2022年圆锥曲线知识题型总结.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载高二选修 1 圆锥曲线学问点及典型例题总结1. 圆锥曲线的定义：椭圆中 ,与两个定点 F1 ,F 2 的距离的和等于常数 2a,且此 常数 2a 肯定要大于 F 1F 2,当常数等于 F 1F 2 时,轨迹是线段 F 1 F 2,当常数小于 F 1F 2 时,无轨迹；双曲线中 ,与两定点 F 1,F 2 的距离的差的肯定值等于常数 2a ,且此常数 2a 肯定要小于 | F 1F 2 | ,定义中的 “ 肯定值” 与 2a |F 1 F 2 | 不行忽视 ；如2a |F 1F2| ,就轨迹是以 F 1 ,F 2 为端点的两条射

2、线,如 2a |F 1 F 2 | ,就轨迹不存在；如去掉定义中的肯定值就轨迹仅表示双曲线的一支；如（ 1）已知定点 F 1 ,3 0 , F 2 ,3 0 ,在满意以下条件的平面上动点 P 的轨迹 中 是 椭 圆 的 是 APF 1 PF 2 42 2 2 2（2） 双曲线 ：焦点在 x 轴上：x2 y2 =1 ,焦点在 y 轴上：y2 x2a b a b1（a 0, b 0）；2 2如（1）双曲线的离心率等于 5 ,且与椭圆 x y 1 有公共焦点,就该双2 9 4曲线的方程 _ （2）设中心在坐标原点 O,焦点 F 、F 在坐标轴上,离心率 e 2 的双曲线 C 过点 P ,4 10 ,

3、就 C 的方程为 _ BPF1PF26xy62DPF12PF2212y2（3） 抛 物 线 ： 开 口 向 右 时y22p xp0 ,开 口 向 左 时CPF1PF2102px p0,（2）方程x62y2y28表示的曲线是 _x2开 口 向 上 时x22p yp0 ,开 口 向 下 时如已知点Q22,0及抛物线x2上一动点 P（x,y）,就 y+|PQ|的最小2py p0；3. 圆锥曲线焦点位置的判定（第一化成标准方程,然后再判定）：（1） 椭圆 ：由 x 2 , y 2 分母的大小打算,焦点在分母大的坐标轴上；4值是 _ _（2） 双曲线 ：由 x2 , y2 项系数的正负打算,焦点在系数为

4、正的坐标轴上；（3） 抛物线 ：焦点在一次项的坐标轴上,一次项的符号打算焦点详细位2. 圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点,坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）：2 2（1）椭圆 ：焦点在 x 轴上时 x 2 y 2 1（a b 0）a b 2 2 焦点在 y 轴上时 y 2 x 21（a b 0）；a b置及开口方向；特殊提示 ：（1）在求解椭圆、双曲线问题时,第一要判定焦点位置,焦点F 1,F2的位置,是椭圆、双曲线的定位条件,它打算椭圆、双曲线标准方程的类型, 而方程中的两个参数 a b ,确定椭圆、 双曲线的外形和大小,是椭圆、双曲线的定形条件；在求解抛物线问题时,第一要

5、判定开口方向；（2）在椭圆中, a 最大,a 2b 2c ,在双曲线中,2 c 最大,c 2a 2b ；2名师归纳总结 如（ 1）已知方程3x2k2y2k1 表示椭圆,就k的取值范畴为 _ 第 1 页,共 6 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - xa学习必备欢迎下载e2 ,2,就两4. 圆锥曲线的几何性质：（2）双曲线ax2by21的离心率为5 ,就a b = 2 2（ 1 ） 椭 圆 （ 以 x2 y2 1（a bx a , b y b ；焦点：两个焦点ab0） 为 例 ）： 范 围 ：2 2（ 3）设双曲线 x 2 y 2 1（ a0,b0）中,离

6、心率 a b 条渐近线夹角 的取值范畴是 _ c,0；对称性：两条对称轴0,y0,一个对称中心（0,0 ）,四个顶点a ,0,0,b ,其中长轴长2为 2 a ,短轴长为 2b ；准线：两条准线 x a； 离心率：e c,椭c a圆 0 e 1, e越小,椭圆越圆；e 越大,椭圆越扁；2 2如 （ 1 ） 如 椭 圆 x y 1 的 离 心 率 e 10, 就 m 的 值 是 _ 5 m 5_（3） 抛物线 （以 y 22 px p 0 为例）：范畴：x 0, y R ；焦点：一个焦点 p ,0,其中 p 的几何意义是：焦点到准线的距离；2对称性：一条对称轴 y 0,没有对称中心,只有一个顶点

7、（0,0）；名师归纳总结 （2）以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1 时,准线：一条准线xp； 离心率：ec,抛物线e1；2a就椭圆长轴的最小值为_ 如设a,0aR,就抛物线y4ax2的焦点坐标为 _ 5、点P x0,y 0和椭圆x2y21（ab0）的关系 ：x 2（2）双曲线 （以a 2范畴： x a 或xy 2b 2 1a y（a0,b0）为例）：c,0；a2b20 ,当 0（1）点P x 0,y0在椭圆外2 x 02 y 01；a2b2R ；焦点：两个焦点（2）点P x 0,y0在椭圆上x2y21；对称性：两条对称轴x0,y0,一个对称中心（0,0 ）,00a2b2两个

8、顶点 a,0,实轴长为2 a ,虚轴长为2b ,（3）点P x 0,y0在椭圆内2 x 02 y 01特殊 地,当实轴和虚轴的长相等时,称为等轴双曲线,其方程可设为a2b2x2y2k k0；6直线与圆锥曲线的位置关系：离心率：ec,双曲线e1,等轴双曲线e2, e 越小,（1）相交：0直线与椭圆相交；a0直线与双曲线相交,但直线与双曲线相交不肯定有开口越小, e越大,开口越大；两条渐近线：0ybx；直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交且只有一个交点,故a是直线与双曲线相交的充分条件,但不是必要条件；0 ,当直 0 也如（ 1） 双曲线的渐近线方程是3 x2y0直线与抛物线相交,但直线与

9、抛物线相交不肯定有,就该双曲线的离心率等于_ 线与抛物线的对称轴平行时,直线与抛物线相交且只有一个交点,故仅是直线与抛物线相交的充分条件,但不是必要条件；第 2 页,共 6 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载如（ 1）如直线 y=kx+2 与双曲线x 2-y2=6 的右支有两个不同的交点,就k（2） 过点 0,2与双曲线x2y21 有且仅有一个公共点的直线的斜率的的取值范畴是 _；（2）直线 ykx1=0 与椭圆x2y21恒有公共点, 就 m 的取值范916取值范畴为 _ （3） 求椭圆72 x4y228上的点到直线3 x2 y160

10、的最短距离5m围是 _ 2 x（3）过双曲线1 AB 4,就这样的直线有2 y 1 的右焦点直线交双曲线于2_条A、B 两点,如（2）相切：0直线与椭圆相切；0直线与双曲线相切；7. 圆锥曲线上的点P 到焦点 F 的距离 的运算方法 ：0 直线与抛物线相切；（3）相离：0 直线与椭圆相离；0直线与双曲线相离；0直线与抛物线相离；特殊提示 ：（1）直线与双曲线、 抛物线只有一个公共点时的位置关系有两（1） 已知抛物线方程为y28 x,如抛物线上一点到y 轴的距离等于5,种情形：相切和相交；假如直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交,但只有一个交点；假如直线与抛物线的轴平行时,直线与抛物线相

11、交,也只有一就它到抛物线的焦点的距离等于_；个交点；（2）过双曲线 共点的情形如下：2 2x y2 21 外一点 P x 0 , y 0 的直线与双曲线只有一个公a bP 点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时,有两条（2） 如该抛物线上的点M 到焦点的距离是4,就点 M 的坐标为 _ 与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线,共四条； P 点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时,有两条与渐近线平行的直线和只与（3）抛物线y22x上的两点 A、B 到焦点的距离和是5,就线段 AB 的中双曲线一支相切的两条切线,共四条；P 在两条渐近线上但非原点,只有两条：一条是与另一渐近线平行的

12、直线,一条是切线；P 为原点时不存在这样的直线；（3）过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条 切线和一条平行于对称轴的直线；点到 y 轴的距离为 _ 如（ 1）过点24, 作直线与抛物线y28 x只有一个公共点,这样的直线有 _ 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 8.椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形学习必备欢迎下载问题 ：常利用定义和正弦、余弦定理求解；如（ 1）短轴长为5 ,离心率e2的椭圆的两焦点为F 、F ,过F 作9. 弦长公式 ：如直线 ykxb 与圆锥曲线相交于两点A、B,且

13、x x 分3直线交椭圆于A 、B 两点,就ABF 的周长为 _ 别为 A、B 的横坐标,就AB 1k2x 1x 224 x x,如y 1,y 分别为 A、B 的纵（2）设 P 是等轴双曲线x2y2a2a0右支上一点, F1、F2是左右焦坐标,就 AB 11y 1y 224y y 2,特殊地, 抛物线的焦点弦 （过k2点,如PF2F 1F20,|PF1|=6,就该双曲线的方程为焦点的弦）一般不用弦长公式运算,而是将焦点弦用定义转化后求解；过抛物线y 2=4x 的焦点作直线交抛物线于A（x 1,y1）,B（x2,y2）两点,2 2（3）椭圆 x y1 的焦点为 F1、F2,点 P 为椭圆上的动点,

14、 当PF2 PF19 40 时,点 P 的横坐标的取值范畴是如 x1+x 2=6,那么 |AB|等于 _ 10.圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用“ 韦达定理” 或“ 点差法”求解；如（ 1）假如椭圆x2y21弦被点 A（4,2）平分,那么这条弦所在的直369线方程是（4）双曲线的虚轴长为 4,离心率 e6 ,F1、F2 是它的左右焦点,如2过 F1的直线与双曲线的左支交于 A、B 两点,且 AB 是 AF 2 与 BF 2 等差中项,就 AB _（5）已知双曲线的离心率为 2,F1、 F2 是左右焦点, P为双曲线上一点,且F 1PF260,SPF 1F2123求该双曲线的标准方程2

15、2（2）已知直线 y=x+1 与椭圆 x2 y2 1 a b 0 相交于 A、B 两点,a b且线段 AB 的中点在直线 L ：x2y=0 上,就此椭圆的离心率为 _ 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 11.常见结论学习必备欢迎下载再由曲线的定义定义法： 先依据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线,直接写出动点的轨迹方程；（1）以ybx为渐近线（即与双曲线x2y21共渐近线）的双曲线如1 由动点 P 向圆x2y21 作两条切线PA、 PB,切点分别为A、B,a22ab APB=60 0,就动点 P 的轨迹方程为方程为x2

16、y2为参数, 0）；a2b2（2）点 M与点 F4,0 的距离比它到直线l：x50 的距离小于1,就点 M如与双曲线x2y21有共同的渐近线,且过点,323 的双曲线方程916为_ 的轨迹方程是 _ （2）中心在原点,坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为3一动圆与两圆M：x2y21和 N：x2y28x120都外mx2ny21；切,就动圆圆心的轨迹为13动点轨迹方程：相关点法：动点P x y 依靠于另一动点Q x 0,y0的变化而变化,并（1）求轨迹方程的步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的范畴；（2）求轨迹方程的常用方法：且Q x 0,y0又在某已知曲线上,就可先用,x y 的代数式表示x

17、 0,y ,再将直接法：直接利用条件建立x y 之间的关系F x y , 0；x 0,y 代入已知曲线得要求的轨迹方程；如已知动点P 到定点 F1,0 和直线x3的距离之和等于4,求 P 的轨迹如动点 P 是抛物线y2x21上任一点, 定点为A0,1, 点 M在 PA上且方程；待定系数法： 已知所求曲线的类型,求曲线方程先依据条件设出所PM2MA ,就 M的轨迹方程为 _ 求曲线的方程,再由条件确定其待定系数；如线段 AB 过 x 轴正半轴上一点 M （m,0）m 0 ,端点 A 、B 到 x 2m,以 x 轴为对称轴,过 A、O、B 三点作抛物线,就此抛物 轴距离之积为 线方程为名师归纳总结

18、 - - - - - - -第 5 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 例： 椭圆x2y21的左、右焦点分别为学习必备欢迎下载2 y 121x2 1,y2 221x2 2,F1,F2,直线 l 过 F2 与椭圆相交于42（ 2）又A、B 两点, O 为坐标原点 . 22名师归纳总结 （1）当OAOB时,求直线 l 的方程；（ 2）当OA与OB的夹角为120|OA|OB|x 1 2y2x 2 22 ky 2 36k416k216第 6 页,共 6 页12k21时,求直线 l 的斜率 k 的值 . 解：（ 1）F220,设直线l的方程ykx2k210cos 120OAOB36 k24161|OA|OB|416 k22由x22y240 得:12 k2x242k2x42 k240ykx24k21 5 k420 k2120设A x 1,y1,Bx2,y2,就x1x21422,x 1x24102.2 k12k2k5又y 1kx 12,y2kx22,y1y2k2x 1x22k2x1x22 k2又OAx1,y 1,OBx2,y2OAOB,OAOB0,OAOBx1x2y 1y22k2k40 ,122k2.又当k 不存在时,OA 与OB 不垂直.所求直线方程为y2 x2. - - - - - - -