2022年微分方程.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 常微分方程数值解法 1 引言对于一些典型的常微分方程,有求解析解的基本 2 欧拉法和改良的欧拉法 3 龙格 -库塔法 4 阿当姆斯方法 1 引言在高等数学里我们已经接触过常微分方程,方法,但多数情形下,遇到的问题比较复杂,此时,只能利用近似方法求解,一般有两种近似方法；实际求解的常微分方程,大多是定解问题 满意指定条件的特解本章争论常微分方程,数值解的最简洁问题 一阶方程初值问题,即函数 fx 满意以下微分方程和初值条件：在几何问题是 6-1 表现为一簇曲线,称6-1的积分曲线,初值问题6-1 6-2 就是要求一条过x0 ,y0 的积分曲线方程

2、的精确解 yx 称为积分曲线；方程是否有解,解是否唯独？名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 定理 1 对初值问题 6-16-2 ,假设 fx,y 在区域 G= a xb , |y| 内连续, 且关于 y 满意李普希兹条件,即存在常数L,使|fx , y1-fx , y2| L|y1-y2| 6-3对 G 中任意两个y1,y2 均成立,其中L 是与 x,y 无关的常数,就初值问题6-16-2 在a,b内存在唯独解,且解是连续可微的；设 fx ,y在带形区域R：axb,- y +上为x,y 的连续函数,且对任意的y满意李

3、普希茨 Libusize 条件fx ,y1-fx ,y2 L y1-y2其中 x ,y1、 x ,y2R,L 为正常数；在求初值问题 6-16-2 的数值解时, 我们通常采纳离散化方法,求在自变量x 的离散点 a=x0x1x2 xn=b 上的精确解 yx 的近似值y0,y1, y2, ,yn 常取离散点 x0, x1,x2, ,xn 为等距,即x i+1-xi =h ,i=0, 1,2, ,n-1 h 称为步长； 图表示为初值问题61 6 2在 n+1 个离散点上的精确解yx的近似值；数值解法的重点不在于求精确解即解析解,而是直接求一系列点上的近似解；初值问题 6.2的数值解法的基本特点是：求

4、解过程顺着节点排列的次序一步步向前推动,也即按递推公式由 面各种方法的实质是建立递推公式； 2 欧拉法和改良的欧拉法y0,y1 .yi 推 yi+1 ,下名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 2几何意义欧拉公式有很明显的几何意义；我们知道初值问题 6.1 中的微分方程的解是 xoy 平面上的一簇积分曲线,这簇积分曲线上任意点 x,y的斜率为 fx ,y,而初值问题 6.1 6.2 的解是过点 x0,y0的一条特定的积分曲线；yx 过点 P0x0,y0 ,从 P0 动身以 fx0,y0 为斜率做始终线与直线 有:y1=y

5、0+hfx0,y0, 再从 p1 动身 ,以 fx1,y1 为斜率做始终线推动到x=x1 交于点 p1x1,y1, 明显 x=x2 上一点 p2x2,y2, 依此类推 ,这样得到解曲线的一条近似曲线,它就是折线p0p1p2 所以欧拉方法又叫欧拉折线法欧拉法是用yi 通过i=0,1, yi+1=y i + hfx i ,y i 求 yi+1,这样利用y0 y1 y2 运算 yi+1 用前一步的 y i 单步法运算 yi+1 用前几步的 yi-n 多步法名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 二、欧拉方法的误差分析定义 1p

6、146 对于初值问题,当假设 yi 是精确的时,用某种方法求 yi+1 时所产生的截断误差称为该方法的局部截断误差；我们来看在第 i+1 步使用欧拉方法所得 yi+1 的局部截断误差 yxi+1-yi+1 假定 yi 是精确的 ,即 yi=yxi 由 yxi+1=yxi+h ,应用泰勒绽开yxi+1=yxi+h =yxi+hyxi+y /2*h2 而由欧拉公式算出 yi+1=yi+hfxi,yi= yxi+hfxi,yxi=yxi+hyxi yxi+1=yxi+h= yxi + hyxi + y /2*h2 yi+1=yi+hfxi,yi=yxi + hfxi,yxi = yxi + hyxi

7、 两式相减得名师归纳总结 yxi+1-yi+1=h2/2* y =Oh2 有时误差会原先越大,第 4 页,共 16 页即欧拉方法所得yi+1 的局部截断误差为Oh2 h2y称为局部截断误差的主项留意 :只运算了一步, 事实上每一步都有可能产生误差,2有时又会得到很好的掌握,因此仍要考虑整体截断误差；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 定义 2 设 yi 是用某种方法运算初值问题6-16-2 在 xi 点的近似解,而yxi 是它的精确解,就称iyxiyi为该方法的整体截断误差,也称为该方法的精度；补：假设某方法的局部截断误差为Ohp+1 ,就该方法的精度为

8、p 阶的；欧拉方法的精度为Oh,一阶的；三、改良的欧拉法欧拉法虽然形式简洁,运算便利,但比较粗糙,精度也低；特殊当 y=yx 的曲线曲率较大时,欧拉法的成效更差；为了构造较高精度的数值解法,对初值问题yxfx,yy0y0再做分析名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 一般来说,这是一个非线性方程除非 的各种方法求解,比方用迭代法f 对 y 是线性的,可用我们前面讲过的非线性方程名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 四、预报 -校正方法我们看到梯形

9、法虽然提高了精度,但其算法复杂,每算一点,都需进行反复迭代,为了掌握运算量,通常只迭代一两次就转入下一步运算,以简化算法；详细地说,我们先用欧拉公式求一个初步的近似值名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 预报 -校正公式的截断误差为 Oh3 证明, p150 预报 -校正公式的整体截断误差为 Oh2 预报 -校正公式是单步显式名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 16 页精选学习资料 -

10、- - - - - - - - 3 龙格库塔法假设用这种方法争论欧拉公式,可以发觉欧拉公式仅取一个点 梯形公式却是利用 xi 与 xi+1 两个点的斜率值xi,yi 的斜率 fxi,yi 代替 k* ,它也启示我们假设设法在 xi,xi+1 上多找几个点的斜率值,然后将它们加权平均作为 K* 的近似值,就有可能构造出精度更高的运算公式,这就是 Runge-Kutta 方法的基本思想；即 r*K j f x i j h , y i j h j 1j名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 二、 Runge-Kutta 公式

11、我们以两点 xi,xi+p=xi+ h 为例,说明 6-14式中系数的求法y i 1 y i 1 k 1 2 k 2k 1 hf x i , y i k 2 hf x i h , y i k 1 其中 1, 2, , 为待定参数名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 对积分式分别采纳矩形和梯

12、形面积公式可得到欧拉公式和改良欧拉公式 梯形法 ,截断误差分别为 Oh2 和 Oh3 ；假设追溯到数值积分原理,梯形法就 实际上是用节点 x i 和 x i+1 的线性插值函数代替 fx ,y 而得到的；为此,我们自然可以想到,假设用更高次的插值多项式来代替 精度会更高；- 这就是线性多步法的起源思想；fx ,y,就所得公式的名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页,共 16 页