同济高数-教案.doc

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1、高等数学教案 第一章 函数与极限第一章 函数与极限教学目的：1、 理解函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中的函数关系式.2、 了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性.3、 理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。4、 掌握基本初等函数的性质及其图形。5、 理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系。6、 掌握极限的性质及四则运算法则。7、 了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。8、 理解无穷小、无穷大的概念,掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限.9、 理解函数连续性的概念（含

2、左连续与右连续）,会判别函数间断点的类型。10、了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理）,并会应用这些性质.教学重点:1、 复合函数及分段函数的概念;2、 基本初等函数的性质及其图形;3、 极限的概念极限的性质及四则运算法则；4、 两个重要极限；5、 无穷小及无穷小的比较；6、 函数连续性及初等函数的连续性；7、 区间上连续函数的性质。教学难点:1、 分段函数的建立与性质；2、 左极限与右极限概念及应用；3、 极限存在的两个准则的应用；4、 间断点及其分类；5、 闭区间上连续函数性质的应用。1. 1 映射与函数 一、集合 1。 集

3、合概念 集合（简称集）: 集合是指具有某种特定性质的事物的总体。 用A， B, C.等表示。 元素: 组成集合的事物称为集合的元素。 a是集合M的元素表示为aM。 集合的表示: 列举法: 把集合的全体元素一一列举出来. 例如A=a， b， c， d, e， f， g。 描述法： 若集合M是由元素具有某种性质P的元素x的全体所组成， 则M可表示为 A=a1， a2， , an， M=x x具有性质P . 例如M=（x， y) x， y为实数， x2+y2=1。 几个数集： N表示所有自然数构成的集合， 称为自然数集。 N=0, 1， 2, ， n， 。 N+=1， 2， ， n, . R表示所有

4、实数构成的集合， 称为实数集. Z表示所有整数构成的集合, 称为整数集. Z= , n， ， 2， -1， 0, 1, 2, ， n, . Q表示所有有理数构成的集合， 称为有理数集。 子集： 若xA, 则必有xB， 则称A是B的子集， 记为AB（读作A包含于B）或BA 。 如果集合A与集合B互为子集, AB且BA， 则称集合A与集合B相等, 记作A=B。 若AB且AB, 则称A是B的真子集， 记作AB . 例如, NZQR 。 不含任何元素的集合称为空集, 记作. 规定空集是任何集合的子集. 2。 集合的运算 设A、B是两个集合， 由所有属于A或者属于B的元素组成的集合称为A与B的并集(简称

5、并）， 记作AB， 即 AB=x|xA或xB。 设A、B是两个集合， 由所有既属于A又属于B的元素组成的集合称为A与B的交集(简称交)， 记作AB, 即 AB=xxA且xB。 设A、B是两个集合, 由所有属于A而不属于B的元素组成的集合称为A与B的差集（简称差）, 记作AB， 即 AB=xxA且xB。 如果我们研究某个问题限定在一个大的集合I中进行， 所研究的其他集合A都是I的子集。 此时, 我们称集合I为全集或基本集。 称IA为A的余集或补集， 记作AC。 集合运算的法则： 设A、B、C为任意三个集合, 则 (1)交换律AB=BA， AB=BA； （2）结合律 (AB)C=A（BC), （A

6、B)C=A（BC); （3)分配律 （AB）C=（AC）(BC), (AB)C=(AC）(BC）； （4)对偶律 (AB）C=AC BC， （AB)C=AC BC。 (AB)C=AC BC的证明: x（AB）CxABxA且xBxA C且xBC xAC BC, 所以（AB）C=AC BC. 直积(笛卡儿乘积）： 设A、B是任意两个集合， 在集合A中任意取一个元素x， 在集合B中任意取一个元素y, 组成一个有序对（x， y）, 把这样的有序对作为新元素， 它们全体组成的集合称为集合A与集合B的直积, 记为AB， 即 AB=（x， y)xA且yB。 例如， RR=(x, y） xR且yR 即为xOy

7、面上全体点的集合， RR常记作R2。 3。 区间和邻域 有限区间: 设ab， 称数集xaxb为开区间， 记为(a, b）, 即 （a, b）=xaxb. 类似地有 a， b = x | a xb 称为闭区间， a， b) = x axb 、（a， b = x axb 称为半开区间。 其中a和b称为区间（a, b）、a, b、a， b）、(a, b的端点， ba称为区间的长度. 无限区间: a， +） = x | ax , (， b = x x b ， （， +）=x | | x +. 区间在数轴上的表示: 邻域: 以点a为中心的任何开区间称为点a的邻域， 记作U（a)。 设d是一正数， 则称开

8、区间（ad， a+d)为点a的d邻域， 记作U（a， d）， 即 U（a， d)=x a-d x a+d =x xad. 其中点a称为邻域的中心， d 称为邻域的半径。 去心邻域（a， d)： （a, d）=x 0 xa d 二、映射 1。 映射的概念 定义 设X、Y是两个非空集合， 如果存在一个法则f， 使得对X中每个元素x， 按法则f， 在Y中有唯一确定的元素y与之对应， 则称f为从X到Y的映射， 记作 f ： XY ， 其中y称为元素x（在映射f下）的像， 并记作f（x)， 即 y=f（x)， 而元素x称为元素y（在映射f下)的一个原像； 集合X称为映射f的定义域， 记作D f， 即 D

9、 f=X ； X中所有元素的像所组成的集合称为映射f的值域, 记为R f， 或f(X), 即 R f=f（X）=f(x)xX. 需要注意的问题： （1）构成一个映射必须具备以下三个要素: 集合X， 即定义域D f=X； 集合Y， 即值域的范围： R f Y； 对应法则f， 使对每个xX， 有唯一确定的y=f（x)与之对应。 (2）对每个xX, 元素x的像y是唯一的； 而对每个yR f， 元素y的原像不一定是唯一的； 映射f的值域R f是Y的一个子集， 即R f Y， 不一定R f=Y 。 例1设f : RR, 对每个xR， f（x)=x2。 显然, f是一个映射， f的定义域D f=R， 值域

10、R f =yy0, 它是R的一个真子集。 对于R f 中的元素y, 除y=0外, 它的原像不是唯一的。 如y=4的原像就有x=2和x=2两个。 例2设X=（x， y）x2+y2=1, Y=（x, 0）|x|1， f : X Y, 对每个（x， y）X, 有唯一确定的（x, 0)Y与之对应。 显然f是一个映射, f的定义域D f=X， 值域R f =Y。 在几何上， 这个映射表示将平面上一个圆心在原点的单位圆周上的点投影到x轴的区间1， 1上. (3） f :-1， 1, 对每个x, f（x)=sin x 。 f是一个映射， 定义域D f =, 值域R f =1, 1。 满射、单射和双射： 设f

11、是从集合X到集合Y的映射, 若R f =Y， 即Y中任一元素y都是X中某元素的像, 则称f为X到Y上的映射或满射； 若对X中任意两个不同元素x 1x 2， 它们的像f（x 1）f(x 2）， 则称f为X到Y的单射； 若映射f既是单射， 又是满射， 则称f为一一映射（或双射）。 上述三例各是什么映射? 2. 逆映射与复合映射 设f是X到Y的单射， 则由定义， 对每个yR f , 有唯一的xX， 适合f(x）=y， 于是， 我们可定义一个从R f 到X的新映射g， 即 g ： R f X， 对每个yR f , 规定g(y）=x， 这x满足f(x）=y。 这个映射g称为f的逆映射， 记作f -1，

12、其定义域=R f , 值域=X 。 按上述定义， 只有单射才存在逆映射。 上述三例中哪个映射存在逆映射? 设有两个映射 g ： XY 1， f ： Y 2Z, 其中Y 1Y 2. 则由映射g和f可以定出一个从X到Z的对应法则， 它将每个xX映射成fg(x）Z . 显然， 这个对应法则确定了一个从X到Z的映射， 这个映射称为映射g和f构成的复合映射, 记作f o g， 即 f o g： X Z， （f o g）(x）=fg(x)， xX 。 应注意的问题: 映射g和f构成复合映射的条件是: g的值域R g必须包含在f的定义域内, R gD f 。 否则， 不能构成复合映射. 由此可以知道, 映射

13、g和f的复合是有顺序的， f o g有意义并不表示g o f也有意义. 即使f o g与g o f都有意义， 复映射f o g与g o f也未必相同. 例4 设有映射g : R1， 1， 对每个xR, g（x）=sin x， 映射f ： 1， 10, 1， 对每个u-1, 1， 。 则映射g和f构成复映射f o g: R0， 1, 对每个xR， 有 。 三、函数 1。 函数概念 定义 设数集DR， 则称映射f : D R为定义在D上的函数， 通常简记为 y=f（x）， xD, 其中x称为自变量， y称为因变量, D称为定义域, 记作D f， 即D f=D. 应注意的问题： 记号f和f（x）的含

14、义是有区别的, 前者表示自变量x和因变量y之间的对应法则, 而后者表示与自变量x对应的函数值。 但为了叙述方便, 习惯上常用记号“f(x）, xD”或“y=f(x）, xD”来表示定义在D上的函数, 这时应理解为由它所确定的函数f . 函数符号: 函数y=f（x)中表示对应关系的记号f也可改用其它字母， 例如“F”, “j”等。 此时函数就记作y=j （x）， y=F(x）。 函数的两要素： 函数是从实数集到实数集的映射， 其值域总在R内， 因此构成函数的要素是定义域D f及对应法则f 。 如果两个函数的定义域相同， 对应法则也相同， 那么这两个函数就是相同的， 否则就是不同的。 函数的定义域

15、： 函数的定义域通常按以下两种情形来确定: 一种是对有实际背景的函数， 根据实际背景中变量的实际意义确定。 求定义域举例: 求函数的定义域. 要使函数有意义, 必须x0， 且x2 - 40。 解不等式得 x |2。 所以函数的定义域为D=x | x |2, 或D=（, 22, +)。 单值函数与多值函数: 在函数的定义中，对每个xD， 对应的函数值y总是唯一的, 这样定义的函数称为单值函数。 如果给定一个对应法则， 按这个法则, 对每个xD， 总有确定的y值与之对应， 但这个y不总是唯一的， 我们称这种法则确定了一个多值函数。 例如, 设变量x和y之间的对应法则由方程x2+y2=r2 给出。

16、显然， 对每个x-r， r，由方程x2+y2=r2,可确定出对应的y值, 当x=r或x=r时， 对应y=0一个值; 当x取（-r， r）内任一个值时， 对应的y有两个值。 所以这方程确定了一个多值函数。 对于多值函数, 往往只要附加一些条件, 就可以将它化为单值函数, 这样得到的单值函数称为多值函数的单值分支。 例如， 在由方程x2+y2=r2给出的对应法则中, 附加“y0的条件, 即以“x2+y2=r2且y0”作为对应法则， 就可得到一个单值分支； 附加“y0的条件， 即以“x2+y2=r2且y0”作为对应法则, 就可得到另一个单值分支。 表示函数的主要方法有三种： 表格法、图形法、解析法（

17、公式法）, 这在中学里大家已经熟悉. 其中， 用图形法表示函数是基于函数图形的概念， 即坐标平面上的点集 P（x, y）|y=f（x）, xD称为函数y=f(x), xD的图形。 图中的R f 表示函数y=f(x)的值域. 函数的例子： 例. 函数. 称为绝对值函数。 其定义域为D=（-， +）, 值域为R f =0, +)。 例. 函数. 称为符号函数。 其定义域为D=（-， +), 值域为R f =1， 0, 1。 例 设x为任上实数。 不超过x的最大整数称为x的整数部分, 记作 x 。 函数 y = x 称为取整函数。 其定义域为D=（， +）， 值域为R f =Z 。 ， ， p=3,

18、 -1=1, 3。 5=4. 分段函数： 在自变量的不同变化范围中， 对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数. 例. 函数。 这是一个分段函数, 其定义域为D=0, 1（0, +）= 0， +）。 当0x1时， ； 当x1时， y=1+x。 例如； ; f（3)=1+3=4. 2. 函数的几种特性 (1）函数的有界性 设函数f(x）的定义域为D， 数集XD. 如果存在数K1, 使对任一xX, 有f(x)K1， 则称函数f（x)在X上有上界， 而称K1为函数f(x）在X上的一个上界. 图形特点是y=f（x）的图形在直线y=K1的下方。 如果存在数K2, 使对任一xX, 有f(x) K2， 则

19、称函数f(x)在X上有下界, 而称K2为函数f（x）在X上的一个下界。 图形特点是， 函数y=f（x）的图形在直线y=K2的上方。 如果存在正数M, 使对任一xX， 有| f（x) M， 则称函数f(x)在X上有界; 如果这样的M不存在， 则称函数f（x)在X上无界。 图形特点是， 函数y=f（x）的图形在直线y= - M和y = M的之间。 函数f（x)无界, 就是说对任何M， 总存在x1X, 使 f(x） M。 例如 （1）f（x)=sin x在(， +)上是有界的: |sin x1. (2）函数在开区间（0, 1）内是无上界的。 或者说它在(0, 1）内有下界, 无上界。 这是因为， 对

20、于任一M1， 总有x1： , 使 ， 所以函数无上界. 函数在(1， 2）内是有界的. （2）函数的单调性 设函数y = f(x）的定义域为D, 区间I D. 如果对于区间I上任意两点x1及x2, 当x1x2时， 恒有 f(x1） f(x2）, 则称函数f（x)在区间I上是单调增加的。 如果对于区间I上任意两点x1及x2， 当x1N 时的一切xn, 不等式 xna e都成立， 则称常数a 是数列xn的极限， 或者称数列xn收敛于a ， 记为 或xna (n）.如果数列没有极限, 就说数列是发散的。 e 0, $NN+, 当nN时， 有xna|e . 数列极限的几何解释： 例题: 例1. 证明.

21、 分析: xn1=。对于e 0, 要使xn1|0， $N+， 当nN时, 有 xn-1=, 所以。 例2。 证明。 分析: xn0|。 对于e 0, 要使xn00， $N+, 当nN时， 有|xn0=，所以。 例3。 设|q 1， 证明等比数列 1， q ， q2， , qn1， 的极限是0. 分析： 对于任意给定的e 0, 要使 x n-0=| qn10=q| n1e ，只要nlogq|e +1就可以了， 故可取N=logqe +1。证明: 因为对于任意给定的e 0， 存在N= logqe +1, 当nN时， 有 qn10=q| n-1e ，所以. 收敛数列的性质： 定理1（极限的唯一性)

22、数列xn不能收敛于两个不同的极限. 证明: 假设同时有及， 且ab。 按极限的定义， 对于0， 存在充分大的正整数N， 使当nN时, 同时有xna| 及xn-bN 时的一切xn ， 不等式|xna0（或aN时， 有xn0（或xn0的情形证明. 由数列极限的定义， 对， $NN+, 当nN时， 有,从而。 推论 如果数列xn从某项起有xn0(或xn0）， 且数列xn收敛于a， 那么a0(或a0）. 证明 就xn0情形证明. 设数列xn从N1项起， 即当nN 1时有xn0。 现在用反证法证明, 或a N 2时， 有xnN时， 按假定有x n 0， 按定理3有x n0, $NN+， 当nN时， 有x

23、n-ae 。取K=N， 则当kK时， nkkK=N。 于是|aN时， 有xn-ae 0. 是否有xn a （n ）. 2。 如果数列xn收敛, 那么数列xn一定有界。 发散的数列是否一定无界？ 有界的数列是否收敛? 3。 数列的子数列如果发散, 原数列是否发散？ 数列的两个子数列收敛， 但其极限不同， 原数列的收敛性如何？发散的数列的子数列都发散吗？4如何判断数列 1, 1, 1， 1, ， (1）N+1， 是发散的？ 1。 3 函数的极限 一、函数极限的定义 函数的自变量有几种不同的变化趋势: x无限接近x0 : xx0, x从x0的左侧(即小于x0)无限接近x0 : xx0, x从x0的右

24、侧(即大于x0)无限接近x0 : xx0+, x的绝对值|x|无限增大: x, x小于零且绝对值x无限增大: x, x大于零且绝对值x无限增大: x+. 1自变量趋于有限值时函数的极限通俗定义: 如果当x无限接近于x0 , 函数f(x)的值无限接近于常数A， 则称当x趋于x0 时， f（x)以A为极限。 记作f(x）=A或f（x）A（当x）。 分析: 在xx0的过程中, f（x）无限接近于A就是f（x）A能任意小， 或者说， 在x与x0接近到一定程度（比如xx0d, d为某一正数)时， |f（x)A|可以小于任意给定的(小的）正数e ， 即|f（x）-Ae 。 反之， 对于任意给定的正数e , 如果x与x0接近到一定程度（比如x-x0d， d为某一正数）就有f(x）A|e , 则能保证当x x0时, f（x）无限接近于A. 定义1 设函数f（x)在点x0的某一去心邻域内有定义。 如果存在常数A, 对于任意给定的正数e （不论它多么小)， 总存在正数d， 使得当x满足不等式0|x-x0|d 时， 对应的函数值f（x）都满足不等式 |f（x）A0, $d0, 当0x-x0d时, f（x）-Ae