2022年圆锥曲线方程单元知识总结.docx
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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载圆锥曲线方程单元学问总结【学问结构】【命题趋势分析】从近三年高考情形看,圆锥曲线的定义、方程和性质仍是高考考查的重点内容,三年平均占分 20 分,约为全卷分值的13.3%,在题型上一般支配挑选、填空、解答各一道,分别考查三种不同的曲线,而直线与圆锥曲线的位置关系又是考查的重要方面;例 1(20XX 年江苏卷理科第13 题)椭圆5x2ky25的一个焦点是(0,2),就k_ ;解分析此题主要考查椭圆的标准方程,先将其化为标准形式,然后求解;512解椭圆方程即y2x21a25b21,由ca2b251kkk得 k=1;点评由焦点在y
2、轴上, 其标准方程应化为y2x21的形式,如此题变化为:已知1a2b2曲线5x2ky25的焦距为 4,就 k_ ;就应分两种情形争论: (1)如为椭圆, 就 k=1 ;(2)如为双曲线, 方程即为x2y215k名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - a21,由b25学习必备欢迎下载2152,得k5;,由ca2bkk32 2例 2(20XX 年全国卷理科第 14 题)双曲线 x y 1 的两个焦点为 F 1F 2,点 P9 16在双曲线上, 如 PF 1 PF 2,就点 P 到 x 轴的距离为 _ ;分析 此题主要考查双曲
3、线的定义,从“ 形” 的角度看, 只需求出 Rt PF 1F 2 斜边 F 1F 2名师归纳总结 上的高,可用第肯定义求解;从“ 数” 的角度看,只需求出点P 的纵坐标y ,先利用其次第 2 页,共 10 页定义即焦半径公式表示出|PF 1|,|PF2|,由勾股定理求出x ,再代入双曲线方程即可求出y 的值;由于点P 在以F 1F 2为直径的圆上,因此,解决此题一个最基本的方法,就是利用交迹法求出点P;解法一设|PF 1|m|PF 2|n,且由双曲线的对称性不妨设点P 在第一象限, 就mn=2a6 ,m2n24c2100,2 得 2mn=64, mn=32,作 PQ x 轴于 Q,就在RtPF
4、 1F2中,|PQ|mn3216,即点 P 到 x 轴的距离为16 ,5F 1F2105解法二设Px 0,y0x00,y00,由其次定义可得|PF 1|ex 0a2ex 0a,|PF2|ex0a2ex 0a,PF 1PF 2,ccex 0a2ex 0a 24 c2,即e22 x 02c2a2,这里 a=3 c=5 e5,代入得x0341;35由双曲线方程得2 y 016x2 01256,y016;9255解法三设Px0,y 0x 00,y00 ,PF 1PF2点 P 在以F 1F 2为直径的圆上,即- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - x22 y 0学习必
5、备欢迎下载25,又点 P 在双曲线上,016 x 0 29 y 0 2144 ,由,消去 x ,得 2y 0 2 256,y 0 16;25 5点评(1)由双曲线的对称性,可将点 P 设定在第一象限内,而不必考虑全部的情形;(2)解题的目标意识很重要,例如在解法一中只需整体求出 mn 的值,而不必将 m,n解出;在解法三中只需求 y 即可;(3)在三种解法中,以解法三最简洁,因此,最基本的方法有时也是最有效的方法;( 4)假如将问题改为:当F 1PF2为钝角时,点P 的横坐标的取值范畴是_ ;那么, 可先求出访PF 1PF 2时的点 P 的横坐标为x0341,由图形直观及双曲线5的范畴可得,2
6、000 年高考理科第14 题考查了椭圆中与此类似的问题;名师归纳总结 例 3(2000 年全国卷理科第11 题)过抛物线yax2 a0 的焦点 F 作始终线交抛第 3 页,共 10 页物线于 P、Q 两点,如线段PF 与 FQ 的长分别是p、q,就11等于()pqA 2a B1C4a D42 aa分析此题主要考查抛物线的定义与标准方程,可利用焦半径公式来解决;解抛物线方程即x21y,记1m,就 F(0,m),而直线 PQ 的方程可设为x=ka4a(ym),代入抛物线方程x24my得k2y22k22myk2m20,设Px 1,y 1,Qx2,y 2,就y 1y 22 k222 m ,而py 1m
7、,qy2m,ky 1y2m2于是,pqy1y22m2k222m2m4 k221 m,kkpqy1my2m y1y2m y 1y2m24 k221 m2;k故,11pq14 a;pqpqm- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载当 k=0 时,易证结论也成立,因而选 C;点评(1)由于所给抛物线的焦点在 y 轴上,故其焦点是 0,1 ,焦半径公式是4 a| PF | y 1 1,而不能写成 | PF | x 1 1;(2)解题中, 令 1 m 以及将直线 PQ 的4 a 4 a 4 a方程设为 x=k(ym),都是为了简化运算; (3)作为一
8、道挑选题,如此解法明显是不经济的,可以利用上节例 5 中的结论 3 直接得出结果,因此,记住一些重要结论,对提高解题效率无疑是有益的; (4)特例法也是解挑选题的常用的解题方法,此题只需考虑 PQ/x 轴,即为通径的情形,可立刻得出结果;例 4(20XX 年全国卷理科第 19 题)设抛物线 y 2 2 px p 0 的焦点 F,经过点 F的直线交抛物线于 A 、B 两点,点 C 在抛物线的准线上,且 BC/x 轴,证明直线 AC 经过坐标原点 O;分析 本小题主要考查抛物线的概念和性质,直线的方程和性质,运算才能和规律推理才能,证明三点共线,只须证明OC、 OA 两直线的斜率相等,也可利用抛物
9、线的性质证明 AC 与 x 轴的交点 N 恰为 EF 的中点,从而N 与 O 重合,证得结论;,解法一易知焦点Fp,0 ,设直线 AB 的方程是xmyp,代入抛物线方程得22y22p m yp20设A x 1,y 1,Bx2,y 2,就y 1y2p2,即y2p2;y 1因 BC/x 轴,且 C 在准线 1 上,故点Cp,y2,且2 y 12px 1,从而x 1y 122p2从而名师归纳总结 解法二k OCy2p22p,kOAy1y 12p,第 4 页,共 10 页ppy 1y 1x 1y2 1y1222p于是,kOCkOA,从而 A 、O、C 三点共线,即直线AC 经过原点 O;如图,设准线
10、1 交 x 轴于点 E,AD 1 于 D,连 AC 交 EF 于点 N,由 AD/EF/BC ,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 得|EN|CN|学习必备|欢迎下载|AD|BF|,|BF,即|EN|AD|AC|AB|AB| NF | | AF | | AF | | BC |,即 | NF |,| BC | | AB | | AB |又由抛物线的性质可知,|AD|=|AF| , |BC|=|BF|,代入可得 |EN|=|NF| ,即 N 为 EF的中点,于是 N 与点 O 重合,即直线 AC 经过原点 O;点评(1)本例解法一利用曲线的方程争论曲线的性质
11、,充分表达了用坐标法争论几何问题的基本思想,而解法二就充分利用了抛物线的几何性质及相像三角形中的有关学问;( 2)在解法一中,直线 AB 方程的设法值得推崇,从思路分析看,如证 k OC k OC,即证2y 2p x y1 1,将 x y2 1p 代入后即证 y 2p 2y p1,即证 y 1 y 2 p 2,为此应通过直线 AB2 2的方程及抛物线方程 y 2 2 px 联立消去 x 得到关于 y 的一元二次方程, 解法一中的这一设法,既回避了直线方程的变形过程使运算简洁,同时也回避了当AB x 轴的情形的争论,如将 AB 方程设为ykxp,就必需对 k 不存在的情形作出说明; (3)试验修
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