2022年微积分复习资料.docx
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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 基本学问复习一、 不定积分 1 不定积分概念,第一换元积分法(1) 原函数与不定积分概念设函数 F x 与 fx 在区间a b 内有定义,对任意的xa b ,有Fxfx 或 dF xfx dx,fx 的不定就称 F x 是 fx 在a b 内的一个原函数;假如 F x是函数 fx 的一个原函数 ,称 fx 的原函数全体为积分 ,记作fx dxFxC,(2) 不定积分得基本性质1d dxfx dxfx2;Fx dxF xC.3;AfxBg xdxAfx dxBg x dx(3)基本不定积分公式表一1 名师归纳总结 - - - - - - -第 1
2、 页,共 27 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1kdxkxC k 是常数,(2x dxx1C1 ,C,1( )31dxlnxC,x41dxarctanxC,2 x5dx2 xarcsinxC,16 cosxdxsinxC,7 sinxdxcosxC,8dxx2 secxdxtanx2 cos9dxx2 cscxdxcotxCsin210 sec tanxdxsecxC,11 cscxcotxdxcscxC,12x a dxaxC,lna13shxdxchxC,14chxdxshxC,151dxthxC,2 ch x161dxcthxC.2 sh x(3) 第一换元积分法(
3、凑微分法)设 fu 具有原函数 , ux 可导 ,就有换元公式ux.fxx dxfu du2 其次换元积分法,分部积分法设 x(1)其次换元积分法t0.又设ftt具有原函数 ,t 是单调的、 可导的函数 ,并且就有换元公式其中1 x 是 xfx dxftt dtt1x,t 的反函数 . 2 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 27 页精选学习资料 - - - - - - - - - (2)分部积分法设函数 uu x 及 vv x 具有连续导数 ,那么 , C,uv u vuv,移项 ,得uvuvu v .对这个等式两边求不定积分,得 uv dxuv uvdx .这个公式称为
4、 分部积分公式.它也可以写成以下形式: udvuvvdu.(3)基本积分公式表二17 tanxdxln cosxC,(18 cotxdxln sinxC ,(19)sec xdxln sec tanxC,20 cscxdxln cscxcotxC,21a2dx1arctanxC,2 xaa22x2dxdx1lnxaC,2 a2 axa23adx2 xarcsinxC,2a24xdx2 alnx2 xa222 5dx2 alnx2 xa2C .2 x( 3)有理函数的积分,三角函数有理式的积分,某些简洁无理式的积分一、 有理函数的积分P x两个多项式的商 称为 有理函数 ,又称为 有理分式 .我
5、们总假定分子多项式 P xQ x与分母多项式 Q x 之间是没有公因式的 .当分子多项式 P x 的次数小于分母多项式Q x 的次数时 ,称这有理函数为 真分式 ,否就称为 假分式 . 利用多项式的除法 ,总可以将一个假分式化成一个多项式与一个真分式之和的形式 ,由于多项式的积分简洁求 ,故我们将重点争论真分式的积分方法 . 3 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 27 页精选学习资料 - - - - - - - - - 对于真分式P nx,第一将Q mx 在实数范畴内进行因式分解,分解的结果不外乎两种Q mx类型 :一种是xak,另外一种是x2pxql,其中k l 是正整
6、数且p24q0;其次 ,根. 据因式分解的结果,将真分式拆成如干个分式之和详细的做法是 : 如Q mx 分解后含有因式xak,就和式中对应地含有以下k 个分式之和 : ,所xA 1axA 22LxA kk,aa其中 :A 1,L,A k为待定常数 . 如Q mx 分解后含有因式x2pxql,就和式中对应地含有以下l 个分式之和 : M xN1M xN22LxM xNll,x2pxqx2pxq2pxq其中 :Mi,Nii1,2,L,l为待定常数 . 以上这些常数可通过待定系数法来确定.上述步骤称为把真分式化为部分分式之和以,有理函数的积分最终归结为部分分式的积分. 二、 可化为有理函数的积分举例
7、例 4 求 1 sin x dx .sin x 1 cos x解 由三角函数知道 ,sin x 与 cosx 都可以用 tan x 的有理式表示 ,即2x xsin x 2sin xcos x 2tan2 2 tan2 ,2 2 sec 2 x1 tan 2 x2 22 x 2 xcos x cos 2 xsin 2 x 1 tan2 1 tan2 .2 2 sec 2 x 1 tan 2 x2 2假如作变换 u tan xx ,那么22sin x 2 u2 ,cos x 1 u2 ,1 u 1 u而 x 2arctan u 从而4 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 27
8、 页精选学习资料 - - - - - - - - - dx122du.u于是例 5 求sin1sinxxdx3x2C.x1cos112u22duu1u212u211u22u1u1u21du2u1u22 ulnuC221tan2xtanx1ln tanxC.42222x1dx .x解设x1u ,于是xu21,dx2 udu 从而所求积分为x1dxuu12 udu2uu21du例 6 求x2221112du2uarctan uCu2x1arctanx1C .1dx2.3x解设3x2u ,于是xu32,dx2 3 u du 从而所求积分为例 7 1dx223 u du1 u3xu111udu33u2
9、uln 1uC33x2233x23ln 122求1dxx.3x5 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 27 页精选学习资料 - - - - - - - - - 解设x6 t ,于是dx5 6 t dt 从而所求积分为例 8 求11x1x1dxx16t5t3dt61t22dt3xt2t61112dt6tarctantCt66xarctan6xC.xdx.x解设xt,于是1xxt2,xt211,dxt2tdt2,从而所求积分为2111xxdxt21tt22t2dt2tt21dtx1221t211dt2tlnt1Ct12t2lnt1lnt21C21xx2ln1xx1lnxC.二、
10、 定积分(1) 定积分概念,微积分基本定理,定积分得基本性质(1)定积分的概念1;定积分的定义定义 定积分 设函数 fx 在区间a b 上有定义 .用分点b,x i,作乘积ax0x 1x 2Lx n1x n将区间a b 任意分成 n 个小区间 ,小区间的长度为ix ix ix1i1,2,L,n,记1maxx i.在每个小区间x i1,x i上任取一点ix i1fix ii1,2,L,n.将这些乘积相加,得到和式6 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 27 页精选学习资料 - - - - - - - - - nnfix i,0 ,如积分和n有极限 I 这个值 Ii1这个和称为
11、 函数 fx在区间a b 上的积分和 .令不依靠于,a b 的分法以及中间点i的取法i1,2,L,n,就称此极限值为fx 在a b上的定积分 ,记作nfix ibfx dx,Ilim 0i1a其中 a 和 b 分别称为 定积分的下限与上限,a b 称为 积分区间 . 函数的可积性定理 1 如 fx 在a b 上连续 ,就 fx 在a b 上可积 . x 在a b 上可积 . 定理 2 如 fx 在a b 上只有有限个间断点,并且有界 ,就 f定积分的几何定义b在 ,a b 上 f x 0 时 , 我 们 已 经 知 道 ,定 积 分 af x dx在 几 何 上 表 示 由 曲 线y f x
12、、两条直线 x a x b 与 x 轴所围成的曲边梯形的面积 ;在 a b 上 f x 0 时, 由曲线 y f x 、两条直线 x a x b 与 x 轴所围成的曲边梯形位于 x 轴的下方 ,定积分baf x dx在几何上表示上述曲边梯形面积的负值 ;在 a b 上 f x 既取得正值又取得负值时 ,函数 f x 的图形某些部分在 x 轴的上方 ,而其它部分在 x 轴下方 .此时 定积分baf x dx表示 x 轴上方图形面积减去 x 轴下方图形面积所得之差 图 4-2. 定积分的基本性质7 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 27 页精选学习资料 - - - - - -
13、 - - - 为了以后运算及应用便利起见,对定积分做以下两点补充规定: 1 当 ab 时,b afx dx0; ,a b ,使得2 当 ab 时,bfx dxafx dx .ab性质 1 b adxba .性质 2 线性性质 bk fxk g xdxk 1bfx dxk 2bg x dx .aaa推论 1 bfxg xdxbfx dxbg x dx .aaa推论 2 bkfx dxkbfx dx .aa性质 3 bfx dxcfx dxbfx dx .aac性质 4 如ab fxg x ,就bfx dxbg x dx .aa推论 3 如ab fx0,就b afx dx0.推论 4 如ab mf
14、xM ,就m babfx dxM ba.a推论 5 bfx dxbfx dx ab.aa性质 5定积分中值定理(图 4-6)如 fx 在a b 上连续 ,就至少有一点b afx dxfba.积分上限的函数及其导数定理 1 假如函数 fx 在区间,a b 上连续 ,就积分上限的函数b.在a b 上可导 ,并且它的导数xxf t dtaxdxft dtfxaxdxa定理 2 假如函数 fx 在区间,a b 上连续 ,就函数就是 fx 在a b 上的一个原函数xxf t dta. 一、 牛顿-莱布尼茨公式8 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 27 页精选学习资料 - - - -
15、 - - - - - 定理 3 假如函数 F x 是连续函数fx 在区间a b 上的一个原函数,就b afx dxF bF a.x dx通常也把牛顿 -莱布尼茨公式叫做微积分基本公式.(2)定积分的换元积分法与分部积分法fx 在a b 上连续 ,作变换 xt,其中t 满意1a ,b 且当t,时,ta b ; 2t在,上具有连续导数,就b afx dxftt dt.定积分的分部积分法:b u x vx dxu x v xbbv x uaaa例 28 证明 : 1.如 fx 在a a 上是连续的偶函数,就例 29 如 ffx dx .a afx dx2a02.如 fx 在a a 上是连续的奇函数,
16、就a afx dx0.x 在 0,1 上连续 ,证明 : 例 31 2fsinx dx2fcosx dx ;10020xfsinx dx20fsinx dx.设 fx 是连续的周期函数,周期为T,证明 : 1a Tfx dxTfx dx ;a0anTfx dxnTfx dx nN.2a09 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 27 页精选学习资料 - - - - - - - - - 例 9 证明 : 证:令x2t 就InnI2sinnxdx2cosnxdx00nn1n3L3 1,n 为正偶数;n24 2 2n-1n3L4 2 , 5 3n 为正奇数.nn22sinnxdx0
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