2022年初中数学证明题辅助线典型做法训练一.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 八年级数学培优训练题补形法的应用班级 _ 姓名 _ 分数 _一些几何题的证明或求解,由原图形分析探究,有时显得非常繁难,如通过适当的“ 补形 ” 来进行,即添置适当的帮助线,将原图形填补成一个完整的、特别的、简洁的新图形,就能使原问题的本质得到充分的显示,通过对新图形的分析,使原问题顺当获解；这种方法,我们称之为补形法,它能培育思维才能和解题技巧；我们学过的三角形、特别四边形、圆等都可以作为 如下,以供参考；一、补成三角形1.补成三角形“补形 ” 的对象；现就常见的添补的图形举例例 1.如图 1,已知 E 为梯形 ABCD 的腰 CD 的中点；

2、证明：ABE 的面积等于梯形ABCD 面积的一半；分析：过一顶点和一腰中点作直线,交底的延长线于一点,构造等面积的三角形；这也是梯形中常用的帮助线添法之一；略证：2.补成等腰三角形例 2 如图 2.已知 A90,AB AC , 1 2,CEBD ,求证： BD 2CE 分析：由于角是轴对称图形,角平分线是对称轴,故依据对称性作出帮助线,不难发觉 CF2CE,再证 BD CF 即可；略证：3.补成直角三角形例 3.如图 3,在梯形 ABCD 中, AD BC, B C90,F、 G 分别名师归纳总结 是 AD 、BC 的中点,如BC18,AD 8,求 FG 的长；故延长 BA 、图 3第 1 页

3、,共 4 页分析： 从 B、C 互余, 考虑将它们变为直角三角形的角,CD,要求 FG,需求 PF、 PG；略解：- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 4.补成等边三角形例 4.图 4, ABC 是等边三角形,延长 证明： ECED BC 至 D,延长 BA 至 E,使 AEBD ,连结 CE、ED；分析：要证明 ECED,通常要证 ECD EDC,但难以实现；这样可采用补形法即延长 BD 到 F,使 BF BE ,连结 EF；略证：二、补成特别的四边形1.补成平行四边形例 5.如图 5,四边形 ABCD 中, E、F、G、H 分别是 AB 、CD 、AC

4、 、BD 的中点,并且 E、F、G、H不在同一条直线上,求证：EF 和 GH 相互平分；分析：由于平行四边形的对角线相互平分,故要证结论,需考虑四边形 GEHF 是平行四边形；略证：2.补成矩形例 6.如图 6,四边形 ABCD 中, A 60, B D90,AB 200m,CD 100m,求 AD 、BC的长；分析： 矩形具有很多特别的性质,奇妙地构造矩形,可使问题转化为解直角三角形,于是一些四边形中较难的运算题不难获解；略解：图 6 3.补成菱形名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 4 页精选学习资料 - - - - - - - - - 例 7.如图 7,凸五边形 ABC

5、DE 中, A= B120,EA AB BC2,CD DE4,求其面积分析：延长EA 、CB 交于 P,依据题意易证四边形PCDE 为菱形；略解：图 74.补成正方形例 8.如图 8,在 ABC 中,AD BC 于 D,BAC 45,BD3,DC 2；求 ABC 的面积；分析：此题要想从已知条件直接求出此三角形的面积的确有些困难,假如从题设 BAC 45,AD BC 动身,可以捕获到利用轴对称性质构造一个正方形的信息,那么问题立刻可以获解；略解：图 85.补成梯形例 9如图 9,已知： G 是 ABC 中 BC 边上的中线的中点,L 是 ABC 外的一条直线,自A 、B、1C、G 向 L 作垂

6、线,垂足分别为A1、B1、C1、G1；求证： GG1 42AA 1BB1CC1；分析：此题从已知条件可知,中点多、垂线多特点,联想到构造直角梯形来加以解决比较恰当,故过 D 作 DD 1L 于 D 1,就 DD 1 既是梯形 BB 1C1C 的中位线,又是梯形 DD 1A 1A 的一条底边,因而,可想到运用梯形中位线定理突破,使要证的结论明显地显示出来,从而使问题快速获证；略证：图 9 BD ,三、练习 1、在 ABC 中,AC=BC ,D 是 AC 上一点, 且 AE 垂直 BD 的延长线于E,又 AE=1 2名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 4 页精选学习资料 - -

7、 - - - - - - - 求证： BE 平分 ABC ；2、如图,已知：在ABC 内, BAC=60 , ACB=40 ,P、Q 分别在 BC、CA 上,并且 AP、BQ 分别是 BAC 、 ABC 的角平分线,求证：BQ+AQ=AB+BP A Q B P C 3、已知： BAC=90 ,AB=AC ,AD=DC ,AEBD ,求证： ADB= CDE A D B C E 4、设正三角形ABC 的边长为 2, M 是 AB 边上的中点, P 是 BC 边上的任意一点,PA+PM 的最大值和最小值分别记为S 和,求： S2t2的值；C P A M B 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 4 页