2022年届一轮复习人教版二项式定理学案.docx

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1、名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -第 3 节 二项式定理考试要求 1.能用多项式运算法就和计数原理证明二项式定理；2.会用二项式定懂得决与二项绽开式有关的简洁问题 . 知 识 梳 理1.二项式定理1二项式定理： ab nC 0na nC 1na n1b C rna nrb r C nnb nnN *；2通项公式： Tr1Crnanrbr,它表示第 r1 项；3二项式系数：二项绽开式中各项的系数 2.二项式系数的性质C0n,C1n, , Cnn. 性质 对称性增减性二项式 系数最 大值性质描述与首末等距离的两个二项式系数相等,即Ck nC nk

2、n二项式当 kn1 2 nN*时,是递增的系数 Ckn当 kn1 2 nN*时,是递减的n当 n 为偶数时,中间的一项Cn取得最大值n1n1当 n 为奇数时,中间的两项Cn2与Cn2取得最大值3.各二项式系数和1ab n 绽开式的各二项式系数和：C0nC 1nC 2n C nn2 n. 2偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和,即 C 0nC 2nC 4nC1nC 3nC 5n 2 n1. 微点提示 ab n 的绽开式形式上的特点1项数为 n1. 2各项的次数都等于二项式的幂指数n,即 a 与 b 的指数的和为 n. 3字母 a 按降幂排列,从第一项开头,次数由n 逐项减 1 直到零

3、；字母 b 按升 第 1 页,共 14 页 - - - - - - - - - 幂排列,从第一项起,次数由零逐项增1 直到 n. 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -4二项式的系数从 C 0n,C 1n,始终到 C n1n,C nn. 基 础 自 测1.判定以下结论正误 在括号内打“ ” 或“ ” 1C kna nkb k 是二项绽开式的第 k 项. 2二项绽开式中,系数最大的项为中间一项或中间两项 . 3ab n 的绽开式中某一项的二项式系数与 a,b 无关

4、 . 4ab n 某项的系数是该项中非字母因数部分,包括符号等,与该项的二项式系数不同 . 解析 二项式绽开式中 Ckna nkb k 是第 k1 项,二项式系数最大的项为中间一项或中间两项,故 12均不正确 . 答案1234 2.选修 23P31T4 改编 xyn的二项绽开式中,第m 项的系数是 A.Cm nB.C m1 nC.C m1nD.1 m1C m1n解析xyn绽开式中第 m 项的系数为 Cm11 m1. 答案D 3.选修 23P35 练习 A13改编C C 02 018C 0 2 019C 2 019C22 018C 1 2 2 019 C42 018 C 2 0192 0192

5、018的值为 A.2 B.4 C.2 019 D.2 018 2 019 解析原式22 019 2 2 01812 24. 答案B 4.2022 全国卷 x22 x5的绽开式中 x4的系数为 A.10 B.20 C.40 D.80 第 2 页,共 14 页 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -解析Tr1C r5x 25r2 xrC r52 rx 103r,由 103r4,得 r2,所以 x 4的系数为C25 2240. 答

6、案 C 5.2022 东营调研 已知 x1 10a1a2xa3x 2 a11x 10.如数列 a1,a2,a3, ,ak1k11,kN是一个递增数列,就 k 的最大值是 A.5 B.6 C.7 D.8 解析 由二项式定理知, anC 10 n1,2,3, ,11. 又x110绽开式中二项式系数最大项是第 6 项,所以 a6C 510,就 k 的最大值为 6. 答案 B 836.2022 浙江卷 二项式 x1 2x 的绽开式的常数项是 _. 解析 该二项绽开式的通项公式为 Tr1C r8x 8r3 2x 1 rCr81 2 rx 84r3 .令 84r30,解21得 r2,所以所求常数项为 C2

7、827. 答案 7 考点一 通项公式及其应用 多维探究角度 1求二项绽开式中的特定项 第 3 页,共 14 页 - - - - - - - - - 【例1 1】 12022 北京海淀区二模x2112x5的绽开式的常数项是 A.5 B.10 C.32 D.42 23x1 310_. 的绽开式中全部的有理项为2x解析1由于1 x2515rr52rCr52rx 2,的通项为 Cr5x细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -故x21 1 x25的绽开式的常数项是C152C

8、 552 5 42. 2二项绽开式的通项公式为Tk1Ck10 1 2k 102kx 3. 由题意102k 3Z,且 0k10,kN. 令102k 3rrZ,就 102k3r,k53 2r,kN,r 应为偶数 . r 可取 2,0, 2,即 k 可取 2,5,8,第 3 项,第 6 项与第 9 项为有理项,它们分别为45 4 x 2,63 8, 45 256x2. 答案 1D 245 4 x 2,63 8, 45 256x2规律方法 求二项绽开式中的特定项, 一般是化简通项公式后, 令字母的指数符合要求 求常数项时,指数为零；求有理项时,指数为整数等 ,解出项数 r1,代回通项公式即可 . 角度

9、 2 求二项绽开式中特定项的系数【例 12】 1多项式是积的形式 2022 全国 卷 11 x 2 1x 6 的绽开式中 x2的系数为 A.15 B.20 C.30 D.35 2多项式是和的形式 已知 1ax31x5的绽开式中含 x3的系数为 2,就 a等于 第 4 页,共 14 页 - - - - - - - - - A.23 B.2 C.2 D.1 3三项绽开式问题 x 2xy5的绽开式中, x5y 2的系数为 A.10 B.20 C.30 D.60 解析1由于1x6的通项为 Cr6x r,所以 11 x 2 1x6绽开式中含 x2的项为 1C26x 2 和1 x 2C 46x 4,细心整

10、理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -由于 C26C 462C 2626 5 2 130,所以 11 x 2 1x 6 绽开式中 x 2 的系数为 30. 21ax 31x5 的绽开式中 x3 的系数为 C3 3a 3C3 51 3a3102,就 a38,解得 a2. 3法一 x 2xy5x2xy 5,含 y2的项为 T3C25x2x3y2. 其中 x2x3中含 x5的项为 C13x 4xC 13x 5. 所以 x5y 2的系数为 C25C 1330. 法二 x2xy

11、5表示 5 个 x2xy 之积 . x5y 2 可从其中 5 个因式中,两个取因式中x2,剩余的 3 个因式中 1 个取 x,其余因式取 y,因此 x5y 2 的系数为 C25C 13C 2230. 答案 1C 2B 3C 规律方法 1.求几个多项式和的特定项：先分别求出每一个多项式中的特定项,再合并,通常要用到方程或不等式的学问求解 . 2.求几个多项式积的特定项：可先分别化简或绽开为多项式和的形式,再分类考虑特定项产生的每一种情形,求出相应的特定项,最终进行合并即可 . 3.三项绽开式特定项： 1通常将三项式转化为二项式积的形式,然后利用多项式积的绽开式中的特定项 系数问题的处理方法求解；

12、 2将其中某两项看成一个整体,直接利用二项式绽开,然后再分类考虑特定项产生的全部可能情形 . 【训练 1】 12022 全国 卷改编 xy2xy5的绽开式中 x3y 3 的系数为_. 2在13x7xa x6 第 5 页,共 14 页 - - - - - - - - - 的绽开式中,如 x2的系数为 19,就 a_. 解析1由二项式定理可得,绽开式中含x3y3的项为xC352x2y3yC252x 3y240x3y 3,就 x3y 3 的系数为 40. 213x 7xa x6的绽开式中x2的系数为 C673x 6C16x5a1C67x 2xC16x 2a,就 aC 16C 6719,解得 a2.

13、细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -答案14022 考点二 二项式系数与各项的系数问题【例 2】 1ax1x4的绽开式中 x 的奇数次幂项的系数之和为 32,就 a_. 22022 汕头质检 如x2m 9a0a1x1a2x12 a9x1 9,且a0a2 a8 2a1a3 a9 239,就实数 m 的值为 _. 解析 1设ax1x4a0a1xa2x 2a3x 3a4x 4a5x 5,令 x1,得 16a1 a0a1a2a3a4a5,令 x1,得 0a0a1a2a

14、3a4a5.,得 16a12a1a3a5,即绽开式中 x 的奇数次幂的系数之和为 解得 a3. a1a3a58a1,所以 8a132,2令 x0,就 2m9a0a1a2 a9,令 x2,就 m9a0a1a2a3 a9,又a0a2 a8 2a1a3 a9 2a0a1a2 a9a0a1a2a3 a8a93 9,2m9m 939,m2m3,m3 或 m1. 答案1321 或 3 第 6 页,共 14 页 - - - - - - - - - 规律方法1.“ 赋值法 ” 普遍适用于恒等式,是一种重要的方法,对形如axbn,ax2bxcm a, bR的式子求其绽开式的各项系数之和,常用赋值法. 2.如 f

15、xa0a1xa2x2 anxn,就 fx绽开式中各项系数之和为f1,奇数项系数之和为 a0a2a4 f1f1 2,偶数项系数之和为a1a3a5 f1f1 2. 【训练 2】 12022 烟台模拟 已知 x 32 xn的绽开式的各项系数和为243,就展开式中 x7的系数为 A.5 B.40 C.20 D.10 22022 湘潭三模 如1x12x 8a0a1x a9x 9,xR,就 a12a22 2细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - a92 9 的值为 A.29

16、B.291 C.39D.391 解析1由 x 32 xn243,令 x1 得 3 n243,即 n5,的绽开式的各项系数和为 x32 xn x32 x5,就 Tr1C r5x 3 5r2 xr2rC r5x 154r,令 154r7,得 r2,绽开式中 x7的系数为 22 C2540. 21x12x 8a0a1xa2x 2 a9x 9,令 x0,得 a01；令 x2,得 a0a12a22 2 a92 939,a12a22 2 a92 9391. 答案 1B 2D 考点三 二项式系数的性质 多维探究角度 1 二项式系数的最值问题【例 31】 2022上海崇明区二模 二项式 3x1 的绽开式中只有

17、第 11 项 n3 x的二项式系数最大,就绽开式中 x 的指数为整数的项的个数为 A.3 B.5 C.6 D.7 解析 依据 3x1 的绽开式中只有第 11 项的二项式系数最大,得 n20,n3 x3x13 x n的绽开式的通项为 Tr1Cr20 3x20r3 x 1 r 320rCr20x204r 3,要使 x 的指数是整数,需r 是 3 的倍数, r0,3,6,9,12,15,18,x 的指数是整数的项共有 7 项. 答案 D 角度 2 项的系数的最值问题3【例 32】 已知 xx22n的绽开式的二项式系数和比 3x1n的绽开式的二项2n式系数和大 992,就在 2x1 x 的绽开式中,二

18、项式系数最大的项为 _,系数的肯定值最大的项为 _. 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页,共 14 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -解析 由题意知, 22n2n992,即 2n322n310,故 2n32,解得 n5.10 由二项式系数的性质知,2x1 x 的绽开式中第 6 项的二项式系数最大, 故二项5 式系数最大的项为 T6C 5 102x 5 1 x 8 064. 设第 k1 项的系数的肯定值最大,就 Tk1Ck102x10k 1

19、xk1kCk10210kx102k,令即C k102 10kC k1 10 2 10k1,Ck10210kCk1 10 210k1,得C k102C k1 10 ,2Ck10Ck1 10 ,11k2k,2（k1）10k,解得8 3k11 3 . kZ,k3. 故系数的肯定值最大的项是第 4 项,T4 C 3102 7x 415 360x4. 答案8 06415 360x4n规律方法 1.二项式系数最大项的确定方法：当 n 为偶数时,绽开式中第 21项的二项式系数最大, 最大值为 C n；当 n 为奇数时,绽开式中第 n1 2 项和第n3 2n 1 n 1项的二项式系数最大,最大值为 C n 2

20、 或 C n 2 . 2.二项绽开式系数最大项的求法如求 abxna,bR的绽开式系数最大的项,一般是采纳待定系数法,设绽开式各项系数分别为A1,A2, ,An1,且第 k 项系数最大,应用AkAk1,从而AkAk1,解出 k 来,即得 . 【训练 3】 已知 m 为正整数, xy2m绽开式的二项式系数的最大值为 a, 第 8 页,共 14 页 xy2m1 绽开式的二项式系数的最大值为b.如 13a7b,就 mA.5 B.6 C.7 D.8 解析由题意可知, aC m 2m,bC m 2m1. 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - -

21、- - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -13a7b,13（2m）！m！m！ 7（2m1）！m！（ m1）！ ,即13 72m1 m1,解得 m6. 答案 B 思维升华 1.二项式定理及通项的应用1对于二项式定理,不仅要把握其正向运用,而且应学会逆向运用与变形运用. .有时先作适当变形后再绽开较为简便,有时需适当配凑后逆用二项式定理2运用二项式定理肯定要牢记通项Tk1C kna nkb k,留意abn与ban 虽然相同,但用二项式定理绽开后, 详细到它们绽开式的某一项时是不相同的,肯定要留意次序问题 . 3在通项 Tk1C k

22、 na nkb knN2, ,n. *中,要留意有 nN *,kN,kn,即 k0,1,2.由于二项式定理中的字母可取任意数或式,所以在解题时依据题意给字母赋值是求解二项绽开式各项系数和的一种重要方法 分系数和,常赋的值为 0,1. 易错防范 .赋值法求绽开式中的系数和或部1.二项式系数与项的系数是完全不同的两个概念.二项式系数是指C 0n,C 1n, ,C nn,它只与各项的项数有关,而与a,b 的值无关；而项的系数是指该项中除变量外的常数部分,它不仅与各项的项数有关,而且也与 a,b 的值有关 . 2.切实懂得 “ 常数项 ” “ 有理项 ” 字母指数为整数 “ 系数最大的项 ” 等概念

23、. 基础巩固题组建议用时： 35 分钟 一、挑选题1.已知 x1 x7的绽开式的第 4 项等于 5,就 x 等于 第 9 页,共 14 页 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -A.1 7B.1 7C.7 D.7 解析由 T4C 37x 4 1 x35,得 x1 7. 答案B 2.已知 1xn的绽开式中第 4 项与第 8 项的二项式系数相等, 就奇数项的二项式系数和为 A.29 B.210 C.211 D.212解析 由题意

24、, C3nC 7n,解得 n10.就奇数项的二项式系数和为 2 n129. 答案 A n3.2022 广州测试 使 x 21 2x 3 nN*绽开式中含有常数项的 n 的最小值是 A.3 B.4 C.5 D.6 r解析 Tr1Crnx2nr 2x 131 2rCrnx2n5r,令 2n5r0,得 n5 2r,又 nN*,所以 n 的最小值是 5. 答案 C n4.2022 邯郸二模 在x 3 x 的绽开式中,各项系数和与二项式系数和之比为 64,就 x3的系数为 A.15 B.45 C.135 D.405 n解析 令x 3x 中 x 为 1,得各项系数和为 4n,又绽开式的各项的二项式系数和为

25、 2 n,各项系数的和与各项二项式系数的和之比为64,4n 2 n64,解得 n6,二项式的绽开式的通项公式为 Tr1C r63 rx63 2r,令 63 2r3,求得 r2,故绽开式中 x3的系数为 C263 2135. 答案C 10 的绽开式中 x 6 的系数为 30,就 a 等于 第 10 页,共 14 页 5.2022 枣庄二模 如x 2a x1 x细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -A.1 3B.1 2C.1 D

26、.2 10 r解析 x1 x 绽开式的通项公式为 Tr1C r10x 10r1xCr10x 102r,令 102r4,解得 r3,所以 x 4项的系数为 C3 10,令 102r6,解得 r2,所以 x 6 项的系数为 C 210,所以 x 2a x1 x2. 答案 D 10 的绽开式中 x 6 的系数为 C 310aC 21030,解得 a6.1 3x 5a0a1x a2x 2a3x 3a4x 4a5x 5,求 |a0| |a1| |a2| |a3|a4|a5| A.1 024 B.243 C.32 D.24 解析 令 x1 得 a0a1a2a3a4a5|a0|a1|a2|a3|a4|a5|

27、135451 024. 答案 A 7.已知 C 0n2C 1n2 2C 2n 2 3C 3n 2 nC nn729,就 C 1nC 2nC 3n C nn等于 A.63 B.64 C.31 D.32 解析 逆用二项式定理得 C0n2C 1n2 2C 2n2 3C 3n 2 nC nn12 n3n729,即 3n36,所以 n6,所以 C1nC 2nC 3n C nn2 6C0n64163. 答案 A 8.如1xx 2 na0a1xa2x 2 a2nx 2n,就 a0a2a4 a2n 等于 A.2 n B.3 n12 C.2 n1 D.3 n12解析 设 fx1xx2 n,就 f13na0a1a

28、2 a2n,f11a0a1a2a3 a2n,由得 2a0a2a4 a2nf1f1,所以 a0a2a4 a2nf1f1 23 n12 . 第 11 页,共 14 页 - - - - - - - - - 答案D 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -二、填空题9.2022 山东卷 已知 13xn的绽开式中含有x2项的系数是 54,就 n_. 解析13xn的绽开式的通项为Tr 1Crn3xr,令 r2,得 T39C2nx2,由题意得 9C2n54,解得 n4. 答案4

29、 6 项的系数最大,就n10.2022 石家庄调研 1x n 的二项绽开式中,仅第_. 解析1xn的二项绽开式中,项的系数就是项的二项式系数,所以n 216,n10. 答案 10 11.如将函数 fxx 5 表示为 fxa0a11xa21x 2 a51x 5,其中a0,a1,a2, , a5为实数,就 a3_用数字作答 . 解析fxx51x15,它的通项为 Tk1C k 51x5k1 k,令 5k3,就 k2,所以 T3C 2 51x答案 10 31 2101x3,a310. 512. 2x1 x1 的绽开式中常数项是 _用数字作答 . 5 5 5解析 2x1 x12x1 x1 1 2x1 x

30、r的绽开式中通项公式： Tr1Cr515r2x1 x,r其中 2x1 x 的通项公式：kTk1C kr2x rk1x2rkC krx r2k,令 r2k0,就 k0,r0；k1,r2；k2,r4. 因此常数项为 C051 5C25 1 3 2 C12C 45 1 2 2C 24 161. 答案161 才能提升题组细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 12 页,共 14 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -建议用时： 15 分钟 13.2022 河南百校

31、联盟模拟 32xx42x16的绽开式中,含 x3项的系数为 A.600 B.360 C.600 D.360 解析 由二项绽开式的通项公式可知,绽开式中含 x3项的系数为 3 C362 31 32 C462 21 4 600. 答案 C 1014.在 1xx 2 019 1 的绽开式中,含 x2项的系数为 A.10 B.30 C.45 D.120 10 10解析 由于 1xx 2 019 1 （1x）x 2 019 11x10C1101x9 1 x2 01910C10 x2 019 1,所以 x2项只能在 1x10的绽开式中,所以含 x2的项为 C2 10x 2,系数为 C21045. 答案 C

32、 15.2022 安徽江南十校联考 如xy1 32xya 5 的绽开式中各项系数的和为 32,就该绽开式中只含字母 作答 . x 且 x 的次数为 1 的项的系数为 _用数字解析 令 xy1. a1 532. a1,故原式 xy132xy15xy132x1y5,可知绽开式中 x 的系数为 C13C3313C152 7. 答案7 16.设1ax 2 018a0a1xa2x 2 a2 018x 2 018,如 a12a23a3 2 018a2 0182 018aa 0,就实数 a_. 解析 已知 1ax2 018a0a1xa2x 2 a2 018x 2 018,两边同时对 x 求导,得 2 018

33、1ax2 017aa12a2x3a3x 2 2 018a2 018x 2 017,令 x1 得, 2 018a1a2 017a12a23a3 2 018a2 0182 018a,又 a 0,所以 1a 2 017 1,即 1a1,故 a2. 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 13 页,共 14 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -答案 2 新高考创新猜测17.多填题 已知（2x）7a6x 6a5x 5a4x 4a3x 3a2x 2a1xa0a 1x,那么1xa0a_；a4_. 解析 取 x0,就 27a0a,a0a128. 由已知可得 2x71x a6x6a5x5a4x4a3x3a2x2a1xa01x,aC07x7a6x7,a61,就 C 17x 62（ a5a6）x 6,a5a614,C27x 52 2（a4a5）x 5,a4a5 84,a61,a515,a499.答案12899 第 14 页,共 14 页 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -