2.3 随机变量的数字特征.pdf

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1、2.3 随机变量的数字特征随机变量的数字特征一、数学期望一、数学期望二、方差二、方差三、切比晓夫不等式三、切比晓夫不等式四、矩四、矩2为何研究数字特征？为何研究数字特征？(1) 在实际工作中，求随机变量的分布函数在实际工作中，求随机变量的分布函数F(x) 不易，不易，人们更关心的是用一些人们更关心的是用一些数字特征数字特征来表示随机变量的来表示随机变量的主要特点；主要特点；(2) 若根据经验知道随机变量服从某类分布，则由某些若根据经验知道随机变量服从某类分布，则由某些数字特征可以确定分布函数。数字特征可以确定分布函数。注：注：最常用的数字特征为最常用的数字特征为数学期望数学期望和和方差方差。3

2、1654年年, 一个名叫梅累的法国贵族就“两个赌一个名叫梅累的法国贵族就“两个赌徒约定赌若干局徒约定赌若干局, 且谁先赢且谁先赢 c 局便算赢家局便算赢家, 若在一若在一赌徒胜赌徒胜a局局 (ac), 另一赌徒胜另一赌徒胜b局局(bc)时便终止时便终止赌博赌博, 问应如何分赌本”问应如何分赌本” 为题求教于帕斯卡为题求教于帕斯卡, 帕帕斯卡与费马通信讨论这一问题斯卡与费马通信讨论这一问题, 于于1654 年共同年共同建立了概率论的第一个基本概念建立了概率论的第一个基本概念 数学期望。数学期望。问题的提出问题的提出2.3.1 数学期望数学期望4为评价射击运动员甲的射击技术，随机观察甲为评价射击运

3、动员甲的射击技术，随机观察甲的的20次射击，统计各次击中环数次射击，统计各次击中环数xk和频数和频数k如如下表，下表， 求甲每次射击击中的平均环数（其中求甲每次射击击中的平均环数（其中N=k=20）。）。击中环数击中环数xk8910频数频数k6104频率频率fk=k/N6/2010/204/20引例引例5计算平均值计算平均值解：解：这是一般的求平均数的问题，此时这是一般的求平均数的问题，此时869 1010420 x频率频率()/kkkxxN,kkkx fx610489108.9202020写成一般形式是：写成一般形式是：称为统计平均值。称为统计平均值。6引例的启发引例的启发统计平均值是一个随

4、机变量，当试验次数统计平均值是一个随机变量，当试验次数N趋向于趋向于无穷时，频率无穷时，频率fk稳定于概率稳定于概率pk， 此时此时 kkkkkkx fx p稳定于，随机变量随机变量确定的值确定的值7设离散型随机变量设离散型随机变量X的概率分布列为：的概率分布列为：若若级数级数1nnnpx绝对收敛，则称该级数为绝对收敛，则称该级数为X的数学期望或均值的数学期望或均值记作记作，即，即1()nnnE Xx p形式上形式上E(X)是是X的各可能取值的加权平均，实质上的各可能取值的加权平均，实质上也确实刻画了也确实刻画了X取值的真正“平均”。取值的真正“平均”。一、离散型随机变量的数学期望一、离散型随

5、机变量的数学期望定义定义2.3.1()nnnP Xxp()E X8关于关于定义的定义的注解注解1nnnpx(1) 定义定义1中要求中要求绝对收敛的目的：绝对收敛的目的：1 nnnx p(2) 何时需要先讨论何时需要先讨论1nnnpx是否绝对收敛？是否绝对收敛？ . . r v X(3)数学期望是数学期望是X的各个取值的各个取值xi以它们的概率为权的以它们的概率为权的加权平均。随机变量的数学期望不一定都存在。加权平均。随机变量的数学期望不一定都存在。E(X)存在，则其值是一个确定的数。存在，则其值是一个确定的数。数学期望是一个确定的量，数学期望是一个确定的量，的值不受求和的值不受求和项先后次序排

6、列的影响。项先后次序排列的影响。的取值有正又又负，且可取无穷多个值时。的取值有正又又负，且可取无穷多个值时。当当9数学期望的力学解释数学期望的力学解释在坐标轴上在坐标轴上的的等等点处放置质量点处放置质量为为的质点的质点, 则数学期望处为整个质量体系的重心。则数学期望处为整个质量体系的重心。x1x2x3p1p2p3E(X)12,nXXX12,np pp10例题与解答例题与解答解：解：这表明这表明, 如多次射击如多次射击, 他们得分的平均值分别是他们得分的平均值分别是2.1和和2.2, 故乙射手较甲射手的技术好。故乙射手较甲射手的技术好。x x123P0.4 0.1 0.5h h123P0.1 0

7、.6 0.3例例1 甲乙两名射手在一次射击中得分甲乙两名射手在一次射击中得分(分别用分别用x, hx, h表示表示)的分布律如下表所示的分布律如下表所示, 试比较甲、乙两射手的技术。试比较甲、乙两射手的技术。( )1 0.42 0.1 3 0.52.1Ex ( )1 0.1 2 0.63 0.32.2Eh 11例题与解答例题与解答例例2 设设 P(X=(-1) k 2k/k)= 1/2k, k=1,2,. ,求求E(X)。解：解：1 |kkkxp1() kkkE Xx p调和级数调和级数 ( )E X12112kkkkk()111kkk()11kk ln2. 不存在。不存在。12()8,E X

8、 2 . 0,13 . 05 . 0 aa33()4 0.56 0.30.2821E Xxx 。课堂练习课堂练习解：解：已知已知X的概率函数为的概率函数为求求x3和和a.X46x3P0.50.3a13连续型随机变量的数学期望连续型随机变量的数学期望设连续型随机变量设连续型随机变量X的密度函数为的密度函数为.xkxk+1xk+2xk1xk2f(xk) xk xk离散化思想：离散化思想：(1) 设设r.v. X的取值区间为的取值区间为a, b , 将将a, b作分割：作分割：a=x0 x1 xn=b,1()()kkkkP xXxf xxkx( ).f x充分小时，14数学期望的计算数学期望的计算此

9、时，相应的离散型随机变量的数学期望为此时，相应的离散型随机变量的数学期望为1()nkkkkx f xx()( )E Xxf x dxmaxkx当0时，1()nkkkkx f xx( )baxf x dx()E X1()kkkx P Xx(2) 若若r.v. X的取值区间为的取值区间为(-, +)，则，则15连续型随机变量的数学期望连续型随机变量的数学期望定义定义 3.2.2设连续型随机变量设连续型随机变量X有概率密度有概率密度f(x), 若若积分积分( )xf x dx绝对收敛，则称：绝对收敛，则称：为连续型随机变量为连续型随机变量X的的数学期望数学期望。()( )E Xxf x dx数学期望

10、反映了连续型随机变量的平均取值。数学期望反映了连续型随机变量的平均取值。16关于定义关于定义3.2.2的注解的注解(1) 定义定义2中要求中要求绝对收敛的目的绝对收敛的目的1 nnnx p(2) 何时需要先讨论何时需要先讨论是否绝对收敛？是否绝对收敛？(,) ( )xf x dx( )xf x dx与离散情形要求与离散情形要求绝对收敛的目的一致。绝对收敛的目的一致。当随机变量当随机变量X的取值区间为的取值区间为时。时。17例题与解答例题与解答例例3 设设XUa, b ，求，求X的数学期望的数学期望E(X)。其它0,1)(baxabxf则则()( )E Xxf x dx1baxdxba2112b

11、xaba2ba 解：解：因而均匀分布数学期望位于区间的中点。因而均匀分布数学期望位于区间的中点。18例题与解答例题与解答例例4 柯西柯西( (Cauchy)分布的密度函数为分布的密度函数为21( ), , (1)p xxx 20| | ( )2(1)xx p x dxdxx求求X的数学期望的数学期望EX 。解：解：, 2()( )(1)xE Xxp x dxdxx0,所以其数学期望不存在。所以其数学期望不存在。19,01( ),0,()0.75,0,kxxXf xkE Xk，又已知求的值。其他( )1 ,( )0.75f x dxxf x dx75. 0,11010 dxkxxdxkx 75.

12、 0211102101 xkxk即即 75. 0211 kk2,3 k例题与解答例题与解答解：解：例例5 20,01( )2,12,().0,xxXf xxxE X已知求其他 2110)2()()(dxxxxdxxdxxxfXE3 123201111.33xxx课堂练习课堂练习解：解：21问题的提出：问题的提出：设已知随机变量设已知随机变量X的分布，我们需要计算的不是的分布，我们需要计算的不是X的期望，而是的期望，而是X的某个函数的期望，比如说的某个函数的期望，比如说g(X)的期望，的期望，那么应该如何计算呢？那么应该如何计算呢？一种方法是，因为一种方法是，因为g(X)也是随机变量，故应有概也

13、是随机变量，故应有概率分布，它的分布可以由已知的率分布，它的分布可以由已知的X的分布求出来。一的分布求出来。一旦我们知道了旦我们知道了g(X)的分布，就可以按照期望的定义把的分布，就可以按照期望的定义把Eg(X)计算出来。计算出来。随机变量函数的数学期望随机变量函数的数学期望22那么是否可以不先求那么是否可以不先求g(X)的分布而只根据的分布而只根据X的的分布求得分布求得Eg(X)呢？呢？下面的定理指出，答案是肯定的。下面的定理指出，答案是肯定的。使用这种方法必须先求出随机变量函数使用这种方法必须先求出随机变量函数g(X)的的分布，一般是比较复杂的。分布，一般是比较复杂的。23定理定理2.3.

14、1 设设Y=g(X)是随机变量是随机变量X的函数的函数, 如果随机如果随机变量变量 g(X)的数学期望存在的数学期望存在, 则则注：注：因为求因为求g(X)的分布经常是不容易的的分布经常是不容易的, 上述关于随上述关于随机变量函数机变量函数g(X)的数学期望公式无须求的数学期望公式无须求g(X)的分布，的分布，因此极大地简化了数学期望的计算。因此极大地简化了数学期望的计算。1()()(,( )( ),)kkkpXE YEf xg xg Xg xdxX当 为离散型当 为连续型随机变量函数的数学期望随机变量函数的数学期望求解：解：X0 1 2P 1/2 1/4 1/4例题与解答例题与解答例例6 设

15、随机变量设随机变量X的概率分布列为：的概率分布列为：2(2).E X 2(2).E X 222111(02)(12)(22)24436131.444 25假设一部机器在一天内发生故障的概率是假设一部机器在一天内发生故障的概率是0.2，机器发生故障时全天停止工作。若一周机器发生故障时全天停止工作。若一周5个工作个工作日里无故障，可获利润日里无故障，可获利润10万元；发生一次故障万元；发生一次故障仍可获利润仍可获利润5万元；发生两次故障所获利润万元；发生两次故障所获利润0万万元；发生三次或三次以上故障就要亏损元；发生三次或三次以上故障就要亏损2万元。万元。求一周内期望利润是多少？求一周内期望利润是

16、多少？解：解：设设X表示一周表示一周5天内机器发生故障的天数，则天内机器发生故障的天数，则kkkCkXP 558 . 02 . 0)(328. 08 . 0)0(5 XP410. 08 . 02 . 0)1(415 CXP例题与解答例题与解答例例7 26205. 08 . 02 . 0)2(3225 CXP057. 0)2()1()0(1)3( XPXPXPXP以以Y表示所获利润，则利润表达式为表示所获利润，则利润表达式为 3, 22, 01, 50,10)(XXXXXfY期望利润期望利润( )10 0.3285 0.4100 0.2052 0.057E Y 5.216(万元万元)27例例8

17、设随机变量设随机变量X的概率密度为的概率密度为 000)(xxexfx2XYe解：解：Y是随机变量是随机变量X的函数，的函数，2201( )( ).3xxxE Yef x dxee dx例题与解答例题与解答求求的数学期望。的数学期望。28数学期望的性质数学期望的性质性质性质1 若若a Xb, 则则a EX b。特别若特别若X= C, 则则E(X) = E(C） = C. 性质性质2设设g(X)是随机变量是随机变量X的函数的函数, c为常数为常数, 则有则有()()E cg XcEg X性质性质3设设g(X)和和h(X)是随机变量是随机变量X的两个函数的两个函数, 则有则有 ()() () ()

18、.E g Xh XE g XE h X特别地，特别地，E(aX+b)=aE(X)+b2 , 01( ) 0,xxp x其 它设设 X 求下列求下列 X 的函数的数学期望。的函数的数学期望。(1) 2X 1, (2) (X 2)2解解: : (1) E(2X 1) = 1/3, (2) E(X 2)2= 11/6. 课堂练习课堂练习30例题与解答例题与解答例例9 游客乘电梯从底层到电视塔顶层观光，电梯每个整游客乘电梯从底层到电视塔顶层观光，电梯每个整点的第点的第5分钟、分钟、25分钟和分钟和55分钟从底层起行。假设一分钟从底层起行。假设一游客在早游客在早8 点的第点的第X分钟到达底层侯机处，且分

19、钟到达底层侯机处，且 X在在0，60上服从均匀分布，求该游客等侯时间的数学期望。上服从均匀分布，求该游客等侯时间的数学期望。解解:由题意由题意 X其它060, 0 x601)x( f设设Y表示旅客候车时间表示旅客候车时间,则则Y=g(X)=0X5,5X25,25X55,55X60.E(Y)=E(g(X)=dx)x( f )x( g600dx)x(g6016055552550255dx)x65(dx)x55(dx)x25(dx)x5(6011(12.520045037.5)11.6760=11.67(分)5-X25-X55-X65-X31例题与解答例题与解答例例10 假定世界市场对我国某种出口商

20、品的需求量假定世界市场对我国某种出口商品的需求量X(吨吨)是个随机变量，它服从区间是个随机变量，它服从区间2000, 4000上的均匀分上的均匀分布。设该商品每出售一吨，可获利布。设该商品每出售一吨，可获利3万美元外汇，但万美元外汇，但若销售不出去而压库，则每吨支付保养费若销售不出去而压库，则每吨支付保养费1万美元，万美元，问如何计划年出口量，可使期望获利最多。问如何计划年出口量，可使期望获利最多。3 ,()3(),yXyg XXyXXyh( )( ) ( )Eg x f x dxh4000200020001)(dxxg4000120002000(4)3yyxy dxydx)400000070

21、00(210001yy由微积分可知：由微积分可知：当当y=3500时，时，E最大。最大。解：解：设计划年出口量为设计划年出口量为y吨，年创利吨，年创利万美元，则有万美元，则有322.3.2 方差方差数学期望反映了随机变量取值平均的大小，数学期望反映了随机变量取值平均的大小，但是有时期望相同的两个随机变量取值情况但是有时期望相同的两个随机变量取值情况差异很大，此时需要进一步了解随机变量的差异很大，此时需要进一步了解随机变量的取值对期望值的离散程度。取值对期望值的离散程度。33分析：分析：从平均水平上看，从平均水平上看，E(X)=E(Y)。但从直观上看，。但从直观上看，甲的技术更稳定。此处的稳定性

22、即随机变量的离散程甲的技术更稳定。此处的稳定性即随机变量的离散程度的一个反应。度的一个反应。引进方差的目的：引进方差的目的：怎样将离散程度量化？怎样将离散程度量化？X789P0.10.80.1Y678910P0.10.20.40.20.1设甲、乙两人进行射击比赛，两人的成绩分别记为设甲、乙两人进行射击比赛，两人的成绩分别记为X和和Y，并有如下分布律。问谁的技术更好？，并有如下分布律。问谁的技术更好？引例引例E(X)=8E(Y)=834偏差：偏差： 设设X为随机变量，为随机变量，E(X)存在，称存在，称X-E(X)为随为随机变量机变量 X 的偏差（的偏差（deviation）。）。显然，显然，E

23、(X-EX)=0。方差：方差：设设r.v. X的数学期望的数学期望EX存在，且存在，且E(X-EX)2也存也存在，则称在，则称E(X-EX)2为为X的方差（的方差（variance） ，记为，记为D(X)或或Var(X)，即，即D(X)= Var(X) E(X-EX)2特别，记特别，记 XDX为为X的标准差的标准差(standard deviation)。注意：注意：方差反映了随机变量相对其均值的偏离程度。方差反映了随机变量相对其均值的偏离程度。方差的定义方差的定义35注注1：D(X) 0，常量的方差是零。当，常量的方差是零。当X的可能值密的可能值密集在它的期望值集在它的期望值E(X)附近时，

24、方差较小，反之附近时，方差较小，反之则方差较大。因此方差的大小可以表示随机变则方差较大。因此方差的大小可以表示随机变量分布的离散程度。量分布的离散程度。注注2：在数学推导中喜欢用方差在数学推导中喜欢用方差D(X)，而在实际应，而在实际应用中则更喜欢用标准差用中则更喜欢用标准差 ，这是因为标准差的量，这是因为标准差的量纲和随机变量的量纲一样。纲和随机变量的量纲一样。有关方差的注解有关方差的注解36图示：方差大和方差小的情况图示：方差大和方差小的情况方差小方差小方差大方差大j1(x)j2(x)xx37由随机变量函数的数学期望公式可得：由随机变量函数的数学期望公式可得：(1) 若若P(X=xn)=p

25、n，n=1，2，.，则则D(X)=Var(X)= E(X-EX)22()nnnxEXp(2) 若若X为连续型，为连续型，X f(x)，则则D(X)=Var(X)= E(X-EX)22()( )xEXf x dx方差的计算方差的计算38D(X)= E(X EX)2方差的简便计算公式方差的简便计算公式= EX2 2XEX+(EX)2= E(X2) E (2XEX) +E(EX)2= E(X2) 2EXEX + (EX)2= E(X2) (EX)2D(X)= E(X2) (EX)2推导过程：推导过程：注：注：一般情形下，上述简化公式可以简化方差的一般情形下，上述简化公式可以简化方差的计算。计算。39

26、例题与解答例题与解答例例11 计算引例中计算引例中X和和Y的方差。的方差。解：解：E(X) = E(Y )= 8，E(X2)=72*0.182*0.8+92*0.1=64.2E(Y2 )= 62*0.1 72*0.282*0.4+92*0.2 102*0.1=65.2D(X) = E(X2) (EX) 2= 64.264 = 0.2D(Y) = E(Y2) (EY) 2= 65.264 =1.2因此，因此，D(X)D(Y)，即甲的技术比乙的稳定。，即甲的技术比乙的稳定。40例题与解答例题与解答例例12 设随机变量设随机变量 XUa, b，求，求DX。()2abE X22()( )E Xx f

27、x dx21baxdxba22 ()()()D XE XEX2222()().3212babaabba。0ab( )f xx解：解：322133baxbababa41例题与解答例题与解答例例13设设 X 其它02x1x21x0 x)x( f(1) E(X)=dx)x(xf2110dx)x2( xxdxx12)x31x(01x31323=1(2) E(X2)=dx)x(fx2=7/6所以，DX=EX2-(EX)2=7/6-1=1/6.212103)2 (dxxxdxx解解: :求求E(X)、D(X)。42方差的性质方差的性质(1) D(X)=0 的充要条件是的充要条件是 P(X=C)=1.(2)

28、 D(aX+b)=a2D(X)(3) 若若cE(X), 则则D(X)0. 解：解：* XEXXDX令*(E XD X求)与)。*()()XEXE XEDX()0E XEXDX*()()XEXD XDDX()1.()D XD X随机变量随机变量X的标准化的标准化设随机变量设随机变量具有数学期望具有数学期望2)(,)(XDXE22)|(|XP，不等式不等式成立X2.3.3 切比晓夫（切比晓夫（Chebyshev）不等式不等式则对任意正数则对任意正数切比晓夫不等式也可以写成切比晓夫不等式也可以写成22(|)1PX 切比晓夫不等式反映了随机变量离差与方差之间切比晓夫不等式反映了随机变量离差与方差之间的

29、关系。由不等式可知，方差的关系。由不等式可知，方差D(X)越小，则越小，则X的值的值越集中在期望越集中在期望E(X)附近；从而清楚可见方差的概附近；从而清楚可见方差的概率意义就是刻画了随机变量取值的分散程度。率意义就是刻画了随机变量取值的分散程度。46当方差已知时，切比晓夫不等式给出了随机变量当方差已知时，切比晓夫不等式给出了随机变量X与它的期望的偏差不小于与它的期望的偏差不小于的概率的估计式的概率的估计式 . 如取 322(|()|)PXE X22(|()| 3 )0.1119PXE X可见，对任给的分布，只要期望和方差可见，对任给的分布，只要期望和方差存在，存在，则则 r.v. X取值偏离

30、取值偏离E(X)超过超过 3 的概率小于的概率小于0.111 .2 47证：证：我们只就连续型随机变量的情况来证明。我们只就连续型随机变量的情况来证明。，则有的概率密度为设)(xfX222222()( )( )1()( )XXP Xf x dxxf x dxxf x dxD(X)=0P(X=a)=1利用利用 切比晓夫不等式可以证明如下结论。切比晓夫不等式可以证明如下结论。49其它特征数其它特征数矩、分位数、中位数、变异系数矩、分位数、中位数、变异系数502.3.4 矩矩k 阶原点矩：阶原点矩：对于正整数对于正整数k,若若E|Xk|+，称，称 k= E(Xk) ， k = 1, 2, .为随机变

31、量为随机变量X的的k阶阶原点矩。原点矩。注注 1= E(X).k 阶中心矩：阶中心矩：对于正整数对于正整数k,若若E|Xk|+，称，称 k= EX E(X)k ， k = 1, 2, .为随机变量为随机变量X的的k阶阶中心矩。中心矩。注注 2 = D(X).注意：注意：若高阶矩存在，则低阶矩必存在。若高阶矩存在，则低阶矩必存在。51分位数分位数P( X xp) = F(xp) = p设设 0 p 1，若若 xp满足满足则称则称 xp为此分布为此分布 p - 分位数，分位数，亦称亦称x xp p为为下侧下侧p p - 分位数。分位数。52注注 意意 点点(1) 因为因为 X 小于等于小于等于 x p 的可能性为的可能性为 p ，所以所以 X 大于大于 x p 的可能性为的可能性为 1 p .(2) 对离散分布不一定存在对离散分布不一定存在 p - 分位数。分位数。(3) 对连续型随机变量对连续型随机变量()()( )pxppP XxF xp x dx53中位数中位数称称 p = 0.5 时的时的p 分位数分位数 x0.5 为中位数。为中位数。中位数与均值中位数与均值相同点：相同点：都是反映随机变量的位置特征。都是反映随机变量的位置特征。不同点：不同点：含义不同。含义不同。作作 业业51页页（1）（4）（10）