1xR ；（1）争论函数的奇偶性；（2）求函数的最小值三经典例题剖析：（部分带答案版）单调性 : 例 1（1）函数 fx|x2|x 的单调减区间是 _. 2x 2 , x x 2解 由于 fx|x2|x2 结合图象可知函数的单调减区间是 1,2 2 x x , x 2（2）函数 f x 2 的单调区间 _；x 1【分析】对函数 f x 2,是由 y 2向右平移 1 个单位得到,由反比例函数性质得,x 1 x函数在 ,1 和 1, 上单调递增,特殊留

12、意：单调区间不能写成 ,1 1,可举反例说明；【解】,1和1,上单调递增；变式：（1）函数yx11的单调区间为（2）设函数 fx1,x00,x0, gx x 2fx1,就函数 gx的递减区间是 _名师归纳总结 【解析】由题意知1,x011函数图象如下列图,其递减区间是0,1第 5 页,共 12 页x2,xgx0,x1x2,x- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 例 2：（1）函数f x 2x2m1x精品资料欢迎下载m 的范畴 _；1在 ,1 上单调递减,就实数【分析】关于二次函数的单调性,留意看两个方面,即开口方向和对称轴,留意结合二次函数的图像解题 .问

13、题（ 1）中给定了函数在,1 上单调递减,而图象开口向上,因此对称轴m 1 m 1x 应在 ,1 的右边,从而 1 m 3；4 4（2）函数 y x a a 0 在 2, 上单调递增,就实数 a 的范畴 _；x【分析】函数 y x a a 0,由图象可知函数在 x 0 的范畴内,当 x 0, a 递减,当xx a , 递增,由题意在 2, 上单调递增得 a 2 0 a 4；变式：（1）已知函数 fxx 22ax3 在区间 1,2 上具有单调性,就实数 a 的取值范畴为_ 【解析】 函数 fx x2 2ax3 的图象开口向上, 对称轴为直线xa,画出草图如下列图由图象可知,函数在,a和 a, 上

14、都具有单调性,因此要使函数fx在区间 1,2 上具有单调性,只需a1或 a2,从而 a,12, （2）函数 y=log a（2 ax）在 0,1上是减函数,就a 的取值范畴是 _. 【解析】题中隐含a0, 2ax 在 0,1上是减函数. y=log au 应为增函数,且u=2ax 在 0,1上应恒大于零.a1,0.1a2. 2a例 3设函数 fx定义在实数集上, 它的图象关于直线x1 对称, 且当 x1时,fx3 x1,就f1,f3,f2之间的大小关系是_. 323【解析】 由题设知, 当 x1 时,fx单调递减, 当 x1时,fx单调递增, 而 x1 为对称轴,f1f3f2ab 时, ab

15、a；当 ab 时, ab b 2,就函数 fx1xx2323例 4定义新运算：当x,x 2,2的最大值等于 _. 名师归纳总结 【解析】f x x32, 2x1,fx在定义域内都为增函数,所以最大值6；第 6 页,共 12 页x2,1x2,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 例 5：用定义证明f x x3a a精品资料,欢迎下载R 在 上是减函数；【证明】设1x ,x 23 x 1,a,且x 1x ,就xx 2x 12 x 12 x 22x x 2.f x 在,上f x 1f x 23 x 2a 3 x 23 x 1由于2 x 1x2x x2x 1x 2

16、232 x 20,2x 10,f x,所以224就f x 1f x 2x 2x x 20,即f x 1x 12 x 12 x 2是减函数；变式： 用定义证明函数 f x x k k 0 在 0, 上的单调性；x【证明】 设 1x 、x 2 0, ,且 x 1 x ,就k k k kf x 1 f x 2 x 1 x 2 x 1 x 2 x 1 x 2 x 1 x 2x 2 x 1 x 1 x 2 x x 2 k x 1 x 2 k x 1 x 2 k x 1 x 2 ,x x 2 x x 1 2 x x 2又 0 x 1 x ,所以 x 1 x 2 0,x x 2 0,当 1x 、x 2 0,

17、 k 时 x x 2 k 0 f x 1 f x 2 0,此时函数 f x 为减函数；当 1x 、x 2 k , 时 x x 2 k 0 f x 1 f x 2 0,此时函数 f x 为增函数；综上函数 f x x k k 0 在区间 0, k 内为减函数；在区间 k , 内为增函数；x注 由于 x x 2 k 与 0 的大小关系 k 0 不是明确的,因此要分段争论；争论的方法是令2x 1 = x 2 = x ,就 x k ,解得 x k ；例 6：已知函数 f x x 2 a x 0,常数 a R ）如函数 f x 在 x 2, 上为增函数,x求 a 的取值范畴名师归纳总结 【解析】设2x

18、1x2,就第 7 页,共 12 页fx 1fx 22 x 1a2 x 2ax 1x2x x2x 1x 2a,x 1x2x x 2要使函数f x 在x2,上为增函数,必需fx 1fx20恒成立x 1x20,x x 124,仍要x x 2x 1x2a0,即ax x 2x 1x2恒成立又x 1x 24,x x 2x 1x216,所以 a的取值范畴是,16- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 变式： 已知函数f x22a1精品资料欢迎下载a 的范畴；x2在区间4,上是增函数,求实数【答案】a3-化积 -定以上例题都是用定义法判定函数单调性,基本方法是作差号；这种方

19、法思路比较清楚,但通常过程比较繁琐,有时也可以利用函数单调 性的性质来判定其他函数的单调性；例 7： 设函数f x xaab0,判定f x 在其定义域上的单调性；,又xb【解析】 函数f x xa的定义域为 ,bb ,. xb先判定f x 在 b,内的单调性,由题可把f x xa转化为f x 1abxbxbab0故ab0,x1b虽 x 的增大而减小,所以f x 在 b ,上为减函数；内同理可判定f x 在 ,b 内也是减函数； 故函数f x xa在 ,b 和 b,xb是减函数（此题f x 在 ,bb,内也是减函数） ；变式： 已知f 82x2 x ,如g x f22 x,试确定g x 的单调区

20、间和单调性；函数性质法只能借助于我们熟识的单调函数去判定一些函数的单调性,因 此第一把函数等价地转化成我们熟识的单调函数的四就混合运算的形式,然后 利用函数单调性的性质去判定,但有些函数不能化成简洁单调函数四就混合运 算形式就不能采纳这种方法；名师归纳总结 例 8：求f x log 3x25x2（a0且a1）的单调区间；logau 和 内 函 数第 8 页,共 12 页【 解 析 】 由 题 可 得 函 数fx 2 l o g 3x5是 由 外 函 数yu3x25 x2符 合 而 成 ； 由 题 知 函 数f x 的 定 义 域 是, 21,； 内 函 数3u3x25 x2在1 ,3内为增函数

21、,在, 2 内为减函数；f x 在1 3,上是如a1,外函数ylog au 为增函数,由同增异减法就,故函数- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 增函数；函数f x 在精品资料欢迎下载, 2 上是减函数；如 0a1,外函数ylog au 为减函数,由同增异减法就,故函数f x 在1 ,3上是减函数；函数f x 在, 2 上是增函数；小结： 判定复合函数yf g x 的单调性的一般步骤：合理地分解成两个基本初等函数yf u ug x ；分别解出两个基本初等函数的定义域；分别确定单调区间；名师归纳总结 如两个基本初等函数在对应区间上的单调性相同,就yf g x

22、 为增函数,如为一第 9 页,共 12 页增一减,就yf g x 为减函数（同增异减） ；求出相应区间的交集,即是复合函数yf g x 的单调区间；一分二求三定四交同增异减确定区间例 9：设 a 为实数,函数f x x2|xa|1, xR ,求f x 的最小值【解析】 当 xa 时,函数f x x2xa1x12a3,24如a1,就函数f x 在 , a 上单调递减,函数f x 在 , a 上的最小值为2f a a21；如a1,函数f x 在 , a 上的最小值为f13a ,且f 12f a 224当 xa 时,函数f x x2xa1x12a3,24如a1,就函数f x 在 ,上的最小值为f13

23、a ,且f1f a ；2242如a1,就函数f x 在 ,上单调递增,函数f x 在 ,上的最小值2f a a21综上,当a1时,函数f x 的最小值是3a ,当1a1时,函数f x 的最小2422值是2 a1,当a1,函数f x 的最小值是a324- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载奇偶性例 1：判定以下函数的奇偶性：（1）f x x31（4）f x （2）f x 0|x1|x1|x x45x25x（3）f x x23 xx22 , x x0（5）f x x22 , x x变式： 判定函数的奇偶性y1 , xx0yx21y2 xx3y

24、2x0；f x x12x22f x x11xf x x222x3,xx001xx2 x3,例 2：已知f x 是偶函数,x0时,f x 2x24x ,求x0时f x 的解析式 . 变式： 已知f x 是奇函数,g x 是偶函数,且f x g x x11,求f x 、g x . 例 3：如f x 是偶函数,且在,0 上增函数,又f 30,求f 0的解集；x【解析】 3,03, ；例 4：（ 1）定义在 1,1上的奇函数f x 是减函数, 解关于 a的不等式：f1af1a2【解析】不等式可化简为f1af1a2由于函数是奇函数因此af1af a2111a12a00就有11a21, 解得2a0或 0a

25、2, 即1f m 成立, 求 m 的取1aa211a2 不等式 f 1 af 1 a20 的解集是 a| -1 a0 （2）定义在 2,2 上的偶函数f x 在 0,2 上单调递减, 且f1m 值范畴；名师归纳总结 【答案】1m1第 10 页,共 12 页2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载f a2f4a20成立,变式：（1）定义在 1,1上的偶函数, （0,1 ）上为增函数,且求 a 的取值范畴；【答案】3a2或 2a5f a2f4a20成立,求 a 的取值（2）定义在 1,1上的奇函数f x 是减函数,且范畴；点评：函数的单调性和奇

26、偶性结合应用是此类习题的一般解法,但在应用时要特殊留意函数的定义域；例 5：已知函数f x 对任意m nR 都有f mnf m f n 1,并且当x0时, 1；（1）求证：f x 在 R 上是增函数； （2）如f34,求满意条件f a2a52的实数 a 的取值范畴；【解析】（1）设x 1x2,由x2x 10,得f x 2x 11；又f x2f x2x 1x 1f x 2x 1f x 11f x 1,故函数f 在R上是增函数；（2）f3f2f11f1f11f113 12f34,3 124,f12；由f a2a52,得f a2a5f1；依据f x 在 R 上是增函数,可得a2a51,解得3a2；变

27、式（1）设函数f x 是定义在 R 上的奇函数, 且在区间 ,0 上是减函数； 试判定函数f在区间 0, 上的单调性,并赐予证明；x1（2）已知定义在R 上的函数fx满意 fxf x0,且在 ,0上单调递增,假如x20 且 x1x20,就 fx1fx2的取值范畴是 _. 【解析】 由 x1x20 不妨设 x10.x1x20,x1x20.由 fx fx0 知 fx为奇函数又由 fx在,0上单调递增得,fx1 fx2 fx2,所以 fx1fx20. 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 例 6：已知函数f（x）=x+ p

28、 x精品资料欢迎下载+m（p 0）是奇函数,当x 1,2时,求 f（x）的最大值和最小值 . 【解析】 f（x）是奇函数,f（ x）=f（x）, xp x+m= xp xm, 2m=0,m=0. （1）当 p0 时,据定义可证明f（x）在1,2上为增函数 .f（x）max=f（2）=2+p ,2f（x） min=f（1）=1+p. （2）当 p0 时,据定义可证明f（x）在（ 0,p 上是减函数,在p ,+）上是增函数 . 当 p 1,即 0p1 时, f（x）在 1,2上为增函数,f（x） max=f（2）=2+p ,f（x） min=f（1）=1+p. 2当 p 1,2时, f（x）在 1

29、,p上是减函数 .在 p,2上是增函数 . f（x） min=f（p ）=2 p , f（x） max=max f（ 1）,f（2）=max1+ p,2+ p . 2当 1p2时,1+p2+ p ,f（x）max=f（2）；当 2p4时,1+p 2+ p ,f（x）max=f（1）. 2 2当 p 2,即 p4 时, f（x）在 1,2上为减函数,f（x） max=f（1）=1+p,f（x） min=f（2）=2+ p . 2变式：设 a 为实数,函数 f x x 2x a 1 x R ；（1）争论函数的奇偶性；（2）求函数的最小值名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 12 页