2022年导数与函数的单调性、极值、最值..docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载导数与函数的单调性、极值、最值适用学科高中数学适用年级高中三年级第 1 页,共 36 页适用区域通用课时时长（分钟）60 学问点函数的单调性函数的极值函数的最值教学目标把握函数的单调性求法,会求函数的函数的极值,会求解最值问题,教学重点会利用导数求解函数的单调性,会求解函数的最值；教学难点娴熟把握函数的单调性、极值、最值的求法,以及分类争论思想的应用；名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载教学过程一、课堂导入2问题：判定函数的单调性有哪些方法？比如判定 y

2、x 的单调性,如何进行？由于二次函数的图像我们特别熟识 ,可以画出其图像,指出其单调区间,再想一下,有没有需要留意的地方？假如遇到函数 y x 33 x,如何判定单调性呢？你能画出该函数的图像吗？定义是解决问题的最根本方法,但定义法较繁琐,又不能画出它的图像,那该如何解决呢？名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 36 页精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载二、复习预习函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型,争论函数时,明白函数的增与减、增减的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是特别重要的通过争论函数的这些性质,我们可以对数量的变化规律有一个

3、基本的明白函数的单调性与函数的导数一样都是反映函数变化情形的,那么函数的单调性与函数的导数是否有着某种内在的联系呢. 第 3 页,共 36 页名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载三、学问讲解考点 1 利用导数争论函数的单调性假如在某个区间内,函数 yfx的导数 fx0,就在这个区间上,函数 yfx是增加的；假如在某个区间内,函数 yfx的导数 fx0,e xa0,e xa,xln a. 因此 当 a0 时, fx的单调增区间为 R,当 a0 时, fx的单调增区间是 ln a, 2fxe xa0 在2,3上恒成立 ae x

4、 在 x2,3上恒成立又2x3,e2e xe 3,只需 ae 3.当 ae 3 时, ffx0,函数 fx1 2x 2a1xa1ln x1求曲线 yfx在2,f2处与直线 y x 1 垂直的切线方程；2求函数 fx的极值名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 36 页精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载【规范解答】 1由已知,得 x0,fxxa1a x,yfx在2,f2处切线的斜率为 1,所以 f21,即 2a1a 21, 所以 a0,此时 f2220,故所求的切线方程为 yx2. 2fxxa1a xx 2 a1 xaxx1 xax . 当 0a

5、0,函数 fx单调递增；如 xa,1,fx0,函数 fx单调递增此时 xa 是 fx的极大值点, x1 是 fx的微小值点,名师归纳总结 - - - - - - -函数 fx的极大值是 fa1 2a 2aln a,微小值是 f11 2. 当 a1 时,fxx12fx没有极值点,故无极值0,所以函数 fx在定义域 0,内单调递增,此时x当 a1 时,如 x0,1,fx0,函数 fx单调递增； 如 x1,a,fx0,函数 fx单调递增此时 x1 是 fx的极大值点, xa 是 fx的微小值点,函数 fx的极大值是 f11 2,微小值是 fa1 2a 2aln a. 综上,当 0a1 时, fx的极

6、大值是 1 2,微小值是 1 2a 2aln a. 【总结与反思】1 导函数的零点并不肯定就是函数的极值点所以在求出导函数的零点后肯定要留意分析这个零点是不是函数的极值点2如函数 yfx在区间 a,b内有极值,那么 yfx在a,b内绝不是单调函数,即在某区间上单调函数没有极值名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 36 页精选学习资料 - - - - - - - - - 考点三利用导数求函数的最值精品资料欢迎下载例 3 已知函数 fxax 21a0,gxx 3bx. 1如曲线 yfx与曲线 ygx在它们的交点 1,c处具有公共切线,求 a,b 的值；2当 a3,b 9 时,如

7、函数 fxgx在区间 k,2上的最大值为 28,求 k 的取值范畴名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 36 页精选学习资料 - - - - - - - - - 【规范解答】1fx2ax,g精品资料欢迎下载x3x 2b. 由于曲线 yfx与曲线 ygx在它们的交点 1,c处具有公共切线,所以 f1g1且 f1g1,即 a11b 且 2a3b,解得 a3,b3. 2记 hxfxgx,当 a3,b9 时, hxx 33x 29x1,所以 hx3x 26x9. 令 hx0,得 x1 3,x21. hx,hx在,2上的变化情形如下表所示：,x 3 3,1 1 1,2 2 3hx00

8、3 hx284由表可知当 k3 时,函数 hx在区间 k,2上的最大值为 28 ；当3k1,就 fx的单调减区间为 _第 14 页,共 36 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 【答案】2,2a 精品资料欢迎下载【规范解答】 fxx 221ax4ax2x2a,由 a1 知,当 x0,故 fx在区间 ,2上是增函数；当 2x2a 时, fx2a 时,fx0,故 fx在区间 2a, 上是增函数名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页,共 36 页精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载综上,当 a1 时,fx在区间

9、,2和2a, 上是增函数,在区间 2,2a上是减函数2已知 a0,函数 fxx 3ax 在1, 上是单调递增函数,就a 的取值范畴是 _名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页,共 36 页精选学习资料 - - - - - - - - - 【答案】0,3 精品资料欢迎下载【规范解答】fx3x 2a,fx在1, 上是单调递增函数,fx0,a3x 2,a3. 又 a0,可知 00,知 ax 22ax10 在 R 上恒成立,即 4a 24a4aa10,由此并结合 a0,知 0a1. 所以 a 的取值范畴为 a|00,由 fx0 得 x1 e,名师归纳总结 - - - - - - -第 2

10、1 页,共 36 页精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载所以 fx在区间 0,1 e上单调递减,在区间 1 e, 上单调递增所以, x1 e是函数 fx的微小值点,极大值点不存在2gxxln xax1,就 gxln x1a,由 gx0,得 xe a1,所以,在区间 0,e a1上,gx为递减函数,在区间 e a1,上, gx为递增函数当 e a11,即 a1 时,在区间 1,e上, gx为递增函数,所以 gx的最小值为 g10. 当 1e a1e,即 1a2 时,gx的最小值为 ge a1ae a1. 当 e a1e,即 a2 时,在区间 1,e上, gx为递减

11、函数,所以 gx的最小值为 geaeae. 综上,当 a1 时,gx的最小值为 0；名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页,共 36 页精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载当 1a2 时,gx的最小值为 ae a1；当 a2 时,gx的最小值为 aeae. 【巩固】1、已知函数 fxx ke x. 1求 fx的单调区间；2求 fx在区间 0,1 上的最小值名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页,共 36 页精选学习资料 - - - - - - - - - 【规范解答】 1由题意知 fxxk1e x. 令 f精品资料欢迎下载x0,得 x

12、k1. fx与 fx的情形如下：x ,k1k1k1, 0fxfxe k1所以, fx的单调递减区间是 ,k1；单调递增区间是 k1, 2当 k10,即 k1 时,fx在0,1 上单调递增,所以 fx在区间 0,1上的最小值为 f0 k；当 0k11,即 1k2 时,名师归纳总结 - - - - - - -第 24 页,共 36 页精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载fx在0,k1上单调递减,在 k1,1上单调递增,所以 fx在区间 0,1上的最小值为 fk1 e k1；当 k11,即 k2 时, fx在0,1上单调递减,所以 fx在区间 0,1上的最小值为 f1

13、1ke. 综上,当 k1 时,fx在0,1 上的最小值为 f0 k；当 1k2 时, fx在0,1 上的最小值为 fk1e k1；当 k2 时,fx在0,1 上的最小值为 f11ke. 2 设函数 fx1 2x 29ln x 在区间 a1,a1上单调递减,就实数a 的取值范畴是 第 25 页,共 36 页A1a2 Ba4 Ca2 D00,当 x9 x0 时,有 00 且 a13,解得 10 时,由于二次函数yax 2a1xa 的图像开口向上,而 f0 a0,所以需 f1a1e0,即 0a1；当 a1 时,对于任意 x0,1,有 fxx 21e x0,且只在 x1 时 fx0,fx符合条件；当

14、a0 时,对于任意 x0,1,fxxe x0,且只在 x0 时, fx0,fx符合条件；当 a0,fx不符合条件故 a 的取值范畴为 0a1. - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载2因 gx2ax1ae x,gx2ax1ae x,当 a0 时, gxe x0,gx在 x0 处取得最小值 g01,在 x1 处取得最大值 g1e. 当 a1 时,对于任意 x0,1 有 g在 x1 处取得最小值 g10. x2xe x0,gx在 x0 处取得最大值 g02,当 0a0. 如1a 2a1,即 0a1 3时, gx在0,1上单调递增,gx在 x0

15、 处取得最小值 g01a,在 x1 处取得最大值 g11ae. 名师归纳总结 当1a 2a 1,即 1 3a1 时, gx在 x1a 1a 1a2a处取得最大值 g 2a 2ae 2a,第 34 页,共 36 页在 x0 或 x1 处取得最小值,而g01a,g11ae,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载e1由 g0g11a1ae1ea1e0,得 a. e1就当1 3ae1e1 时,g0g10,gx在 x0 处取得最小值 g01a；e1当 a0,e1gx在 x1 处取得最小值 g11ae. 课程小结1、利用导数争论函数的单调性假如在某个

16、区间内,函数yfx的导数 fx0,就在这个区间上,函数yfx是增加的；假如在某个区间内,函第 35 页,共 36 页数 yfx的导数 fx0,就在这个区间上,函数yfx是削减的2、利用导数求函数的极值:名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载1求出导数 fx；2解方程 fx0；3对于 fx0 的每一个解 x0：如 fx在 x0 两侧的符号“ 左正右负” ,就 x0 为极大值点；如 fx在 x0 两侧的符号“ 左负右正” ,就 x0 为微小值点；如 fx在 x0 两侧的符号相同,就 x0 不是极值点3、利用导数求函数的最值1在闭区间 a,b上连续的函数 fx在a,b上必有最大值与最小值2设函数 fx在a,b上连续,在 a,b内可导,求 fx在 a,b上的最大值和最小值的步骤如下：求 fx在a,b内的极值；将 fx的各极值与 fa,fb进行比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值名师归纳总结 - - - - - - -第 36 页,共 36 页