2022年年全国初中数学联合竞赛试题参考答案.docx

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1、名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -20XX 年全国中学数学联合竞赛试题参考答案及评分标准说明：评阅试卷时,请依据本评分标准.第一试,挑选题和填空题只设7 分和 0 分两档；其次试各题,请根据本评分标准规定的评分档次给分.假如考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理,步骤正确,在评卷时请参照本评分标准划分的档次,赐予相应的分数 . 第一试一、挑选题： （此题满分42 分,每道题27 分）,就 ab 的值为D1. （）1已知ab2,1a21b 4baA 1. B1 . C1 2. 2【答】 B. 由 1a2 1b24可得a1a 2b 1b 24a

2、b,ab1）ba即 ab2 a2b2a3b34ab0,即22 a2b22a2abb24ab0,即 22ab4ab0,所以就第三条高线长的最2已知ABC 的两条高线的长分别为5 和 20, 如第三条高线的长也是整数,大值为（A 5. B6. C7. D 8. 【答】 B. 设 ABC 的面积为 S,所求的第三条高线的长为h,就三边长分别为2S,2S,2S明显2S2S,520h520于是由三边关系,得2 S2 S2 S,解得4h206.D 4 个（）20 2 Sh 2 S5 2 S,3205h所以 h 的最大整数值为6, 即第三条高线的长的最大值为3方程|x21|423x2 的解的个数为A 1 个

3、B2 个C3 个【答】 C. 当| x|1时,方程为2 x1423x2 ,即x2423x9430,解得x 13,x 243 3,均满意| x|10, 解 得当| x|1时 , 方 程 为1x2423x2 , 即x2 423 x743x 332,满意| x|1,由这一综上,原方程有3 个解.4 今有长度分别为1,2, , , 9 的线段各一条,现从中选出如干条线段组成“ 线段组”组线段恰好可以拼接成一个正方形,就这样的“ 线段组”的组数有（）细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页,共 9 页 - - - - - - - - - 名师归纳

4、总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -A 5 组. B 7 组 .C9 组. D11 组. 【答】 C. 明显用这些线段去拼接成正方形,至少要 7 条当用 7 条线段去拼接成正方形时,有 3 条边每边都用 2 条线段连接, 而另一条边只用 1 条线段, 其长度恰好等于其它 3 条边中每两条线段的长度之和当用 8 条线段去拼接成正方形时,就每边用两条线段相接,其长度和相等9又由于12945,所以正方形的边长不大于4511由于172635；C47162534；818273645；9 的正方形,有5 种方法；19283746；29384756所以,组成边长为7

5、、8、10、11 的正方形,各有一种方法；组成边长为故满意条件的“ 线段组” 的组数为1 4 5915,FGBC,就AE5如图,菱形 ABCD 中,AB3,DF1,DAB60,EFGA12. B6 . C231. （）D13. 【答】D. 2,过 F 作 AB 的垂线,垂足为HDAB60,AFADFDAFH30,AH1,FH3,D又EFG15,FEFHAFGAFHEFG90301545,G从而 FHE 是等腰直角三角形,所以HEFH 3 ,AHEBAEAHHE134的值为（）6已知1y1z1,1z1x1,1x1y1,就23x2y3z4xyzA 1. B3. C2. D5. 22【答】 C. 由

6、已知等式得xy xyzx2,yz xyxy3,zxyyz4,所以xyyzzzx95,即zzxzxyz2于是,xyzz5,xzx3,xxyz1所以y x5,3,yy2yz2y23yx3 第 2 页,共 9 页 z3y5x；1,得115x1,解得x23代入1y1zx2x5 3x210所以234232324xyzx5x5x5x3细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -二、填空题： （此题满分28 分,每道题7 分）D1在 ABC 中

7、,已知B2A,BC,2 AB223,就A【答】15 ；延长 AB 到 D,使 BD BC,连线段 CD ,就DBCD1ABCA ,所以 CA CD；2作CEAB于点 E,就 E 为 AD 的中点,故AEDE1AD1ABBD122 3223,C222BEABAE22 3233. AEB在 Rt BCE 中,cosEBCEB3,所以EBC30,故A1ABC15BC222二次函数yx2bxc的图象的顶点为D,与 x 轴正方向从左至右依次交于A,B 两点,与y 轴正方向交于C 点,如ABD 和 OBC 均为等腰直角三角形（O 为坐标原点） ,就b2 c【答 】 22n由已知,得C0,c,A bb24

8、c, 0 ,Bbb24 c,0 ,Db,b244 c222过 D 作DEAB于点 E,就2DEAB,即2b244cb24c,得b24 c2b24 c,所以b24 c0或b24 c2又b24 c0,所以b24 c2又OCOB,即cbb24 c,得b2 cb24 c223能使2n256是完全平方数的正整数n 的值为【答】11. 当n8时,2n2562n18 n 2,如它是完全平方数,就n 必为偶数如n2, 就2n2562265； 如n4, 就2n2562417； 如n6, 就2 5 6265；如n8,就2n256282；所以,当n8时,2n256都不是完全平方数于是当n8时,2n25628 2n8

9、1 ,如它是完全平方数,就2n81为一奇数的平方；设2n812 k1 2（k 为自然数）,就2n10k k1 由于 k 和k1一奇一偶,所以k1,2n102,故n1120XX 年全国中学数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第 3 页（共 8 页）4如图,已知AB 是 O 的直径,弦CD 与 AB 交于点 E,过点 A 作圆的切线与CD 的延长线交于细心整理归纳 精选学习资料 第 3 页,共 9 页 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -点 F,假如 DE

10、 3 CE,AC 8 5,D 为 EF 的中点,就 AB4【答】24. C设 CE 4 x , AE y,就 DF DE 3 x , EF 6 x连 AD ,BC由于 AB 为 O 的直径, AF 为 O 的切线,所以 A E O BEAF 90 , ACD DAFD又由于 D 为 Rt AEF 的斜边 EF 的中点,DA DE DF,DAF AFD,FACD AFD,AF AC 8 5在 Rt AEF 中,由勾股定理得 EF 2AE 2AF 2,即 36 x 2y 2320设 BE z,由相交弦定理得 CE DE AE BE,即 yz 4 x 3 x 12 x 2,y 2 320 3 yz

11、又AD DE,DAE AED又 DAE BCE , AED BEC,BCE BEC,从而 BC BE z2 2 2 2 2在 Rt ACB 中,由勾股定理得 AB AC BC,即 y z 320 z,2y 2 yz 320联立,解得 y 8 z 16所以 AB AE BE 24其次试（A）一、（此题满分 20 分） 已知三个不同的实数 a , b , c 满意 a b c 3,方程 x 2ax 1 0 和2 2 2x bx c 0 有一个相同的实根,方程 x x a 0 和 x cx b 0 也有一个相同的实根求a , b , c 的值解 依次将题设中所给的四个方程编号为,2设 x 是方程和方

12、程的一个相同的实根,就x x1 12bx ax1 1 1c ,0,0 两式相减,可解得 x 1a c 1b, 5 分2设 x 是方程和方程的一个相同的实根,就x x2 2 2cx x 22 ab 00 , 两式相减,可解得 x 2 ac b1；所以 x 1x 2 1, 10 分又方程的两根之积等于 1,于是 x 也是方程的根,就 x 2 2ax 2 1 0；细心整理归纳 精选学习资料 第 4 页,共 9 页 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -又2

13、x 2x2a0,两式相减,得a1x 2a1,15 分如a1,就方程无实根,所以a1,故2x1CB于是a2,bc1又abc3,解得b3,c2,20 分二（此题满分25 分）如图,在四边形ABCD 中,已知BAD60,ABC90,BCD120,对角线AC,BD交于点 S ,且DS2SB,P 为 AC 的中点求证：（1）PBD30；（2）ADDC证明 （1）由已知得ADC90,从而A,B ,C,D四点共圆, ACD为直径, P 为该圆的圆心,5 分作PMBD于点 M ,知 M 为 BD 的中点,所以BPM 1 2BPDPMSA60,从而PBM30,10 分（2）作SNBP于点 N ,就SN1SB A

14、N2又DS2SB ,DMMB1BD,2MS DS DM 2 SB 32Rt PMS Rt PNS ,SB1 SB2MPSSN,30,15 分NPS又PAPB,所以PAB1NPS15,故DAC45DCA,所以ADDC2,25分三（此题满分25 分） 已知m ,n,p为正整数,mn设A m ,0,B n ,0,C0,p ,O 为坐标原点如ACB90,且2 OAOB2OC23OAOBOCmnp25（1）证明：mnp3；（2）求图象经过A ,B,C三点的二次函数的解析式解（1）由于ACB90,OCAB,所以OAOBOC2,即由2 OA2 OBOC23 OAOBOC,得2 m2 n2 p3 mnp ,分

15、又m2n2np2mnmp 22 mnnpmp mnnpp 22 p2npmp 10从而有mp mnp22p mnp mmnp,3,即np3,分（2）由mnp2,mnp3知m,n是关于 x 的一元二次方程 第 5 页,共 9 页 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -x2p3 xp20的两个不相等的正整数根,从而p3 24p20,解得1p3；15 分C又 p 为正整数,故p1或p2,20 分当p1时,方程为x24x10,没有整

16、数解当p2时,方程为x25x40,两根为m,1 n4综合知：m,1n4,p2,的坐标代入得设图象经过A ,B,C三点的二次函数的解析式为ykx1 x4 ,将点C0,23x22k14,解得k12所以,图象经过A,B,C三点的二次函数的解析式为y1x1 x41x2222,25 分其次试（B）BCD120,一（此题满分20 分）题目和解答与（A）卷第一题相同.二（此题满分 25 分）如图,在四边形ABCD 中,已知BAD60,ABC90,对角线AC,BD交于点 S ,且 DS2SB 求证：ADDCD证明由已知得ADC90,从而A,B,C,D四点共圆, AC 为直径设 P 为 AC 的中点,就 P 为

17、四边形 ABCD 的外接圆的圆心MS,5 分PA作PMBD于点 M ,就 M 为 BD 的中点 ,所以BPM 1 2BPD ANB60,从而PBM30,10 分15作SNBP于点 N ,就SN1SB2又DS2SB ,DMMB1BD,2MSDSDM2SB3SB1SBSN,22分ADDCRt PMS Rt PNS ,MPSNPS30,又PAPB,所以PAB1NPS15,所以DAC45DCA,所以2,25分三（此题满分25 分） 已知m ,n,p为正整数,mn设A m ,0,B n ,0,C0,p ,O 为坐细心整理归纳 精选学习资料 第 6 页,共 9 页 - - - - - - - - - -

18、- - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -标原点如ACB90,且2 OA OB2OC2 3OA OB OC ）求图象经过A ,B ,C三点的二次函数的解析式解由于ACB90,OCAB,所以OAOBOC2,即mnp2,5由2 OA2 OBOC23 OAOBOCp ,得2 m2 n2 p3 mn分又m2n2np2mnp 22 mnnpmp mnnpp 22 p2npmp 10从而有mp mnp22p mnp mmnp,3,即mnp3,分又mnp2,故m,n是关于 x 的一元二次方程4p201p3；1

19、5x2p3 xp20的两个不相等的正整数根,从而p3 2,解得,又 p 为正整数,故p1或p2分当p1时,方程为x24x10,没有整数解,1 n4,20当p2时,方程为x25x40,两根为m综合知：m,1n4 ,p2分2设图象经过A ,B,C三点的二次函数的解析式为ykx1 x4 ,将点C0,2的坐标代入得k14,解得k1y1x1 x41x23x22所以,图象经过A,B,C三点的二次函数的解析式为222,25分其次试（C）,AC,AB的垂线,垂一（此题满分20 分）题目和解答与（A）卷第一题相同.二（此题满分25 分） 如图,已知 P 为锐角ABC 内一点,过 P 分别作BC足分别为D,E ,

20、F, BM 为ABC 的平分线, MP 的延长线交AB 于点 N 假如PDPEPF,求 第 7 页,共 9 页 证： CN 是ACB 的平分线细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -证明如图 1,作MM 1BC于点M ,MM 2AB于点M2,NN1BC于点N ,NN2AC于点 N AM2 FPN2EMNN 1/PDC1, N1NN 1P1M,5HH1NDNMM1DDM1BN 1/MMN1M设NP,分如NN1MM1,如图 2,作

21、NHMM1,分别交MM ,PD于点H, H1,就NPH NMH ,PH 1NP,PH1MH,MHNMPDPH1H1HMHNN1MM1NN 1NN1MM1 1NN 1如NN1MM1,就PDNN1MM1MM11NN 115 分如NN1MM1,同理可证PDMM1 1NN1,PE/ NN2,PEPM1,PE1NN2NN2NM20 分PF/ MM2,PF2NP,PFMM2,MMNM又PDPEPF,MM1 1NN1MM2 1NN225又由于 BM 是ABC 的平分线,所以MM1MM2, 1NN1 1NN2明显1,即10,NN1NN2, CN 是ACB 的平分线,分三（此题满分25 分）题目和解答与（B）卷第三题相同. 第 8 页,共 9 页 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页,共 9 页 - - - - - - - - -