5-2 点估计的评价标准.pdf

《5-2 点估计的评价标准.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《5-2 点估计的评价标准.pdf（11页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、第5章参数估计5.1 5.1 点估计点估计5.2 5.2 点估计的评价标准点估计的评价标准5.3 5.3 区间估计区间估计15.25.2 点估计的评价标准点估计的评价标准一、相合性一、相合性( (一致性一致性) )二、无偏性二、无偏性三、有效性三、有效性四、均方误差四、均方误差2 1一、相合性一、相合性( (一致性一致性) )我们知道我们知道，点估计是一个统计量点估计是一个统计量，因此它是一因此它是一个随机变量个随机变量，在样本量一定的条件下在样本量一定的条件下，不可能要不可能要求它完全等同于参数的真实取值求它完全等同于参数的真实取值. .但如果我们有足够的观测值但如果我们有足够的观测值，根据

2、格里纹科定根据格里纹科定理理，随着样本量的不断增大随着样本量的不断增大，经验分布函数逼近经验分布函数逼近真实分布函数真实分布函数，因此可以要求因此可以要求估计量随着样本量估计量随着样本量的不断增大而逼近参数真值的不断增大而逼近参数真值，这就是这就是相合性相合性. .1. 定义定义（相合性相合性）:设设为未知参数为未知参数,是是 的一个的一个估计量估计量, n 是样本容量是样本容量, 若对任何一个若对任何一个, 有有则称则称为为 的的相合估计相合估计. ),(1nnnxx 0 0)|-(|lim nnPn 相合性被认为是对估计的一个相合性被认为是对估计的一个最基本要求最基本要求, 如果一个估如果

3、一个估计量在样本量不断增大时计量在样本量不断增大时, 不能把被估参数估计到任意不能把被估参数估计到任意指定的精度指定的精度, 那么这个估计是很值得怀疑的那么这个估计是很值得怀疑的.通常通常, 不满不满足相合性要求的估计一般不予考虑足相合性要求的估计一般不予考虑.2. 性质性质（相合性相合性）:若若是是 的的相合估计相合估计, , =g( )是是 的的连续函数连续函数, ,则则是是 的相合估计的相合估计. .n )(nng 由大数定律知由大数定律知, ,矩估计一般都具有相合性矩估计一般都具有相合性. .例如例如: :(1) 样本均值样本均值是是总体均值总体均值的相合估计的相合估计;(2) 样本标

4、准差样本标准差是是总体标准差总体标准差的相合估计的相合估计;(3) 样本变异系数样本变异系数是是总体变异系数总体变异系数的相合估计的相合估计.二、无偏性二、无偏性定义定义（无偏性无偏性）:设设是是 的一个估计的一个估计, 如果如果则称则称是是 的的无偏估计无偏估计, 否则称为否则称为有偏估计有偏估计.),(1nxx )(E 无偏性的要求可改写为无偏性的要求可改写为, , 这表示无偏估计没有这表示无偏估计没有系系统偏差统偏差. .当我们使用当我们使用估计估计时时, ,由于样本的随机性由于样本的随机性, , 与与总是有偏差的总是有偏差的. .无偏性表示无偏性表示, , 把这些偏差平均起来其值把这些

5、偏差平均起来其值为为0 0, , 这就是无偏估计的含义这就是无偏估计的含义. .若估计是有偏的若估计是有偏的, , 则无论则无论使用多少次使用多少次, , 其平均值与参数真值必有一定的距离其平均值与参数真值必有一定的距离, , 这这个距离就是个距离就是系统偏差系统偏差. .0)( E 例例1:设设是来自正态总体是来自正态总体的样本的样本, 试证试证:(1)是是 的无偏估计的无偏估计;(2)是是的无偏估计的无偏估计.nXX,1)(2 ,N 2 niiXnX11 niiXXnS122)(11证明证明: niiXnE11)(XE(1)(11 niiXEn 故故是是的无偏估计的无偏估计. .X (2)

6、(2SE niiXXEn12)(11 21211XnXEnnii 221XEEXnn 2 三、有效性三、有效性参数的无偏估计可以有很多参数的无偏估计可以有很多, , 如何在无偏估计中进行如何在无偏估计中进行选择选择? ? 直观的想法是直观的想法是, , 希望该估计围绕参数真值波动范希望该估计围绕参数真值波动范围越小越好围越小越好. .随机变量波动的大小可以用其方差来衡量随机变量波动的大小可以用其方差来衡量, , 因此人们因此人们常用常用无偏估计的方差无偏估计的方差作为度量无偏估计优劣的标准作为度量无偏估计优劣的标准, , 这这就是有效性就是有效性. .定义定义（有效性有效性）:设设是是 的两个

7、的两个无偏估计无偏估计, 如果如果则称则称比比更更有效有效.21 ,)()(21 DD 1 2 解解:)(1XE )(1 E(1) (2)例例2: 设设是来自某总体是来自某总体, 记总体均值为记总体均值为, 总体总体方差为方差为, 比较比较的有效性的有效性.nXX,1 2 X,X 211 )(XE )(2 E )(1 D)(1XD 2 )(XD )(2 Dn2 (3)当当 n1时时，)()(12 DD 故故比比更有效更有效.11X X 2 四、均方误差四、均方误差定义定义（均方误差均方误差）:设设是是 的估计的估计, 定义定义为为的的均方误差均方误差. 2)E()MSE( 注注：1 1. .均

8、方误差度量了点估计值均方误差度量了点估计值 与参数真值与参数真值 的的距离平方距离平方的期望的期望. .2 2. .均方误差是评价点估计的最一般的标准均方误差是评价点估计的最一般的标准，均方误差均方误差越小越好越小越好. . 注注（续续）：3 3. .均方误差与方差的关系为均方误差与方差的关系为：4 4. .(1)若若 是是 的的无偏无偏估计估计，则则，这说明用方差考察无偏估计有效性是合理的这说明用方差考察无偏估计有效性是合理的. .(2)若若 是是 的的有偏有偏估计估计，应该用其均方误差应该用其均方误差衡量其准确度衡量其准确度. .5 5. .以均方误差为标准以均方误差为标准，无偏估计不一定比有偏估计更无偏估计不一定比有偏估计更优优. .2)(E)D()MSE( )D()MSE( )MSE(