2022年双曲线知识点总结及练习题3.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 一、双曲线的定义1 、 第 一 定 义 ： 到 两 个 定 点 F 1 与 F2 的 距 离 之 差 的 绝 对 值 等 于 定 长 （ |F 1F 2|） 的 点 的 轨 迹（PF 1 PF 2 2 a F 1 F 2（ a 为常数）；这两个定点叫双曲线的焦点；要留意两点：（ 1）距离之差的肯定值； （2）2a|F 1F 2|；当|MF 1|MF 2|=2a 时,曲线仅表示焦点F 2 所对应的一支；用其次定义证明比较简洁或两当|MF 1|MF 2|= 2a 时,曲线仅表示焦点F1 所对应的一支；当 2a=|F 1F 2|时,轨迹是始终线上以F

2、 1、F 2 为端点向外的两条射线；边之差小于第三边当 2a|F1F 2|时,动点轨迹不存在；2、其次定义： 动点到肯定点 F 的距离与它到一条定直线l（准线a2）的距离之比是常数 ee1时,这个动c点的轨迹是双曲线；这定点叫做双曲线的焦点,定直线l 叫做双曲线的准线；F |=2c）二、双曲线的标准方程（b2c2a2,其中 |F 1焦点在 x 轴上：x2y21（a0,b0）2 y 项的系数是正数,就焦点在y 轴上； a 不肯定大于a2b2焦点在 y 轴上：y2x21（a0,b0）a2b2（1）假如2 x 项的系数是正数,就焦点在x 轴上；假如b；判定焦点在哪条坐标轴上,不像椭圆似的比较 x2、

3、y2 的分母的大小,而是 x2、y2 的系数的符号,焦点在系数正的那条轴上名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - （2）与双曲线x2y21 共焦点的双曲线系方程是ax2kby2k1a2b222（3）双曲线方程也可设为：x2y21 mn0mn三、双曲线的性质双曲线标准方程（焦点在x 轴）F ,标准方程（焦点在y 轴）F F 1 2）的y2x21 a0 ,b0 x2y21 a0 ,b0a2b2a2b2第肯定义：平面内与两个定点F 的距离的差的肯定值是常数（小于点的轨迹叫双曲线；这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点的距离叫焦距；

4、定义MMF 1MF22a2aF 1 F2yyxxe1时,Py yxF2xF 1F2其次定义：平面内与一个定点Pe ,当F 1F 和一条定直线 l 的距离的比是常数动点的轨迹是双曲线；定点F 叫做双曲线的焦点,定直线叫做双曲线的准线,常数范畴e （e1）叫做双曲线的离心率；PyyxxPyPF2x xF 1F2PF 1xa,yRya,xR对称轴x 轴 , y 轴；实轴长为 2a,虚轴长为 2b对称中心原点O 0,0F 10,cF 20, F 1c ,0F 2 ,0焦点坐标名师归纳总结 焦点在实轴上,ca2b2；焦距：F F 22 c第 2 页,共 17 页- - - - - - -精选学习资料 -

5、 - - - - - - - - 顶点坐标（a ,0） a ,0 0, a , 0, a 离心率准线方程顶点到准线的距离焦点到准线的距离渐近线方程ece1,c2a22 b , e 越大就双曲线开口的开阔度越大axa2ya2cc准线垂直于实轴且在两顶点的内侧；两准线间的距离：2 a2c顶点1A （A ）到准线1l （2l）的距离为aa2c顶点1A （A ）到准线2l （1l ）的距离为a2ac焦点F （F ）到准线1l （2l）的距离为ca2b2cc焦点F （F ）到准线2l（1l ）的距离为a2ccybx虚 ,实2 c , b a和2 c , b axby虚 实aa将右边的常数设为0,即可用解

6、二元二次的方法求出渐近线的解共渐近线的双曲线系x2y22k（k0）y2x2k（k0）方程a2b2a2b2y2x双曲线1与直线 ykxb 的位置关系：2ab2x2y21直线和双曲线的位置利用a2b2转化为一元二次方程用判别式确定；ykxb二次方程二次项系数为零直线与渐近线平行；过双曲线上一点的切相交弦 AB 的弦长AB1k2 x 1x 224 x x 21或利用导数通径：ABy2y 12b2与椭圆一样y yx xax0xy 0y1或利用导数a2b2线a2b2四、双曲线的参数方程：xasec椭圆为xacosybtanybsin五、 弦长公式名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 1

7、7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1、直线被双曲线截得的弦长公式,设直线与椭圆交于AB=1+k2x 1x 1x 2224x x 21+k2x 2A（x 1,y1）B（x2,y2）两点,就1+1y 1y 1y 2224y y2k 为直线斜率k21+1y 2k2提示 解决直线与椭圆的位置关系问题经常利用数形结合法、根与系数的关系、整体代入、设而不求的思想方法；2、通径的定义：过焦点且垂直于实轴的直线与双曲线相交于A 、B 两点,就弦长|AB|2 b2；a3、特殊地,焦点弦的弦长的运算是将焦点弦转化为两条焦半径之和后,利用其次定义求解六、焦半径公式双曲线x2y21（a0,b0）

8、上有一动点Mx 0,y0aF1MyMxyMMxa2b2左焦半径： r= ex+a右焦半径： r= ex-a2|ex 0F 1F2当M x 0,y0在左支上时|MF1|ex 0a ,|MFF2当M x 0,y0在右支上时|MF1|ex 0a ,|MF2|ex 0aa ,左支上肯定值加-号,右支上不用变化双曲线焦点半径公式也可用“ 长加短减” 原就：（与椭圆焦半径不同,椭圆焦半径要带符号运算,而双曲线不带符号）MF1ex0a构成满意MF1MF22aMF2ex0a注：焦半径公式是关于0x 的一次函数,具有单调性,当Mx 0,y0在左支端点时|MF1|c|MF2|ca ,当M x 0,y0在左支端点时

9、|MF 1|ca ,|MF2|ca七、等轴双曲线名师归纳总结 x2y21（a0,b0）当 ab时称双曲线为等轴双曲线第 4 页,共 17 页a2b21； ab；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 2；离心率e2；3；两渐近线相互垂直,分别为2y=x ；0 ；4；等轴双曲线的方程x2y,八、共轭双曲线 以已知双曲线的虚轴为实轴,实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线,通常称它们 互为共轭双曲线；x2y2与x2y2互为共轭双曲线,它们具有共同的渐近线：x2y20. a2b2a2b2a2b2九、点与双曲线的位置关系,直线与双曲线的位置关系 1、点与双曲线点

10、P x 0,y 0在双曲线x2y21 a0,b0的内部2 x 0-2 x 02 y 01代值验证,如x2y21a2b2a2b2点P x 0,y 0在双曲线x2y21 a0,b0的外部2 x 02 y 01a2b2a2b2点P x 0,y 0在双曲线x2y21 a0,b0上2 y 0=1a2b2a2b22、直线与双曲线 代数法：设直线l:ykxm ,双曲线x2y21 a0 ,b0联立解得相a2b2b2a2k2x22a2mkxa2m2a2b20（1）m0时,bkb,直线与双曲线交于两点（左支一个点右支一个点）；a bakb,k,或 k 不存在时,直线与双曲线没有交点；aa（2）m0时,b2a2k2

11、0,kb,直线与双曲线渐近线平行,直线与双曲线相交于一点；k 存在时,如a交名师归纳总结 如b22 a k20, 22 a mk24b22 a k22 a m22 a b22 4 a b2m2b22 a k2第 5 页,共 17 页0时,2 mb22 a k20,直线与双曲线相交于两点；0时,2 mb22 a k20,直线与双曲线相离,没有交点；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 0时m2b22 a k20,k2m22b2直线与双曲线有一个交点；相切ak 不存在,ama 时,直线与双曲线没有交点；ma 或ma直线与双曲线相交于两点；十、双曲线与渐近线的关

12、系1、如双曲线方程为x22My21 a0,b0渐近线方程：x2y2x00yb axa2b2a2b22、如双曲线方程为by22ya bxMFMM（a0,b0）渐近线方程：FF2a2bFyxxy0双曲线可设为x23、如渐近线方程为y2, 0 ；aaba2b2y20 ,焦点在 x 轴上,4、如双曲线与x2yx2（1有公共渐近线,就双曲线的方程可设为a2b2a2b20,焦点在 y 轴上）十一、双曲线与切线方程1、双曲线x a2x2y221 a0,bb0上一点P x 0,y 0处的切线方程是x xy y1；y y1；22 ba22 by1 a0,0外一点P x0,y 0所引两条切线的切点弦方程是x x2

13、、过双曲线22aba2b23、双曲线x a2y21 a0,b0与直线AxByC0相切的条件是2 A a22 B b22 c ；22 b椭圆与双曲线共同点归纳 十二、顶点连线斜率 双曲线一点与两顶点连线的斜率之积为 K 时得到不同的曲线；椭圆参照选修 2-1P41,双曲线参照选修 2-1P55；1、A、B 两点在 X 轴上时名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - 2、A、B 两点在 Y 轴上时十三、面积公式S双曲线上一点P 与双曲线的两个焦点构成的三角形称之为双曲线焦点三角形,PF F 1 2b2 cot2面积公式推导：解

14、：在PF F 中,设F PF2,PF 1r ,PF 2r ,由余弦定理得cosPF12PF22F F222 r 1r22 2y 22PF 1PF 22r r 2P 名师归纳总结 F 1 O F2 x 第 7 页,共 17 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - r 1r 222 r r 1 24 c 22 22 r r 1 24 c 22 r r 1 2 2 r r 1 22 2 2r r 1 2 2 c a rr 1 2 2 br r 1 2 r r 1 22r r 1 2 cos r r 1 2 2 b2即 r r 1 2 2 b,1 cos2S PF

15、 F 1 2 1r r 1 2 sin 1 2 bsin b 2 sin = b 2 cot2 2 1 cos 1 cos 2椭 圆 上 一 点 与 椭 圆 的 两 个 焦 点 F 1 , F 构 成 的 三 角 形 PF F 称 之 为 椭 圆 焦 点 三 角形S PF F 1 2 b 2 tan2面积公式推导解：在 PF F 中,设 F PF 2,PF 1 r ,PF 2 r ,由余弦定理得PF 1 2PF 2 2F F 2 2r 1 2r 2 22 2cos2 PF 1 PF 2 2 r r 2 y P 2 2 2 2 r 1 r 2 2 r r 1 2 4 c 2 2 r r 1 2

16、4 c2 r r 1 2 2 r r 1 2 F 1 O F2 x 2 2 24 a c 2 r r 1 2 2b rr 1 22 r r 1 2 r r 1 2 图 1 2r r 1 2 cos 2 b r r 1 22即 r r 1 2 2 b,1 cos2S PF F 1 2 1r r 1 2 sin 1 2 bsin b 2 sin = b 2 tan2 2 1 cos 1 cos 2十四、 双曲线中点弦的斜率公式 ：名师归纳总结 设M x 0,y0为双曲线x2y21弦 AB （ AB 不平行 y 轴）的中点,就有kABk OMb2第 8 页,共 17 页222aba- - - - -

17、 - -精选学习资料 - - - - - - - - - 证明： 设A x y 1,B x 2,y2,就有kABy 1y 2,x 1 2y 1 21两式相减得：2 ab2x 1x 2x 2 2y 2 212 ab2名师归纳总结 2 x 12 x 22 y 1y20整理得：y 1 2y 2 2b2,即y 1ky 2y 12y 2b2,由于M x 0,y0是弦 AB第 9 页,共 17 页2a2b22 x 12 x 2a2x 1x 2x 1x 2a2的中点,所以kOMky 02y0y 1y2,所以kABOMb2x 02x0x 1x2a椭圆中线弦斜率公式b2ABkOMa2- - - - - - -精

18、选学习资料 - - - - - - - - - 双曲线基础题1 双曲线 2x 2y28 的实轴长是 A 2 B2 2 C4 D4 2 2设集合 Px,y x4y21 2,Q x,y|x2y10 ,记 AP Q,就集合 A 中元素的个数是 A 3 B1 C2 D4 2 23双曲线x 16y 91 的焦点到渐近线的距离为 A 2 B3 C4 D5 4双曲线 y2 7x2 91 的共轭双曲线的离心率是 _才能提升5中心在原点,焦点在 x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点 4, 2,就它的离心率为 6 5A. 6 B. 5 C. 2 D. 26 设双曲线 xa 22y 9 1a0的渐近线方程为 23x2

19、y0,就 a 的值为 A 4 B3 C2 D1 7 从 x my 2n1其中 m,n 1,2,3 所表示的圆锥曲线 2椭圆、双曲线、抛物线 方程中任取一个,就此方程是焦点在 x 轴上的双曲线方程的概率为 1 4 2 3A. 2 B. 7 C. 3 D. 4y 2 28双曲线 6x 31 的渐近线与圆 x 32y2r2r0相切,就 r A. 6 B3 C4 D6 图 K51 1 9如图 K51 1,在等腰梯形 ABCD 中, AB CD 且 AB 2AD,设 DAB, 0, 2,以 A、B 为焦点且过点 D 的双曲线的离心率为 e1,以 C、D 为焦点且过点 A 的椭圆的离心率为 e2,就 e1

20、 e2_. 10已知双曲线 a x 22yb 221a0,b0的右焦点为 F,如过点 F 且倾斜角为 60的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,就此双曲线离心率的取值范畴是 _11已知双曲线 a x 22y b 221a0,b0的一条渐近线方程为 y3x,它的一个焦点为 F6,0,就双曲线的方程为 _1213 分双曲线 C 与椭圆x2 27 y2 361 有相同焦点,且经过点 15,41 求双曲线 C 的方程；2 如 F1,F 2 是双曲线 C 的两个焦点,点P 在双曲线 C 上,且 F 1PF2120,求 F 1PF 2的面积难点突破名师归纳总结 1316 分 已知双曲线xa 2 2y b

21、2 21 和椭圆 x m 2 2 y b 221a0,mb0的离心率互为倒数,那么以a,第 10 页,共 17 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - b,m 为边长的三角形是 A 锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形D锐角三角形或钝角三角形26 分 已知 F 1、F 2 为双曲线 C：x就|PF1| |PF 2| A 2 B4 C6 D8 2y21 的左、 右焦点, 点 P 在双曲线 C 上,且 F1PF 2 60,名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - 双曲线综合训练名师归纳

22、总结 - - - - - - -一、挑选题（本大题共7 小题,每道题5 分,满分 35 分）1动点 P 到点M ,10 及点N,30 的距离之差为2 ,就点 P 的轨迹是（）A 双曲线B双曲线的一支C两条射线D一条射线2设双曲线的半焦距为c ,两条准线间的距离为d ,且cd,那么双曲线的离心率e 等于（）A 2B 3C2D33过双曲线的一个焦点F 作垂直于实轴的弦PQ ,F 是另一焦点,如PF 1Q2,就双曲线的离心率 e等于（）A 21B2C21D224双曲线2 mxy21的虚轴长是 实轴长的 2 倍,就 m（）A1B4C 4D1 445双曲线x2y21 a,b0的左、 右焦点分别为F1,F

23、2,点 P 为该双曲线在第一象限的点, PF1F2a2b2面积为 1,且tanPF 1F21,tanPF2F 12,就该双曲线的方程为（）2A 12x23y21B5x23y21512C3x212y21Dx25y2153126如F 、F 为双曲线x2y21的左、右焦点, O 为坐标原点,点P 在双曲线的左支上,点M 在双a2b2曲线的右准线上,且满意F 1 OPM,OPOF 1OM0,就该双曲线的离心率为（）OF1OMA 2B3C 2D37假如方程x2y21表示曲线 ,就以下椭圆中与该双曲线共焦点的是（）pqA 22 xpy21B2 xpy21qq2 qpC2x2qy21D2x2qy21pqpq

24、二、填空题： （本大题共3 小题, 每道题 5 分,满分 15 分）8双曲线的渐近线方程为x2y0,焦距为 10,这双曲线的方程为_；第 12 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - 9如曲线4x2k1y21表示双曲线,就k 的取值范畴是；k10如双曲线x2y21的渐近线方程为y3x,就双曲线的焦点坐标是_4m2三、解答题： （本 大题共 2 小题,满分30 分）3,4是双曲线的渐近线11. （本小题满分10 分）双曲线与椭圆有共同的焦点F 10,5,F 20,5,点P与椭圆的一个交点,求渐近线与椭圆的方程；12（本小题满分20 分）已知三点P（5,2）、F （ 6,

25、0）、F （6, 0）；名师归纳总结 （1）求以F 、1F 为焦点且过点 2P 的椭圆的标准方程； F 、 F ,求以 F 、 F 为焦点且过点P第 13 页,共 17 页（2）设点 P、F 、F 关于直线 yx 的对称 点分别为 P 、的双曲线的标准方程. - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 【基础热身】1C 解析 双曲线方程可化为 x 4y 281,所以 a24,得 a2,所以 2a4.故实轴长为 24. 2B 解析 由于直线 x2y10 与双曲线x2 4y2 1 的渐近线 y1 2x 平行,所以直线与双曲线只有一个交点,所以集合 A 中只有一个元素

26、应选 B. 2 23B 解析 双曲线x 16y 91 的一个焦点是 5,0,一条渐近线是 3x4y0,由点到直线的距离公式可得 d|3 50| 53.应选 B. 4. 43 解析 双曲线y2 7x2 91 的共轭双曲线是x2 9y2 71,所以 a3,b7,所以 c4,所以离心率 e4 3. 【才能提升】5D 解析 设双曲线的标准方程为 a2y2 b21a0,b0,所以其渐近线方程为 yb ax,由于点 4,2在渐近线上,所以 a1 2.依据 c 2a2b2,可得c2a2 a1 4,解得 e2 5 4,所以 e2,应选 D. 52 26C 解析 依据双曲线x a 2y 91 的渐近线方程得：y

27、3 ax,即 ay3x0.又已知双曲线的渐近线方程为 3x2y0 且 a0,所以有 a 2,应选 C. 7B 解析 如方程表示圆锥曲线,就数组 m,n只有 7 种：2,1,3,1,1,1,2,2,43,3, 2,3,3,2,其中后 4 种对应的方程表示焦点在 x 轴上的双曲线,所以概率为 P7.应选 B. | 2 30|8A 解析 双曲线的渐近线为 y2x,圆心为 3,0,所以半径 r6.应选 A. 391 解析 作 DM AB 于 M,连接 BD,设 AB2,就 DM sin,在 Rt BMD 中,由勾股定理得 BD54cos,所以e1|BD|AD| |AB|54cos1 2,e2|AC|

28、|AD| |CD |54cos1 22cos,所以 e1e21. 102, 解析 依题意, 双曲线的渐近线中,倾斜角的范畴是 60 ,90,所以 batan60 3,即 b23a2,c24a2,所以 e2. 11. x2 9 y2 271 解析 b a3,即 b3a,而 c6,所以 b23a2336 b2,得 b227,a29,所以双曲线的方程为 x2 9 y2 271. 12解答 1 椭圆的焦点为 F10, 3,F 20,3设双曲线的方程为 a2x2 b21,就 a2b2329.又双曲线经过点 15,4,所以16 a 215 b 21,解得 a24,b25 或 a236,b2 27舍去 ,所

29、以所求双曲线 C 的方程为y2 4x2 5 1. 2 由双曲线 C 的方程,知 a 2,b5,c3. 设 |PF 1|m,|PF 2|n,就 |mn|2a4,平方得 m2 2mnn216.在 F 1PF2 中,由余弦定理得 由得 mn20 3,2c2m2n22mncos120 m2n2mn36.名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - 所以F1PF2 的面积为 S1 2mnsin120 53 3 . 【难点突破】名师归纳总结 131B2B解析 1 依题意有a2 b2m 2b21,化简整理得ma2b2m2,应选 B. 第

30、15 页,共 17 页a2 在 F 1PF 2 中,由余弦定理得,cos60 |PF 1|2 |PF2|2|F1F2|2,2|PF 1| |PF 2|PF 1|PF2| 2 |F 1F 2|22|PF 1| |PF 2|,2|PF 1| |PF2|4a24c2 2|PF 1| |PF 2|14b2 2|PF1| |PF 2| 1. 由于 b1,所以 |PF1| |PF2|4.应选 B. - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 一、挑选题1D PMPN2,而MN2,P 在线段 MN 的延长线上2C 2a2c c22 a2,e2c22,e2ca23C PF F

31、是等腰直角三角形,PF 2F F 22 , c PF 12 2 cPF1PF22 , 2 2c2 c2 , a ec1121a24A.5 A【思路分析】 ：设px0y0,就0xy0c31,xy0c2 ,cy 01,2c3 2,x0563,y0203【命题分析】 ：考察圆锥曲线的相关运算6 C【思路分析】 ：由 F1 O PM 知四边形 F1 OMP 是平行四边形,又 OP OF 1OF 1OM 知 OP 平分 F1 OM,即 F1 OMP 是菱形,设 OF1 c,就 PF1 c . OM又 PF 2 PF 1 2 a,PF 2 2 a c,由双曲线的其次定义知：e 2 a c 2 1 ,且 e 1,c ee 2,应选 C . 【命题分析】 ：考查圆锥曲线的第一、二定义及与向量的综合应用,思维的敏捷性 . 7D由题意知 , pq 0 .如 p 0, q 0 ,就双曲线的焦点在 y 轴上 ,而在挑选支 A,C 中,椭 圆的焦点都在 x轴上 ,而挑选支 B,D 不表示椭圆 ; 如 p 0, q 0 ,挑选支 A,C 不表示椭圆 ,双曲线的半焦距平方 c 2p q ,双曲线的焦点在 x 轴