2022年完整word版,精华-特殊平行四边形知识归纳和题型精讲学生版.docx

《2022年完整word版,精华-特殊平行四边形知识归纳和题型精讲学生版.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年完整word版,精华-特殊平行四边形知识归纳和题型精讲学生版.docx（18页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、精选学习资料 - - - - - - - - - . . 八年级平行四边形相关学问归纳和常见题型精讲性质和判定总表矩形菱形正方形的边矩形菱形正方形对边平行且相等对边平行,四边相等对边平行,四边相等性角四个角都是直角对角相等四个角都是直角质对相互平分且相等相互垂直平分,且每条对相互垂直平分且相等 ,每条对角线平角角线平分一组对角分一组对角线判定 有三个角是直角; 四边相等的四边形； 是平行四边形且 是平行四边形且有一组 邻边相等； 是平行四边形且两条对 是矩形,且有一组邻边相等； 是菱形,且有一个角是直角；有一个角是直角; 是平行四边形且对称性两条对角线相等. 角线相互垂直；既是轴对称图形,又是

2、中心对称图形一. 矩形矩形定义 : 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形通常也叫长方形或正方形. 矩形是中心对称图形,对称中心是对角线的交点,矩形也是轴对称图形,对称轴是通过对边中点的直线,有两条对称轴；矩形的性质 :具有平行四边形的一切特点 矩形性质 1: 矩形的四个角都是直角矩形性质 2: 矩形的对角线相等且相互平分如 图 , 在 矩 形 ABCD 中 , AC、 BD 相 交 于 点 O , 由 性 质 2 有AO=BO=CO=DO= 1 AC= 1 BD因此可以得到 直角三角形的一个性质： 直角三角2 2形斜边上的中线等于斜边的一半word 版本名师归纳总结 - - - - - - -第

3、 1 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - . . 矩形的判定方法矩形判定方法 1： 对角钱相等的平行四边形是矩形矩形判定方法 2： 有三个角是直角的四边形是矩形矩形判定方法 3： 有一个角是直角的平行四边形是矩形矩形判定方法 4： 4 对角线相等且相互平分的四边形是矩形例 1 已知：如图,矩形 ABCD ,AB 长 8 cm ,对角线比 AD 边长 4 cm 求 AD 的长及点 A 到 BD 的距离 AE 的长例 2 已知：如图,矩形ABCD中, E 是 BC 上一点, DFAE 于 F,如 AE=BC 求证：CEEF例 3如图,已知矩形 ABCD 中,E是 AD

4、 上的一点, F 是 AB 上的一点, EFEC,且 EF=EC,DE=4cm ,矩形 ABCD 的周长为 32cm ,求 AE 的长例 4、 如图,在ABCD 中, E 为 BC 的中点,连接AE 并延长交 DC 的延长线于点 F1 求证： AB=CF ；2 当 BC 与 AF 满意什么数量关系时,四边形ABFC 是矩形,并说明理由DACB EFword 版本名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - . . 二菱形菱形定义： 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形【强调】菱形（ 1）是平行四边形； （2）一组邻边相等菱形的性

5、质性质 1 菱形的四条边都相等；性质 2 菱形的对角线相互平分,并且每条对角线平分一组对角；菱形的判定菱形判定方法 1:对角线相互垂直的平行四边形是菱形留意此方法包括两个条件： （1）是一个平行四边形；（2）两条对角线相互垂直菱形判定方法 2:四边都相等的四边形是菱形例 1 已知：如图,四边形 ABCD 是菱形, F 是 AB 上一点, DF 交 AC 于 E求证： AFD= CBE 例 2 已知：如图ABCD的对角线 AC 的垂直平分线与边AD 、BC 分别交于 E、F求证：四边形 AFCE 是菱形word 版本名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 12 页精选学习资料 -

6、 - - - - - - - - . . A1ED例 3、如图,在ABCD中, O 是对角线AC 的中点,过点O 作 AC 的垂线与边AD、 BC 分别交于 E、 F,求证：四边形AFCE 是菱形 . O2CABF例 4、已知如图,菱形ABCD 中, E 是 BC 上一点, AE 、 BD 交于 M ,如 AB=AE, EAD=2 BAE；求证： AM=BE ；例 5 （湖南益阳）如图,在菱形BMCDABCD 中, A =60 , AB =4, O 为对角线EBD 的中点,过 O 点作 OEAB,垂足为 E1 求线段 BE 的长DCO60例 6、（四川自贡） 如图,四边形AEBABCD 是菱形

7、, DEAB 交 BA 的延长线于E,DFBC ,word 版本名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 交 BC 的延长线于. . F；请你猜想DE 与 DF 的大小有什么关系？并证明你的猜想例 7、（山东烟台）如图,菱形 ABCD 的边长为 2,BD=2 ,E、 F 分别是边 AD ,CD 上的两个动点,且满 足 AE+CF=2. （1）求证：BDE BCF；（2）判定BEF 的外形,并说明理由；（3）设 BEF的面积为 S,求 S 的取值范畴 . 三正方形正方形是在平行四边形的前提下 定义 的,它包含两层意思：有一组

8、邻边相等的平行四边形（菱形）有一个角是直角的平行四边形（矩形）正方形不仅是特别的平行四边形,并且是特别的矩形,又是特别的菱形正方形定义： 有一组邻边相等 并且有一个角是直角 的平行四边形 叫做正方形正方形是中心对称图形,对称中心是对角线的交点,正方形又是轴对称 图形,对称轴是对边中点的连线和对角线所在直线,共有四条对称轴；由于正方形是平行四边形、矩形,又是菱形,所以它的性质是它们性质的综合,正方形的性质总结如下：边： 对边平行,四边相等；角： 四个角都是直角；对角线： 对角线相等,相互垂直平分,每条对角线平分一组对角word 版本名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 12 页

9、精选学习资料 - - - - - - - - - . . 留意： 正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形,对角线与边的夹角是 45 ；正方形的两条对角线把它分成四个全等的等腰直角三角形,这是正方形的特殊性质正方形具有矩形的性质,同时又具有菱形的性质正方形的判定方法：. 1 有一个角是直角的菱形是正方形；. 2 有一组邻边相等的矩形是正方形. 留意： 1、正方形概念的三个要点：.（1）是平行四边形；.（2）有一个角是直角；.（3）有一组邻边相等2、要确定一个四边形是正方形,应先确定它是菱形或是矩形,然后再加上相应的条件,确定是正方形. ABCD 中,对角线的交点为O ,E 是 O

10、B 上的一点, DG AE例 1 已知：如图,正方形于 G ,DG 交 OA 于 F求证： OE=OF 例 2 已知：如图,四边形ABCD是正方形,分别过点A、C 两点作 l1 l2,作 BM l1于 M ,DN l1 于 N,直线 MB 、DN 分别交 l2 于 Q 、 P 点求证：四边形 PQMN 是正方形例 3、（海南） 如图, P 是边长为 1 的正方形 ABCD 对角线 AC 上一动点（ P 与 A 、C 不重合）,点 E 在射线 BC 上,且 PE=PB. （ 1）求证： PE=PD ； PEPD；（ 2）设 AP=x, PBE的面积为 y. 求出 y 关于 x 的函数关系式,并写

11、出 x 的取值范畴； 当 x 取何值时, y 取得最大值,并求出这个最大值 . word 版本名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - . . A D P B E C 例 4（河南省）如图,梯形ABCD 中, AD BC ,AB=AD=DC,E 为底边 BC 的中点,且 DE AB ,试判定ADE 的外形,并给出证明例 5：（深圳）如图,在梯形ABCD 中, AB DC , DB 平分 ADC ,过点 A 作 AE BD,交 CD 的延长线于点E,且 C 2EBC（1）求证：梯形ABCD 是等腰梯形（2）如 BDC 30

12、, AD 5,求 CD 的长A例题讲解 E D图 5例一 .分析： （ 1）由于矩形四个角都是直角,因此矩形中的运算常常要用到直角三角形的性质, 而此题利用方程的思想,解决直角三角形中的运算,这是几何运算题中常用的方法2,解：设 AD=xcm ,就对角线长（x+4 ）cm ,在 Rt ABD 中,由勾股定理：x282x4解得 x=6 就 AD=6cm（2）“ 直角三角形斜边上的高” 是一个基本图形,利用面积公式,可得到两直角边、斜边及斜边上的高的一个基本关系式：AEDB ADAB,解得AE 4.8cm 例二 分析： CE、EF 分别是 BC ,AE 等线段上的一部分,如AFBE,就问题解决,而

13、证明AFBE,只要证明ABE DFA 即可,在矩形中简单构造全等的直角三角形证明：四边形 ABCD 是矩形,B=90 ,且 AD BC 1= 2DFAE,AFD=90 B= AFD 又 AD=AE ,word 版本名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - . . ABE DFA （AAS ）AF=BEEF=EC此题仍可以连接 DE,证明DEF DEC ,得到 EFEC菱形 例 1 证明： 四边形 ABCD 是菱形,CB=CD , CA 平分 BCD BCE= DCE 又 CE=CE , BCE COB （SAS）CBE=

14、CDE 在菱形 ABCD 中, AB CD , AFD= FDC AFD= CBE例 2 证明 ：四边形 ABCD 是平行四边形,AE FC1=2又AOE= COF ,AO=CO, AOE COF EO=FO 四边形 AFCE 是平行四边形又 EFAC ,AFCE 是菱形 对角线相互垂直的平行四边形是菱形 例 6、解： DEDF 证明如下：连结 BD 四边形 ABCD 是菱形 CBD ABD 菱形的对角线平分一组对角 DFBC ,DEAB DFDE角平分线上的点到角两边的距离相等 例 7 、word 版本名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 12 页精选学习资料 - - -

15、- - - - - - 正方形例 1 分析：要证明. . OE=OF ,只需证明AEO DFO ,由于正方形的对角线垂直平分且相等,可以得到AOE= DOF=90 ,AO=DO,再由同角或等角的余角相等可以得到 EAO= FDO ,依据 ASA 可以得到这两个三角形全等,故结论可得证明：四边形 ABCD 是正方形, AOE= DOF=90 ,AO=DO （正方形的对角线垂直平分且相等）又 DG AE, EAO+ AEO= EDG+ AEO=90 EAO= FDO AEO DFO OE=OF 例 2 分析：由已知可以证出四边形 PQMN 是矩形,再证ABM DAN ,证出AM=DN ,用同样的方

16、法证 AN=DP 即可证出 MN=NP 从而得出结论证明： PNl1,QM l1,PN QM , PNM=90 PQ NM ,四边形 PQMN 是矩形四边形 ABCD 是正方形BAD= ADC=90 ,AB=AD=DC （正方形的四条边都相等,四个角都是直角） 1+ 2=90 又3+ 2=90 ,1= 3 ABM DAN AM=DN 同理 AN=DP AM+AN=DN+DP 即 MN=PN 四边形 PQMN 是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形）例 3 （1）证法一： 四边形 ABCD 是正方形, AC 为对角线, BC=DC , BCP=DCP= 45 . PC=PC,word 版本名师归

17、纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - . . PBC PDC （SAS）. PB= PD, PBC=PDC. 又 PB= PE , PE=PD. （ i）当点 E在线段 BC 上E 与 B、C 不重合 时,A D PB=PE, PBE=PEB, PEB=PDC,B P 1 H E PEB+PEC=PDC+PEC=180 , DPE=360 -BCD+PDC + PEC=90 ,2 C PEPD. ）（ii）当点 E与点 C 重合时,点P 恰好在 AC 中点处,此时,PE PD. （iii）当点 E 在 BC 的延长线上时,如

18、图. PEC=PDC , 1=2, DPE=DCE=90 , PEPD. 综合（ i）（ ii）（ iii）, PEPD. （2） 过点 P 作 PFBC,垂足为 F,就 BF=FE. AP=x,AC =2 ,A P D C D C PC=2 - x, PF=FC=22x 12x. 22BF=FE=1- FC=1-12x=2x. B F E 22 S PBE=BFPF=2x12x1x22x. 2222即y12 x2x0x2 . 22y12 x2x1x221. 22224a10,2 当x2时, y 最大值1 . 42（1）证法二：过点 P 作 GF AB,分别交 AD、BC 于 G 、F. 如下

19、列图 . 四边形 ABCD 是正方形,A G 2 四边形 ABFG 和四边形 GFCD 都是矩形,3 AGP 和 PFC 都是等腰直角三角形. P GD=FC =FP,GP=AG =BF, PGD = PFE=90 . 又 PB=PE,1 BF=FE,B F E GP=FE, EFP PGD （SAS）. PE=PD. word 版本名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - . . 1=2. 1+ 3=2+ 3=90 . DPE=90 . PEPD. （2）AP=x,2x. BF=PG=2x,PF=1-2x. 22 S

20、PBE=BFPF=2x12x1x22222即y12 x2x0x2 . 22y12 x2x1x221. 22224a10,2 当x2时, y 最大值1 . 42注：用其它方法求解参照以上标准给分. 例 4 【解析】ADE 是等边三角形理由如下： AB=CD ,梯形 ABCD 为等腰梯形, B=C E 为 BC 的中点,BE=CE在 ABE 和 DCE 中,ABDC,BC,BECE ABE DCE AE=DE AD BC,DE AB,四边形 ABCD 为平行四边形AB=DE AB=AD ,AD=AE=DE ADE 为等边三角形例 5：（ 1）证明： AE BD, E BDC DB 平分 ADC ADC 2 BDC 又 C 2E ADC BCD 梯形 ABCD 是等腰梯形word 版本名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - . . （2）解：由第（ 1）问,得 C2 E2BDC 60 ,且 BCAD 5 在 BCD 中, C 60 , BDC 30 DBC 90 DC 2BC 10 完word 版本名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 12 页