2.1 随机变量及其分布.pdf

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1、2.1 2.1 随机变量及其分布随机变量及其分布一、随机变量的概念一、随机变量的概念二、离散型随机变量二、离散型随机变量三、连续型随机变量三、连续型随机变量四、随机变量的分布函数四、随机变量的分布函数随机变量的概念随机变量的概念 通过对随机试验的观察和研究，可以发现有不少通过对随机试验的观察和研究，可以发现有不少试验结果是直接用试验结果是直接用数值形式数值形式表示的，如骰子的点表示的，如骰子的点数、射击命中次数、灯泡的寿命等数、射击命中次数、灯泡的寿命等;而另外而另外有些试有些试验结果虽然没有用数值表示验结果虽然没有用数值表示,但也可将其与某确定但也可将其与某确定的数字对应起来的数字对应起来，

2、如抛硬币出现的“正面”或“，如抛硬币出现的“正面”或“反面”现象，可以分别计为“反面”现象，可以分别计为“1和“和“0。在讨论随机试验结果时，总可以用一个变量的取在讨论随机试验结果时，总可以用一个变量的取值来表示值来表示.这种用来表示随机事件的变量，由于他这种用来表示随机事件的变量，由于他的取值与某随机事件对应，能否取到某值是随机的取值与某随机事件对应，能否取到某值是随机会而定的，我们称之为会而定的，我们称之为随机变量随机变量.随机变量是研究随机现象的一个重要工具，也是随机变量是研究随机现象的一个重要工具，也是概率论的一个基本概念概率论的一个基本概念.随机变量随机变量定义定义2.1.1(随机变

3、量随机变量)：假如一个变量在数轴上的：假如一个变量在数轴上的取值依赖于随机现象的基本结果，则称此变量为取值依赖于随机现象的基本结果，则称此变量为随机变量随机变量，常用，常用大写字母大写字母X、Y、Z等表示等表示,其取值其取值用用小写小写x、y、z等表示等表示.例例1: 在掷一在掷一枚枚骰骰子子试验中，试用随机变量表示试验中，试用随机变量表示(1)掷出点数恰好为掷出点数恰好为1”;(2)掷出点数为偶数”掷出点数为偶数”; (3)掷出的点数不小于掷出的点数不小于4”这些随机事件”这些随机事件.解：设解：设X为掷出骰子的点数，易知为掷出骰子的点数，易知X的一切可能取的一切可能取值为值为1, 2, 3

4、, 4, 5和和6(每次抛掷前不能预知究竟会出每次抛掷前不能预知究竟会出现几点现几点,故它取值具有随机性故它取值具有随机性),则则X是一随机变量是一随机变量.(1) X=1可表示“掷出点数恰好为可表示“掷出点数恰好为1的随机事件的随机事件.(2) X=2k, k=1,2,3可表示“掷出的点数为偶数”可表示“掷出的点数为偶数”.(3) X 4可表示“掷出的点数不小于可表示“掷出的点数不小于4.4练习练习从有从有2个一级品，个一级品，3个二级品的产品中随机取出个二级品的产品中随机取出3个产个产品，如果用品，如果用X表示取出的产品中是一级品的数表示取出的产品中是一级品的数.求求X的取值，并求相应的概

5、率的取值，并求相应的概率解：解：X可能取值是可能取值是0,1,2. 用用A1,A2表示表示2个一级品个一级品,B1, B2,B3表示表示3个二级品个二级品,从中取出从中取出3个产品的可能情况：个产品的可能情况：B1B2B3 B1B2A1 B1B2A2 B1B3A1 B1B3A2 B2B3A1 B2B3A2 B1A1A2 B2A1A2 B3A1A2即即 X=0 = B1B2B3 X=1 = B1B2A1，B1B2A2，B1B3A1，B1B3A2，B2B3A1，B1B2A2 X=2 = B1A1A2，B2A1A2，B3A1A2 概率值：概率值：P(X=0)=1/10,P(X=1)= 6/10, P

6、(X=2)=3/10。随机变量举例随机变量举例例例2：试用随机变量描述下列随机事件：试用随机变量描述下列随机事件:(l)抛硬币恰好正面抛硬币恰好正面 向上向上;(2)抽检抽检n (n2)个产品不合格品不超个产品不合格品不超过过2个个;(3)某十字路口一分钟内经过的车辆数目超过某十字路口一分钟内经过的车辆数目超过1辆辆;(4)一台电视机的使用寿命超过一台电视机的使用寿命超过10000小时小时.解：解： (1)记硬币正面朝上事件为记硬币正面朝上事件为X=1,正面朝下事件为正面朝下事件为X=0;则则易知易知X为随机变量为随机变量;X=1即表示即表示 “抛硬币恰好正面向上”“抛硬币恰好正面向上”.(2

7、)设抽检出的不合格品数为设抽检出的不合格品数为Y，则，则Y的一切可取值为的一切可取值为0,1,2, .,n，显然，显然Y是一个随机变量是一个随机变量;Y 2即表示“不合格品不超即表示“不合格品不超过过2个”事件个”事件.(3)设某十字路口一分钟内经过的车辆数目为设某十字路口一分钟内经过的车辆数目为Z，则，则Z的一切的一切可取值为可取值为: 1,2,.,n, .，显然，显然Z是一个随机变量是一个随机变量;Z 1即表示即表示“一分钟内经过的车辆数目超过“一分钟内经过的车辆数目超过1辆”事件辆”事件.(4)设一台电视机的使用寿命为设一台电视机的使用寿命为T小时，则小时，则T的一切可能取值的一切可能取

8、值为为0,+ )中的任意实数，显然中的任意实数，显然T是一个随机变量是一个随机变量; T 10000 即表示“该电视机的使用寿命超过即表示“该电视机的使用寿命超过10000小时”的随机事件小时”的随机事件.6随机变量的分类随机变量的分类按随机变量的取值情况，可将其分为两类按随机变量的取值情况，可将其分为两类: :(1) (1) 离散型随机变量离散型随机变量：只可能取有限个或无限可列：只可能取有限个或无限可列个值。个值。(2) (2) 非离散型随机变量非离散型随机变量：可能取任何实数，情况较：可能取任何实数，情况较复杂。复杂。而非离散型随机变量中最常用的为而非离散型随机变量中最常用的为连续型随机

9、变量连续型随机变量（它的值域是一个或若干个区间）。（它的值域是一个或若干个区间）。今后我们主要研究离散型和连续型随机变量。今后我们主要研究离散型和连续型随机变量。7离散型随机变量的概率分布离散型随机变量的概率分布定义定义2.1.2：如果随机变量如果随机变量X只能取只能取有限个或可列个有限个或可列个可可能值能值,这些取值依次记为这些取值依次记为x1, x2, xn，且这些不同，且这些不同取值取值的概率是确定的的概率是确定的,记记pn=P(X =xn) (n=1,2,);则则称称X为为离散型离散型随机变量，随机变量，而这组概率而这组概率pn称为随机变量称为随机变量X的的概率函数概率函数,又称又称X

10、的的概率分布、分布概率分布、分布律、分布列律、分布列。其中其中 X = x1, X = x2, , X = xn, 构成一完备事构成一完备事件组。因此件组。因此概率函数具有如下性质概率函数具有如下性质:(1)1,2,.(2)01nnnppn8概率分布表概率分布表(分布列、分布律分布列、分布律)为直观起见，将随机变量的可能取值及相应概率排为直观起见，将随机变量的可能取值及相应概率排列成列成概率分布表概率分布表如下：如下：Xx1x2xnPp1p2pn一般所说的离散型随机变量的一般所说的离散型随机变量的分布分布就是指它的就是指它的概率概率函数或概率分布表函数或概率分布表. .概率函数的两个性质中的性

11、质概率函数的两个性质中的性质(2)(2)经常在解题中构经常在解题中构成解方程的一个条件成解方程的一个条件. . .(请记请记住!)9课堂练习课堂练习2232( ),1,2,3,42(2)( ),0,1,2,3,425(3)( )2 ,1,2, ,xxp xxxpxxp xxn1检查下面的数列是否能组成一个概率分布：(1)10例题与解答例题与解答袋中有袋中有5张卡片，其中标有数字张卡片，其中标有数字2的有的有1张，标有数张，标有数字字1及及3的卡片各有两张。从袋中一次随机抽取的卡片各有两张。从袋中一次随机抽取3张，张，用用X表示取到的表示取到的3张卡片上的最大数字。求张卡片上的最大数字。求X的分

12、布。的分布。解：解：X只能取只能取2或或3两个值两个值. X23P0.10.93511(2)10P XC12212323359(3)10C CC CP XC(3)1(2)P XP X 更简单因此，X的分布列为11例题与解答例题与解答例例1 一批产品的废品率为一批产品的废品率为5%, 从中任意抽取从中任意抽取一个一个进进行检验行检验, 用随机变量用随机变量X来描述废品出现的情况来描述废品出现的情况. 并写并写出出X的分布的分布.解解 用用X表示出现废品的情况表示出现废品的情况, 则它只能取则它只能取0或或1两个两个值值. X=0表示“产品为合格”表示“产品为合格”, X=1 表示“产品表示“产品

13、为废品”为废品”, 则概率分布表如下则概率分布表如下X01P0.950.05即即P(X =0)=0.95, P(X =1)=0.05, 或可写为：或可写为：P(X =k)=0.05k0.951-k(k=0,1)12两点分布两点分布两点分布两点分布: 只有两个可能取值的随机变量只有两个可能取值的随机变量X所服从的所服从的分布分布, 称为两点分布。其概率函数为：称为两点分布。其概率函数为：P(X=xk)=pk(k=1,2)。亦称。亦称X服从两点分布服从两点分布。概率分布表为概率分布表为:Xx1x2Pp1p2xp1p2x1x2概率分布图为：概率分布图为：130-1分布分布0-1分布分布: 只取只取0

14、和和1两个值的随机变量所服从的分布两个值的随机变量所服从的分布称称(参数为参数为p的的)为为0-1分布分布. 其概率函数为：其概率函数为：P(X =k)=pk(1-p)1-k(k=0,1)概率分布表为概率分布表为:X01P1-pp概率分布图为：概率分布图为：x1pp011服从服从0 0- -1 1分布分布的随机变量所的随机变量所描述的试验称描述的试验称伯努利试验。伯努利试验。( (试验结果两试验结果两状态状态) )14例题与解答例题与解答例例2 产品有一产品有一,二二,三等品及废品三等品及废品4种种, 其一其一,二二,三等品三等品率和废品率分别为率和废品率分别为60%, 10%, 20%, 1

15、0%, 任取一个任取一个产品检验其质量产品检验其质量, 用随机变量用随机变量X 描述检验结果并画出描述检验结果并画出其概率函数图其概率函数图.解解 令“令“X=k与产品为与产品为k等品等品(k=1,2,3)相对应相对应, X=0与产品为与产品为废品废品相对应相对应. X是一个随机变量是一个随机变量, 它可以取它可以取0,1,2,3这这4个值个值. 依题意依题意,P(X=0)=0.1P(X=1)=0.6P(X=2)=0.1P(X=3)=0.2则可列出概率分布表并画出概率分布图则可列出概率分布表并画出概率分布图:15续上页续上页(概率分布表及概率分布图概率分布表及概率分布图)X0123P0.10.

16、60.10.2x01230.11pX的分布律：的分布律：X的概率分布图：16例题与解答例题与解答例例3 用随机变量描述掷一颗骰子的试验情况用随机变量描述掷一颗骰子的试验情况解解 令令X表示掷一颗骰子出现的点数表示掷一颗骰子出现的点数, 它可取它可取1到到6共共6个自然数个自然数, 相应的概率都是相应的概率都是1/6, 列成概率分布表和概列成概率分布表和概率分布图如下：率分布图如下： (离散型均匀分布特例特例)X123456P1/61/61/61/61/61/661P0123456x18例题与解答例题与解答例例4 社会上定期发行某种奖券社会上定期发行某种奖券, 每券每券1元元, 中奖率为中奖率为

17、p, 某某人每次购买人每次购买1张奖券张奖券, 如果没有中奖下次再继续购买如果没有中奖下次再继续购买1张张, 直到中奖为止直到中奖为止. 求该人购买次数求该人购买次数X的分布的分布.解解 “X =1表示第一次购买的奖券中奖表示第一次购买的奖券中奖, 依题意：依题意： P(X =1)=pX =2表示购买两次奖券表示购买两次奖券, 但第一次未中奖但第一次未中奖, 其概率为其概率为1-p, 而第二次中奖而第二次中奖, 其概率为其概率为p. 由于各期奖券中奖与否由于各期奖券中奖与否相互独立相互独立, 所以：所以：P(X =2)=(1-p)p;X =i表示购买表示购买i次次, 前前i-1次都未中奖次都未

18、中奖, 而第而第i次中奖次中奖, 所以：所以： P(X =i)=(1-p)i-1p由此，得到由此，得到X的概率函数为：的概率函数为：P(X =i)=p(1-p)i-1(i=1,2,)19几何分布几何分布上例中，随机变量上例中，随机变量X的分布为的分布为P(X =i)=p(1-p)i-1(i=1,2,)这类分布称这类分布称几何分布几何分布,此时也称随机变量服从几何分布。此时也称随机变量服从几何分布。这是因为：这是因为：p(1-p)i-1恰是几何级数恰是几何级数的通项。11) 1(,iipqpq11,11ppqppqii显然为：这种几何级数的级数和20几何分布描述的典型问题几何分布描述的典型问题假

19、定一个试验成功的概率概率为假定一个试验成功的概率概率为p(0p5年年、还是、还是X5年零年零1分钟分钟、或是、或是X5年年？几何中可以用点的“长度”、“面积”来度量线段几何中可以用点的“长度”、“面积”来度量线段长度、矩形面积吗？长度、矩形面积吗？不能不能！例：例：(打靶问题打靶问题)假定靶板假定靶板U上每一点被击中的可能性上每一点被击中的可能性相同，求打中区域相同，求打中区域A内的概率内的概率和打中点和打中点B的概率？的概率？UA. B区域A是有无数点组成的，能否用点的概率来度量事件A的概率？不能！()AP AU的面积的面积()0BP BU的 面 积的 面 积23连续型随机变量与概率密度连续

20、型随机变量与概率密度定义定义2.1.3：对于随机变量：对于随机变量X，若存在非负可积函数，若存在非负可积函数f(x)，(- x+ )，使对任意实数，使对任意实数a,b (ab)都有都有则称则称X为连续型随机变量，为连续型随机变量， f(x)为为X的的概率密度函概率密度函数数，简称，简称概率密度概率密度或或分布密度分布密度。简记为。简记为X f(x)，(- x+ )。对连续型随机变量而言，概率对连续型随机变量而言，概率的几何意义是分布密度函数曲线的几何意义是分布密度函数曲线下方的面积下方的面积 。24概率密度函数的两个性质概率密度函数的两个性质连续型的概率非负性和概率完备性表现为连续型的概率非负

21、性和概率完备性表现为（1）非负性）非负性 ：f(x) 0，(- x + )；（2）正则性）正则性：.1)(dxxfx0f(x)( )1f x dx25例题与解答例题与解答例例6 若若X有概率密度有概率密度试求试求f(x)和和Pc X d,其中其中c,d a,b。解解( )00()11()1,( )01( )ababddccf x dxdxdxdxbaaxbabbaf xbadcP cXdf x dxdxbaba则因此其它26均匀分布均匀分布则称则称X在在a, b上服从均匀分布上服从均匀分布;记作记作 XU(a, b) 。1,( )0axbXf xba若，其它。0ab) x ( fxaXb “也

22、可以”(a,b)内由前例可知，均匀分布随机变量的概率意义是，由前例可知，均匀分布随机变量的概率意义是，它在取值区间它在取值区间a,b上任何一个子区间取值的概率，与上任何一个子区间取值的概率，与该子区间长度成正比，与子区间在该子区间长度成正比，与子区间在a,b中位置无关中位置无关，比例系数恰好是比例系数恰好是1/(b-a)。27注意注意由连续型随机变量定义可知：由连续型随机变量定义可知：对任何实数对任何实数c，P(X=c)=0.即：即：连续型随机变量取任连续型随机变量取任何一个数值的概率都为零何一个数值的概率都为零。在讨论连续型随机变量在讨论连续型随机变量X在某区间上取值情况时，在某区间上取值情

23、况时，因区间端点的概率值总是零，故因区间端点的概率值总是零，故对连续型随机变量对连续型随机变量不必区分取值区间的开与闭不必区分取值区间的开与闭。即即: P(aXb)=P(a Xb)=P(a2),P(Xa2+2|Xa2) (a任意任意实数实数)。解：由概率密度性质解：由概率密度性质2，有，有。，得212/)(02dxedxxfx24222)()2(edxedxxfXPx30续上页续上页因为因为事件事件(Xa2+2) 事件事件(Xa2) ，所以所以P(Xa2+2，Xa2) = P(Xa2+2) 。因此。因此，)()2,()|2(22222aXPaXaXPaXaXP222222222)()2(axa

24、xdxedxeaXPaXP222(2)42aaeee.31练习练习3设连续型随机变量设连续型随机变量X的密度函数为的密度函数为f(x)=000exxkx(1)确定系数确定系数k,(2)求概率求概率P(X1),(3)求概率求概率P(-11)=e1P(-1X2) =21d )(xxf=01d0 x+20dexx=1-e232分布函数分布函数定义定义 2.5：若：若X是任意一个随机变量是任意一个随机变量(可以是离散型的可以是离散型的, 也可以是非离散型的也可以是非离散型的), 对任何实数对任何实数x,称函数称函数F(x)=P(X x), - x 是随机变量是随机变量X的分布函数的分布函数。分布函数分

25、布函数F(x)是在区间是在区间(- , x内的“累积概率”内的“累积概率”，不要与单点概率混淆。不要与单点概率混淆。分布函数是概率论中重要研究工具分布函数是概率论中重要研究工具,可用于描述包括可用于描述包括离散型和连续型在内的一切类型随机变量离散型和连续型在内的一切类型随机变量。易知，对任意实数易知，对任意实数a, b (ab), P(aX b)P(X b)P(X a) F(b)F(a)即即已知已知X的分布函数的分布函数F(x), 就能知道就能知道X在任何一个区在任何一个区间上取值的概率间上取值的概率, 从这个意义上说从这个意义上说, 分布函数完整地分布函数完整地描述了随机变量的变化情况描述了

26、随机变量的变化情况。33例例1中的分布函数中的分布函数在例在例1中中X的概率分布如下表所示的概率分布如下表所示:X01P0.950.05其分布函数为：其分布函数为：111095. 000)()(xxxxXPxF34例例3 掷掷骰子骰子的的分布函数分布函数F(x)5,.,2, 1(611610)(kxkxkkxxXPxF0 1 2 3 4 5 6x61概率分布图概率分布图01 2 3 4 5 6 x611F(x)分布函数图分布函数图350-1分布的分布函数及图分布的分布函数及图1110100)()(xxpxxXPxFx1pp011概率分布图概率分布图x1p011F(x)分布函数图分布函数图36均

27、匀分布的分布函数图均匀分布的分布函数图均匀分布密度函数为均匀分布密度函数为其它0)(1)(babxaabxf0abxf(x)ab 137均匀分布的分布函数图均匀分布的分布函数图(续续)当当xa时时0abxf(x)ab100)(xdtxFx38均匀分布的分布函数图均匀分布的分布函数图(续续)当当axb时时0abxf(x)ab111010)(|abababdtdtabdtxFbaxbbaax40均匀分布的分布函数图均匀分布的分布函数图(续续)综上所述综上所述, 最后得分布函数为最后得分布函数为bxbxaabaxaxxF10)(0abxF(x)1注注：连续型连续型随随机变量的分布机变量的分布函数是函

28、数是连续的连续的, ,图形为图形为连续连续曲线曲线；离散型离散型随机变量分布随机变量分布函数的图形函数的图形一一般般为为阶梯曲线阶梯曲线。41分布函数的基本性质分布函数的基本性质(1) F(x) 单调不降；单调不降；(2) 有界：有界：0 F(x) 1，对一切对一切x成立成立(3) F()=0, F(+ )=1；(4) F(x)至多有可列个间断点，在间断至多有可列个间断点，在间断点处右连续点处右连续.,(0)( )xF xF x121212,;xxxxF xF x 即对且都有注注：具有这具有这样四个性质样四个性质的实函数，的实函数，必是某个随必是某个随机变量的分机变量的分布函数。布函数。故该四

29、故该四个性质是分个性质是分布函数的布函数的充充分必要性质分必要性质。42分布函数与概率函数分布函数与概率函数(离散型离散型)关系关系这是因为在一般的公式中这是因为在一般的公式中, 要考虑要考虑x1,x2,并非按从小并非按从小到大的次序排列的可能性到大的次序排列的可能性.若分布函数为若分布函数为F(x),则概率函数为则概率函数为pk=P(X=xk)=F(xk)-F(xk-0) (k=1,2,3,)xxkkkkkpxFkpxXP:)(:,.)3 , 2 , 1()(:则分布函数若概率函数43例题与解答例题与解答已知已知r.v. X的分布函数为的分布函数为0, 10.2, 12( )0.6, 231

30、, 3xxF xxx0123xF(x)0.20.61解：由解：由F(x)的形式和图像可知，的形式和图像可知， X为离散型随机变为离散型随机变量，且仅取量，且仅取1，2，3三个值。三个值。P(X=1) = F(1) F(1-0) = 0.2 P(X=2) = F(2) F(2-0) = 0.60.2 = 0.4 P(X=3) = F(3) F(3-0) = 10.6 = 0.4 求求X的概率分布列。的概率分布列。X123P0.2 0.4 0.4因此，因此，r.v. X的概率分布列为的概率分布列为44分布函数与分布密度分布函数与分布密度(连续型连续型)关系关系对对任意实数任意实数b，若，若X f(

31、x)，(- x )，则，则P(X=b)0。于是于是badxxfaFbFaXPbXPbXaPbXaPbXaPbXaP)()()()()()()()()()()(xfdxxdF若x是f(x)的连续点，则若X f(x)，(-x ) ，则xdxxfxXPxF)()()(45例题与解答例题与解答例例9：设：设X的分布函数为的分布函数为求求f(x)。解：解：0211021)(xexexFxxxexFxfx21)()(,0 时当10, ( )( )2xxf xF xe当时0021)(xexexfxx46例题与解答例题与解答重点题型重点题型例例10:设随机变量设随机变量X的概率密度为的概率密度为其他02121

32、0)(xxxxxf求求1) X分布函数分布函数F(x),2)P0.5 X1.5)。解解:1) 00)()(,0 xdtxXPxFx时当200210)0()0()(,10 xtdtdtxXPXPxFxx时当122222)2(0)1 () 10()0()(,212121021100 xxtttdtttdtdtxXPXPXPxFxxx时当47续上页续上页所以，分布函数为：所以，分布函数为：10)2 (0)2 () 21 () 10 () 0()(,2102120 xdtdtttdtdtxXPXPXPXPxFx时当21211212102100)(22xxxxxxxxF48续上页续上页2) P(0.5

33、X1.5) =P(0.5X 1.5)=F(1.5)-F(0.5)=7/8 1/8=6/8=3/45 . 15 . 04/3)()5 . 15 . 0(dxxfXP也可以：49例题与解答例题与解答例例11：设随机变量：设随机变量X只能取一个值只能取一个值c，即，即P(X=c)=1 (此时，称此时，称X服从“服从“退化分布退化分布”) 求求X的分布函数。的分布函数。解：由分布函数与概率函数的关系可知：解：由分布函数与概率函数的关系可知：cxcxxF10)(F(x)xc1注：当变量注：当变量X服从退化分布时，实际上它已经是确定服从退化分布时，实际上它已经是确定性变量了；为了方便分析分析我们将它看成随

34、机变量性变量了；为了方便分析分析我们将它看成随机变量的极端特例。的极端特例。50例题与解答例题与解答例例12：已知连续型随机变量：已知连续型随机变量X的分布函数为的分布函数为F(x)=A+Barctanx 。试确定。试确定A、B及及f(x)。解：由分布函数性质解：由分布函数性质3，可知，可知F(- )=A-( /2)B=0, F( )=A+( /2)B=1得得A=1/2，B=1/ 。所以由分布函数与分布密度的关系，得所以由分布函数与分布密度的关系，得)1(1)()(2xxFxf注：具有上述分布的随机变量亦称服从“注：具有上述分布的随机变量亦称服从“柯西分布柯西分布”。”。51练习练习其它020

35、1)(xkxx求系数求系数k及分布函数及分布函数F(x), 并计算并计算P(1.5X2.5)例：已知连续型随机变量例：已知连续型随机变量X有概率密度有概率密度52练习解答练习解答解：因为解：因为020222200( )0(1)01221212|f x dxdxkxdxdxkxxkk 解得53续上页续上页(1)则则 f(x) 及其图形如下及其图形如下其它02012)(xxxf120 xf(x)计算分布函数下面用公式xdttfxF)()(54续上页续上页(2)当当x0时时,00)(xdtxFx120 xf(x)55续上页续上页(3)当当0 x2时时,12140) 12(0)(|202022200t

36、tdtdttdtxFxx120 xf(x)57续上页续上页(5)综合前面最后得综合前面最后得2001( )02412xF xxxxx120 xF(x)58续上页续上页(6)将概率密度函数将概率密度函数f(x)与分布函数与分布函数F(x)对照对照120 xf(x)120 xF(x)59续上页续上页(7)根据概率密度函数和分布函数分别计算概率根据概率密度函数和分布函数分别计算概率P(1.5X2.5)(1)根据分布函数计算根据分布函数计算:P(1.5X2.5)= P(1.5X 2.5)=F(2.5) F(1.5)=1 (1.52/4)+1.5=1 0.9375=0.0625(2)根据概率密度函数进行计算则是根据概率密度函数进行计算则是0625.05.05625.0140)12()(5.25.1|5.2225.125.2225.15.25.1xxdxdxxdxxfXP60续上页续上页(8)用两种方法计算用两种方法计算P(1.5X2.5)的的示意图示意图120 xf(x)1.52.50.0625120 xF(x)1.50.06252.5作作 业业37页页39页页（2）（10）（14）