往届周培源大学生力学竞赛试题浅析.ppt

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1、往届周培源大学生力学竞赛试题浅析郑州大学 孙利民第六届周培源大学生力学竞赛试题一、声东击西的射击手（一、声东击西的射击手（30 30 分）分）射击的最高境界，不仅是指哪打哪，还要知道往哪儿射击的最高境界，不仅是指哪打哪，还要知道往哪儿指。欢迎来到这个与众不同的射击场。在这里，共有指。欢迎来到这个与众不同的射击场。在这里，共有10 个小球个小球Pi（号码从（号码从0 到到9），你需要把某个小球放在），你需要把某个小球放在圆弧的适当位置上，然后静止释放小球即可。圆弧的适当位置上，然后静止释放小球即可。假设系统在同一竖直平面内（如图所示），不考虑摩假设系统在同一竖直平面内（如图所示），不考虑摩擦。圆

2、弧擦。圆弧AB 的半径为的半径为R，B 点与地面的高度为点与地面的高度为H。均。均质细杆质细杆CD的质量为的质量为M，长为，长为L=0.5H，悬挂点，悬挂点C与与B 处处于同一水平位置，于同一水平位置，BC 距离为距离为S。小球。小球Pi 质量均为质量均为m，不计半径，小球不计半径，小球Pi 与与CD杆或地面碰撞的恢复因数均为杆或地面碰撞的恢复因数均为ei，且满足，且满足,(i=0,1,2 ,9)。（1）为使小球）为使小球P1 击中杆上击中杆上D点，试确定静止释放时的点，试确定静止释放时的，距离，距离S 有何限制？有何限制？（2）假设某小球击中）假设某小球击中CD杆上的杆上的E 点，为使点，为

3、使E 点尽可点尽可能远离能远离D点，试确定该小球的号码及静止释放时的点，试确定该小球的号码及静止释放时的，此时此时CE 的距离是多少？的距离是多少？（3）假设某小球击中）假设某小球击中CD杆上的杆上的E 点，为使悬挂点点，为使悬挂点C 处的冲量尽可能小，试确定该小球的号码及静止释放处的冲量尽可能小，试确定该小球的号码及静止释放时的时的，此时，此时CE 的距离是多少？冲量有多大？的距离是多少？冲量有多大？一、声东击西的射击手（30分）解（1）为使小球P1击中杆上D点，试确定静止释放时的，距离S有何限制？小球从初始位置运动到B点时，竖直速度为零，水平速度为 小球离开B点后作平抛运动，以B下方的地面

4、为坐标系原点，有把参数带入小球的位移表达式，有 S的限制为（2）假设某小球击中CD杆上的E点，为了使E点尽可能远离D点，试确定小球的号码及静止释放时的，此时CE的距离是多少？直观上看，当e=1（小球的号码为9）时反弹得最高，有可能击中C点。此时E点离D点最远，距离为CE=0。根据运动方程，在竖直方向，小球离开B点后与地面碰撞的时间为 e=1时，根据落下与反弹的轨迹对称性，设小球与地面碰撞N次，于是有 S=2NvBt，（3）假设小球击中CD杆上的E点，为了使悬挂点C处的冲量尽可能小，试确定小球的号码及静止释放时的，此时CE的距离是多少？冲量有多大？根据碰撞的理论，当冲量IE与杆垂直，且 时，C点

5、的碰撞冲量IC=0。上述结论可以表示为：小球要在反弹最高点碰撞，且碰撞点与地面的高度为由于水平方向速度与竖直方向速度独立，下面只考虑竖直方向：小球落地时速度大小为。碰撞后方向上的速度大小为 再利用上式，得反弹的最大高度为。所以 二、骄傲自满的大力士（二、骄傲自满的大力士（35 分）分）有位大力士总是自命不凡，他夫人决定找机会教训他一下。正好附近足球场有位大力士总是自命不凡，他夫人决定找机会教训他一下。正好附近足球场的球门坏了一半，剩下的半边球门如图：立柱的球门坏了一半，剩下的半边球门如图：立柱OA垂直固定于水平地面上，沿垂直固定于水平地面上，沿x 轴方向，高为轴方向，高为H=2.4m，横梁，横

6、梁AB 平行于地面，沿平行于地面，沿z 轴负方向，长为轴负方向，长为L=H。立柱和横梁均为实心圆柱，直径均为立柱和横梁均为实心圆柱，直径均为D=0.06m。夫人经过计算后想出了主。夫人经过计算后想出了主意：和丈夫比赛，看谁能把球门拉倒。比赛规则是：通过系在横梁意：和丈夫比赛，看谁能把球门拉倒。比赛规则是：通过系在横梁B 端中点端中点的绳索，只能用静力拉球门；绳索上有且只有的绳索，只能用静力拉球门；绳索上有且只有B 点系在与地面固定的物体上。点系在与地面固定的物体上。绳索的重量不计，长度不限。球门不计自重，采用第三强度理论，材料的屈绳索的重量不计，长度不限。球门不计自重，采用第三强度理论，材料的

7、屈服应力服应力s=57MPa。大力士认为自己肯定不会输，因为他知道两人鞋底与地面摩擦系数都是大力士认为自己肯定不会输，因为他知道两人鞋底与地面摩擦系数都是=0.5，自己重量为，自己重量为G1=700N，夫人重量为，夫人重量为G2 =510N。为了显示自己的大度，。为了显示自己的大度，他允许夫人享受一点点优惠条件。于是夫人以他允许夫人享受一点点优惠条件。于是夫人以B 在地面的投影在地面的投影C 为圆心，在为圆心，在地面上画了一个半径地面上画了一个半径R=0.8m 的圆圈，要求丈夫身体在地面的投影不能进该的圆圈，要求丈夫身体在地面的投影不能进该圆圈，但她自己不受限制。大力士认为这么个小圆圈没什么了

8、不起，就同意圆圈，但她自己不受限制。大力士认为这么个小圆圈没什么了不起，就同意了。了。大力士抽签先上场，他决定让绳索与大力士抽签先上场，他决定让绳索与xy 平面平行，但绳索与地平面平行，但绳索与地面的夹角面的夹角 不知多大为好，于是他在不同的角度试了多次，尽管不知多大为好，于是他在不同的角度试了多次，尽管每次都用了最大力气，但是球门居然纹丝不动，也看不出有明每次都用了最大力气，但是球门居然纹丝不动，也看不出有明显的变形。而夫人上场后一用力就把球门拉倒了显的变形。而夫人上场后一用力就把球门拉倒了（1）当大力士让绳索与地面成）当大力士让绳索与地面成 角度，绳索中的拉力最大为多角度，绳索中的拉力最大

9、为多大？该最大拉力与大力士拉绳的姿势有无关系？大？该最大拉力与大力士拉绳的姿势有无关系？（2）当大力士让绳索与地面成）当大力士让绳索与地面成 角度，球门中最危险点的坐标角度，球门中最危险点的坐标值是多少？值是多少？（3）在限制条件下，）在限制条件下，角为多少时大力士最接近把球门拉倒？角为多少时大力士最接近把球门拉倒？夫人可能采用什么方式把球门拉倒？夫人可能采用什么方式把球门拉倒？TxTyTxTyTxTy三、顾此失彼的挑战者（30 分）魔术正式开始前，魔术师邀请观众上台了解道具，并体验魔术正式开始前，魔术师邀请观众上台了解道具，并体验如何让水晶球在板上平衡，有位观众自告奋勇要挑战魔术师的如何让水

10、晶球在板上平衡，有位观众自告奋勇要挑战魔术师的问题。问题。魔术师首先介绍道具（如图所示）：两个透明的水晶圆球魔术师首先介绍道具（如图所示）：两个透明的水晶圆球O1 和和O2；一个滚轴；一个滚轴D；一个透明的水晶平板；一个透明的水晶平板AB，A 端水平固定端水平固定在墙中，不考虑自重时在墙中，不考虑自重时AB 板与水平面平行。在表演时，滚轴板与水平面平行。在表演时，滚轴D可以根据需要安装在可以根据需要安装在AB 板的任意位置，且板的任意位置，且A 与与D总在同一高总在同一高度。假设水晶板是均质等截面板，长度为度。假设水晶板是均质等截面板，长度为l，单位长度重量为，单位长度重量为q，弯曲刚度为，弯

11、曲刚度为EI。两均质水晶圆球的半径均为。两均质水晶圆球的半径均为r，重量均为，重量均为P=ql。假设表演中板的挠度和转角都是小量，球与板之间有滑动摩假设表演中板的挠度和转角都是小量，球与板之间有滑动摩擦，但不考虑球与板的接触变形和滚动摩擦。观众发现，水晶擦，但不考虑球与板的接触变形和滚动摩擦。观众发现，水晶板由于自重而微微弯曲，如果不安装滚轴板由于自重而微微弯曲，如果不安装滚轴D，水晶球在板上可，水晶球在板上可以摆放的任意位置都不能平衡。以摆放的任意位置都不能平衡。魔术师的问题如下：魔术师的问题如下：（1）如果把滚轴）如果把滚轴D安装在安装在AB 板的板的B 处，此时处，此时AB 板由于自重所

12、板由于自重所导致的最大挠度在何处？导致的最大挠度在何处？（2）如果把滚轴）如果把滚轴D安装在安装在AB 板之间的某处，有可能使水晶球板之间的某处，有可能使水晶球O1 在板上静止，且球与板的接触点恰好是在板上静止，且球与板的接触点恰好是B 点。如果不需要具体计点。如果不需要具体计算，如何说明滚轴算，如何说明滚轴D是更靠近是更靠近A点还是更靠近点还是更靠近B 点？定性画出此点？定性画出此时时AB 板挠度的示意图。板挠度的示意图。（3）如果把滚轴）如果把滚轴D安装在安装在AB 板的中点，能否让水晶球板的中点，能否让水晶球 O 1在在AD 之间某位置平衡，接触点为之间某位置平衡，接触点为C1；同时让水

13、晶球；同时让水晶球O2 在在DB之间某之间某位置平衡，接触点为位置平衡，接触点为 C 2。观众试着摆弄了很久，总是顾此失彼，。观众试着摆弄了很久，总是顾此失彼，最终也没有成功。如果你认为本问题有解，最终也没有成功。如果你认为本问题有解，AC1和和AC2 的水平的水平距离是多少？如果没有解，如何证明？距离是多少？如果没有解，如何证明？解：解：四、技高一筹的魔术师（四、技高一筹的魔术师（25 分）分）魔术正式开始，仍用上一题中的道具（板和球的具体参数见第三题）。魔术正式开始，仍用上一题中的道具（板和球的具体参数见第三题）。魔术师首先撤去了滚轴魔术师首先撤去了滚轴D，观众看到两个水晶球在板上任意位置

14、静止释，观众看到两个水晶球在板上任意位置静止释放，都会从板的放，都会从板的B 端掉下去。但是细心的观众发现，即使两水晶球放在板的相端掉下去。但是细心的观众发现，即使两水晶球放在板的相同位置，掉下去所需时间却明显不同。同位置，掉下去所需时间却明显不同。魔术师解释说，虽然两水晶球的尺寸和重量完全相同，但有一个水晶球魔术师解释说，虽然两水晶球的尺寸和重量完全相同，但有一个水晶球的表面涂了透明的新型材料，很光滑。说完在后落下的水晶球的表面涂了透明的新型材料，很光滑。说完在后落下的水晶球O1 表面贴上了表面贴上了小纸片以示区别（假设小纸片的尺寸和重量相对水晶球均是小量）。小纸片以示区别（假设小纸片的尺寸

15、和重量相对水晶球均是小量）。只见魔术师对两个水晶球吹了吹，声称已经把魔力注入其中，然后小心只见魔术师对两个水晶球吹了吹，声称已经把魔力注入其中，然后小心地把贴有纸片的地把贴有纸片的O1 球静止放在板上（接触点为球静止放在板上（接触点为B 点），同时让纸片远离接触点），同时让纸片远离接触位置，松手后水晶球位置，松手后水晶球 O 1竟然真的可以一直稳稳地停留在板上竟然真的可以一直稳稳地停留在板上B 点。点。在观众的掌声中，魔术师撤走了在观众的掌声中，魔术师撤走了O1 球，把球，把O2 球拿了起来。球拿了起来。“这个水晶这个水晶球不太听话，我的魔力只能管球不太听话，我的魔力只能管1 分钟。分钟。”魔

16、术师说完把魔术师说完把O2 球转了转，然后更球转了转，然后更加小心地把加小心地把O2球也放在板上（接触点为球也放在板上（接触点为B 点）。观众发现，点）。观众发现，O 2 球在球在B 点停留点停留了大约了大约1 分钟，然后在没有外界干扰的情况下突然从板上分钟，然后在没有外界干扰的情况下突然从板上B 端掉了下来端掉了下来（1）根据题目叙述，试判断哪个水晶球涂了新型材料？）根据题目叙述，试判断哪个水晶球涂了新型材料？（2）水晶球）水晶球O1 可在可在B 点一直稳稳地停留，简要叙述其原理，分析其点一直稳稳地停留，简要叙述其原理，分析其中所涉及的关键参数，以及各参数应满足的必要条件或关系。中所涉及的关

17、键参数，以及各参数应满足的必要条件或关系。（3）水晶球）水晶球O2 只能在只能在B 点停留很短的时间，简要叙述其原理，分析点停留很短的时间，简要叙述其原理，分析其中所涉及的关键参数，以及各参数应满足的必要条件或关系。其中所涉及的关键参数，以及各参数应满足的必要条件或关系。注：第四题解答中所用的参数都应在第三、第四题中提及过。注：第四题解答中所用的参数都应在第三、第四题中提及过。解：解：注：本题也许有不同的答案，只要能解释清楚，并且所需要注：本题也许有不同的答案，只要能解释清楚，并且所需要的物体或条件在题目中都有交待，也可以给分。如果解答涉的物体或条件在题目中都有交待，也可以给分。如果解答涉及的

18、某些条件没有出现在题目中，如考虑浮力、透明的绳子及的某些条件没有出现在题目中，如考虑浮力、透明的绳子悬挂、在悬挂、在B B处挖一个凹槽等等，算错误。处挖一个凹槽等等，算错误。第七届全国周培源大学生力学竞赛试题出题学校：西北工业大学一、小球在高脚玻璃杯中的运动(20 分)一半球形高脚玻璃杯，半径 r=5cm，其质量m1=0.3 kg，杯底座半径R=5 cm，厚度不计，杯脚高度h=10 cm。如果有一个质量0.1 2 m=kg 的光滑小球自杯子的边缘由静止释放后沿杯的内侧滑下，小球的半径忽略不计。已知杯子底座与水平面之间的静摩擦因数fs=0.5。试分析小球在运动过程中：（1）高脚玻璃杯会不会滑动；

19、（2）高脚玻璃杯会不会侧倾（即一侧翘起）。答案:当小球自杯子的边缘由静止释放后沿杯子的内侧滑下到与铅垂方向夹角 63.4 时，高脚玻璃杯侧倾（一侧翘起）。解：（1）分析杯子滑动情况设杯子不动，小球在杯子未运动前不脱离杯子。取小球为研究对象，受力如图所示，应用动能定理有二、杂耍圆环二、杂耍圆环(40 分分)1.杂技演员将一个刚性圆环沿水平地面滚出，起始圆环一跳一跳地向前滚动，杂技演员将一个刚性圆环沿水平地面滚出，起始圆环一跳一跳地向前滚动，随后不离开地面向前滚动，为什么？（随后不离开地面向前滚动，为什么？（4 分）分）2.杂技演员拿出一个匀质圆环，沿粗糙的水平地面向前抛出，不久圆环又自杂技演员拿

20、出一个匀质圆环，沿粗糙的水平地面向前抛出，不久圆环又自动返回到演员跟前。设圆环与地面接触瞬时圆环中心动返回到演员跟前。设圆环与地面接触瞬时圆环中心O 的速度大小为的速度大小为v0，圆环的，圆环的角速度为角速度为0，圆环半径为，圆环半径为r，质量为，质量为m，圆环与地面间的静摩擦因数为，圆环与地面间的静摩擦因数为f s，不计，不计滚动摩阻，试问：滚动摩阻，试问：（1）圆环能自己滚回来的条件是什么？（）圆环能自己滚回来的条件是什么？（10 分）分）（2）圆环开始向回滚动直到无滑动地滚动，在此运动过程中，圆环所走过的）圆环开始向回滚动直到无滑动地滚动，在此运动过程中，圆环所走过的距离是多少？距离是多

21、少？（3）当圆环在水平地面上无滑动地滚动时，其中心的速度大小为）当圆环在水平地面上无滑动地滚动时，其中心的速度大小为v1，圆环平，圆环平面保持在铅垂平面内。试分析圆环碰到高为面保持在铅垂平面内。试分析圆环碰到高为h 的无弹性台阶后，的无弹性台阶后，能不脱离接触地能不脱离接触地爬上该台阶所应满足的条件。（爬上该台阶所应满足的条件。（14 分）分）3.演员又用细铁棍推动题演员又用细铁棍推动题2 中匀质圆环在水平地面上匀速纯滚动，假设圆环保中匀质圆环在水平地面上匀速纯滚动，假设圆环保持在铅垂平面内滚动，如图所示。又知铁棍与圆环之间的静摩擦因数为持在铅垂平面内滚动，如图所示。又知铁棍与圆环之间的静摩擦

22、因数为 ft，圆环，圆环与地面间的滚动摩阻系数为与地面间的滚动摩阻系数为 。试求为使铁棍的推力（铁棍对圆环的作用力）最。试求为使铁棍的推力（铁棍对圆环的作用力）最小，圆环上与铁棍的接触点的位置。（小，圆环上与铁棍的接触点的位置。（7 分）分）解：1.圆环不是匀质的，质心不在圆环的中心。开始滚动角速度大，圆环一跳一跳地向前滚动；随后角速度减小，所以圆环不离开地面向前滚动。2.（1）圆环能自己滚回的条件：圆环初瞬时环心速度为v0，角速度大小为0，以后为v 和。圆环与地面接触点的速度大小为u=v+r (1)第一阶段，u0，圆环与地面有相对滑动，摩擦力F=fsFN，式中FN=mg。由质心运动定理解得v

23、=v0fsgt由解得由于摩擦力存在，v 和都随时间而减小。第二阶段，由（1），（3），（5）式解得u=(v 0+r 0)2 f s gt当u=0 时刻开始摩擦力为零，有此时质心速度大小为v=v0 f gt1要使得圆环返回，则v 1 0，即代入整理得圆环不跳起的条件圆环能不脱离接触地爬上台阶的条件为将2 和3确定推动力确定推动力F 为最小值时的接触点为最小值时的接触点A 设半径CA 与铅垂线间的夹角为。A，B两点处的摩擦角分别为m=arctgft 和l=arctgfs滚动摩阻力偶矩为Mf。圆环匀速滚动时，重力mg、地面全反力FR、推动力F 和滚阻力偶Mf 相平衡。三、趣味单杠(30 分)单杠运动

24、是奥运会、世界体操锦标赛、世界杯体操比赛中男子体操比赛项目之一。单杠是体操比赛中最具观赏性的项目，也是观众最喜欢的运动，在学校和健身场所拥有众多的爱好者，小李和小张就是其中之一。一天，他们准备在单杠上进行大回环比赛。假设单杠的横杆和立柱均为直径D=28mm的钢杆，弹性模量E=200GPa，许用应力=160MPa，横杆长L=2.4m，立柱高H=2.6m。立柱与地面、横杆与立柱之间均为固定联结。假设两人旋转到单杠所在平面内时的惯性载荷均为F=1000N，不计人的自重。1.试分析两人同步旋转到单杠所在平面内时，结构中的最大应力。（12 分）2.若两人相差180旋转到单杠所在平面内，对结构中的最大应力

25、有什么影响。(12 分）3.为提高结构承载能力，有人提出在单杠距地面0.6m 处增加一个直径20mm 的横杆。试定性分析该杆对上述两种情况的影响。（6 分）1.两人同步旋转到单杠所在平面内时（如图（a）所示），结构左右对称，可以取图（c）部分分析，在对称面上只有对称内力。根据力法方程得分别作出F 和单位力引起的弯矩图，可得：四、跳板跳水四、跳板跳水(30 分分)举世瞩目的第29 届北京奥林匹克运动会上，具有“梦之队”之称的中国跳水队获得了跳水比赛8 枚金牌中的7 枚，囊括了3m 跳板跳水的4 枚金牌。Duraflex 的Maxiflex Model B 跳水板是奥林匹克跳水比赛和国际级跳水比赛

26、唯一指定使用的产品，它的具体尺寸如图所示，其中横截面尺寸为b=0.5m，h=0.05m，跳板的弹性模量E=70GPa，比重=25kN/m3，a=3.2m，l=1.6m。运动员从跳板上上跃至距地面最高点后落至跳板端点C，再从跳板上弹起至空中完成动作后落水。若运动员体重G=700N，最大弹跳高度H=0.6m，取g=9.8m/s2。1.根据所学知识，建立相应的力学分析模型。（3 分）2.为保证运动员落水安全，运动员从空中落入水中时，在跳板所在平面处，运动员质心距跳板C 端最小距离s 应大于0.5m。试求运动员从跳板上跃时所需最小水平速度（假设水平方向为匀速运动）？（4 分）3.不计跳板质量，将运动员

27、看做刚体时，运动员冲击跳板时，跳板中的最大动应力为多少？在上述运动过程中，运动员冲击跳板时的动量损耗是多少？（12 分）4.如运动员为弹性体，定性说明在冲击时跳板中的最大动应力增大还是减小？（3 分）5.如考虑跳板质量，试计算跳板中的最大动应力。（8 分）解：1、根据跳板的受力情况，可以将其简化为下图所示外伸梁。2、从跳板最高处降落到A 点，所需时间为运动员从A 点跳起，又降落到同一高度时，所需时间为2t，所以最小水平速度为 v=s/2t=0.714m/s3、将运动员看做刚体时，冲击时的动荷系数为4、如运动员为弹性体，在冲击时跳板中的最大动应力将减小。（3 分5、考虑跳板质量时，跳板的挠曲线方程为：冲击过程中任一截面速度为冲击后运动员与跳板以同一速度运动，由动量守恒定律得