固体物理答案第一章.ppt

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1、固体物理答案第一章 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life,there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望1.1 指出立方晶格（指出立方晶格（111）面与（）面与（110）面的交线的晶向。）面的交线的晶向。解解:立方晶格（立方晶格（111）面与（）面与（110）面的交线为）面的交线为AB，其等效，其等效晶向为晶向为yxzABOzxyALGKONMa/2zxyGDFEABOHIa/2C1.2 在图中，试求在图中，试求(1)晶列晶列ED、FD和和OF的晶列指数；的晶列指数；(2)晶面晶面AGK、FGIH和和

2、MNLK的密勒指数；的密勒指数；(3)画出晶面画出晶面 、。解：解：zyxozyxo(3)晶面晶面(2)各晶面的密勒指数分别为各晶面的密勒指数分别为(1)各晶列指数分别为各晶列指数分别为ED从图得知，从图得知，、FD、OFFGIH(201)、AGK、MNLK和晶面和晶面如图所示如图所示1.3 若基矢若基矢构成简单正交系，试证明，晶面族（构成简单正交系，试证明，晶面族（hkl）的面间距为的面间距为并说明面指数简单的晶面，其面密度比较大，容易解理。并说明面指数简单的晶面，其面密度比较大，容易解理。证明：设证明：设分别沿分别沿方向。方向。与晶面族（与晶面族（hkl）正交的倒格矢为）正交的倒格矢为由由

3、得得设设是倒格矢的基矢，则是倒格矢的基矢，则同理同理1.4 画出体心立方和面心立方晶格结构在画出体心立方和面心立方晶格结构在面上的原子排列。面上的原子排列。解：解：面为面为面面面为面为面面面为面为面面（1）体心立方）体心立方（2）面心立方）面心立方1.5 试证六角密积结构中试证六角密积结构中。证明：证明：如图如图 中，中，。第二层球心第二层球心正对着正对着。同时同时和和 球相切。球相切。所以所以得得1.6 如果等体积的硬球堆成下列结构，求证球可能占据的最大如果等体积的硬球堆成下列结构，求证球可能占据的最大体积与总体积之比为：体积与总体积之比为：简立方：简立方：体心立方：体心立方：面心立方：面心

4、立方：六角密积：六角密积：金刚石结构：金刚石结构：证明：证明：设想晶体是由刚性原子球堆积而成，一个晶胞中刚性设想晶体是由刚性原子球堆积而成，一个晶胞中刚性原子球占据的体积与晶胞体积的比值称为结构的致密度。原子球占据的体积与晶胞体积的比值称为结构的致密度。设设n为一个晶胞中的刚性原子球数，为一个晶胞中的刚性原子球数，r表示刚性原子球半径，表示刚性原子球半径，V则致密度则致密度表示晶胞体积，表示晶胞体积，（1）对简立方晶体，任一原子有对简立方晶体，任一原子有6个最近临，若原子以刚性球个最近临，若原子以刚性球堆积，如图堆积，如图1.1所示，所示，因为因为a=2r,，晶胞内包含，晶胞内包含1个原子，个

5、原子，a1234图图1.1 简立方晶胞简立方晶胞中心在中心在1，2，3，4处的原子球将一次处的原子球将一次相切。相切。所以所以（2）对体心立方晶体，任一个原子有对体心立方晶体，任一个原子有8个最近临，若原子以刚个最近临，若原子以刚性球堆积，如图性球堆积，如图1.2所示，所示，位置的原子球相切。位置的原子球相切。，晶胞内包含晶胞内包含2个原子，个原子，所以所以a图图1.2 体心立方晶胞体心立方晶胞O体心位置体心位置O的原子与处在的原子与处在8个角顶个角顶因为晶胞空间对角线的长度为因为晶胞空间对角线的长度为（3）对面心立方晶体，任一个原子有对面心立方晶体，任一个原子有12个最近临，若原子以个最近临

6、，若原子以刚性球堆积，如图刚性球堆积，如图1.3所示，所示，面心原子球相切。面心原子球相切。1个晶胞内包含个晶胞内包含4个个原子，原子，所以所以a图图1.3 面心立方晶胞面心立方晶胞123中心位于角顶的原子与相邻的中心位于角顶的原子与相邻的3个个因为因为（4）对六角密积结构，任一个原子有对六角密积结构，任一个原子有12个最近临，若原子以个最近临，若原子以刚性球堆积，如图刚性球堆积，如图1.4所示，所示，即即O点与中心在点与中心在5，7，8处的原子分布在正四面体的四个顶上，处的原子分布在正四面体的四个顶上，a587Oh图图1.5 正四面体正四面体图图1.4 六角晶胞六角晶胞ac13578624O

7、4的原子相切，中心在的原子相切，中心在5的原子与中心在的原子与中心在6，7，8的原子相切，的原子相切，晶胞内的原子晶胞内的原子O与中心在与中心在1，3，4，5，7，8处的原子相切，处的原子相切，中心在中心在1的原子与中心在的原子与中心在2，3，因为四面体的高因为四面体的高晶胞体积晶胞体积一个晶胞内包含两个原子，所以一个晶胞内包含两个原子，所以（5）对金刚石结构，任一个原子有对金刚石结构，任一个原子有4个最近临，若原子以刚个最近临，若原子以刚性球堆积，如图性球堆积，如图1.6所示，所示，原子与中心在原子与中心在1，2，3，4处的面心原子相切。处的面心原子相切。因为因为晶胞体积晶胞体积一个晶胞中包

8、含一个晶胞中包含8个原子，个原子，所以所以a图图1.6 金刚石结构金刚石结构123中心在空间对角线四分之一处的中心在空间对角线四分之一处的O1.7 证明：用半径不同的两种硬球构成下列稳定结构时小球半证明：用半径不同的两种硬球构成下列稳定结构时小球半径和大球半径之比值分别为径和大球半径之比值分别为(1)体心立方（配位数为）：体心立方（配位数为）：；(2)简单立方（配位数为）：简单立方（配位数为）：；(3)正四面体结构（配位数为）：正四面体结构（配位数为）：；(4)层状结构（配位数为）：层状结构（配位数为）：。解：半径相同的原子才可能构成密积结构，配位数等于解：半径相同的原子才可能构成密积结构，配

9、位数等于12。如。如原子球半径不等，就不可能形成密积结构，配位数必低于原子球半径不等，就不可能形成密积结构，配位数必低于12。因此，对于体心立方，因此，对于体心立方，(1)体心立方体心立方设小球位于立方体中心，大球位于立方体顶角，立方体的边长设小球位于立方体中心，大球位于立方体顶角，立方体的边长a=2R，空间对角线长为。当小球恰与大球相切时，将形成稳定，空间对角线长为。当小球恰与大球相切时，将形成稳定的体心立方结构。此时，小球的半径的体心立方结构。此时，小球的半径若若r/R0.73，小球在体心处可以摇动，结构不稳定，因此，小球在体心处可以摇动，结构不稳定，因此 不不能以体心结构存在，只能取配位

10、数较低的简单立方结构。能以体心结构存在，只能取配位数较低的简单立方结构。即即，所以所以 由图看出由图看出，(2)简单立方简单立方设小球设小球(半径半径r)在中央，恰与上下左右前后在中央，恰与上下左右前后6个大球个大球(半径半径R)相切，相切，各大球之间也相切，从而形成稳定的简单立方结构。各大球之间也相切，从而形成稳定的简单立方结构。ARBOr若若r/R0.23时，则得到层状结构。时，则得到层状结构。因此，对于四面体结构，因此，对于四面体结构，（3）四面体结构）四面体结构 当大球当大球(半径半径R)形成一正四面体且彼此相切，而小球形成一正四面体且彼此相切，而小球(半径半径r)位于位于由它们围成的

11、正四面体中的间隙处并与大球相切时，则四面体由它们围成的正四面体中的间隙处并与大球相切时，则四面体处于稳定状态。处于稳定状态。当当r/R0.41时，又只能取配位数更低的四面体结构。时，又只能取配位数更低的四面体结构。因此，对于简单立方结构，因此，对于简单立方结构，所以所以 有有所以所以因此，对于层状结构，因此，对于层状结构，。在层状结构中，当半径为在层状结构中，当半径为R的三个大球的三个大球A、B、C彼此相切，彼此相切，而间隙中又共同外切一半径为而间隙中又共同外切一半径为r的小球时，结构最稳定。的小球时，结构最稳定。(4)层状结构层状结构ABCDO1.8:1.8:证明体心立方格子和面心立方格子互

12、为正、倒格子。证明体心立方格子和面心立方格子互为正、倒格子。解解:体心立方的原胞基矢体心立方的原胞基矢:倒格矢：倒格矢：同理得同理得:体心立方的倒格子是边长为体心立方的倒格子是边长为4 4/a/a的的面心立方面心立方 。1.9 证明倒格点阵的倒格点阵是正格点阵本身。证明倒格点阵的倒格点阵是正格点阵本身。证明：证明：设正格基矢为设正格基矢为倒格基矢为倒格基矢为则则又又所以所以可知可知同理得同理得1.10证明证明:证明证明:晶棱晶棱(晶面的交线晶面的交线)互相平行的晶面组合成晶带互相平行的晶面组合成晶带,互相平行互相平行的晶棱的共同方向称为该晶带的带轴的晶棱的共同方向称为该晶带的带轴.由定义可知由

13、定义可知,带轴与该晶带中的平面的法线互相垂直带轴与该晶带中的平面的法线互相垂直.表示带轴方向表示带轴方向;表示平面表示平面(h1h2h3)的法线方向的法线方向;那么那么由倒格子的性质由倒格子的性质:晶带轴晶带轴l1l2l3与该晶带中的平面与该晶带中的平面(h1h2h3)满足下述关系满足下述关系1.11 证明：晶面证明：晶面、和和属于同一晶带的条件是属于同一晶带的条件是证明：当三个晶面属于同一晶带时，它们两两的交线必互相证明：当三个晶面属于同一晶带时，它们两两的交线必互相平行。设这些互相平行的交线的共同方向即晶带轴的方向为平行。设这些互相平行的交线的共同方向即晶带轴的方向为uvw，用格矢量，用格

14、矢量表示。表示。因而因而与与正交，即正交，即利用正交关系利用正交关系得得(1)晶面晶面的法线方向平行于倒格矢的法线方向平行于倒格矢 的方向，的方向，对于晶面对于晶面和和，同理可得，同理可得(2)(3)欲要欲要u、v、w不同时为零，即要方程组不同时为零，即要方程组(1)、(2)、(3)有非零有非零解，由线性方程理论知道，其系数行列式必须为零，于是解，由线性方程理论知道，其系数行列式必须为零，于是得到得到1.12 对于六角密积结构，固体物理学原胞的基失为对于六角密积结构，固体物理学原胞的基失为求其倒格失。求其倒格失。解：解：晶胞体积为晶胞体积为其倒格基失为其倒格基失为倒格失为倒格失为1.131.1

15、3：证明在二维晶格中，倒格子原胞面积：证明在二维晶格中，倒格子原胞面积S S与正格子与正格子 原胞面积原胞面积S S的有关系为的有关系为SS2*)2(p p=表示正格子的基矢，正格子原胞的面积为表示正格子的基矢，正格子原胞的面积为证明：证明：以以式中，式中，为为间的夹角间的夹角如如表示垂直于表示垂直于所在平面的单位矢量，所在平面的单位矢量，表示倒格子基矢，则二维倒格子基矢可写成表示倒格子基矢，则二维倒格子基矢可写成因而因而利用矢量乘积公式利用矢量乘积公式得到得到所以所以因为因为代入上式得代入上式得因而倒格子原胞的面积等于因而倒格子原胞的面积等于比较比较(1)、(2)两式，即得两式，即得证明：证

16、明：1.14 证明：在二维格子中，证明：在二维格子中，（1）密勒指数为（）密勒指数为（hk）的晶列与倒格失）的晶列与倒格失垂直。垂直。其中其中为倒格子基失。为倒格子基失。（2）晶列间距）晶列间距。如图所示，如图所示，设设和和为晶列（为晶列（hk）中相邻的两条，）中相邻的两条，通过原点通过原点o,（hk）中最近临原点的一条。）中最近临原点的一条。是是按照密勒指数的意义，按照密勒指数的意义，在基失在基失、的截距为的截距为（1）CDAB由图可见，由图可见，由正倒格子基失间的关系由正倒格子基失间的关系可得可得由图可以看出，晶列间距由图可以看出，晶列间距（2）1.15 证明在立方晶系中，晶列证明在立方晶

17、系中，晶列与晶面与晶面正交，并求正交，并求晶面晶面与晶面与晶面的夹角。的夹角。证明：证明：设设d为晶面族为晶面族的面间距，的面间距，为法向单位矢量，为法向单位矢量，根据根据晶面族的定义，晶面族晶面族的定义，晶面族将将 分别截为分别截为等份，等份，即即于是有于是有（1）其中，其中，分别为平行于分别为平行于三个坐标轴的单位矢量。三个坐标轴的单位矢量。而晶列而晶列的方向矢量为的方向矢量为（2）由（由（1），（），（2）两式得）两式得即即与与平行。平行。因此晶列因此晶列 与晶面与晶面 正交。正交。晶面晶面与晶面与晶面的夹角，的夹角，对于立方晶系，对于立方晶系，就是晶列就是晶列与晶列与晶列的夹角。的夹角

18、。设晶面设晶面与晶面与晶面的夹角为的夹角为 ，由由得得1.17：试求面心立方和体心立方晶格中粒子密度最大的晶面试求面心立方和体心立方晶格中粒子密度最大的晶面,并计算这个最大面密度的表达式并计算这个最大面密度的表达式.解解:由倒格子的性质知晶面族由倒格子的性质知晶面族(h1h2h3)的面间距的面间距:由面心立方由面心立方,正格矢正格矢粒子面密度粒子面密度(d是面间距是面间距,是粒子数体密度是粒子数体密度)对于布喇菲格子对于布喇菲格子,是常数是常数,因此因此d大的晶面大的晶面 就大就大,这样的晶这样的晶面是解理面面是解理面.(上述晶面对应于结晶学原胞的上述晶面对应于结晶学原胞的111面面)面心立方

19、结构的粒子体密度面心立方结构的粒子体密度当当(h1h2h3)是晶面是晶面100和和111时时,取最小值取最小值 ,这时面上这时面上的粒子密度最大的粒子密度最大.体心立方体心立方:(上述晶面对应于结晶学原胞的上述晶面对应于结晶学原胞的110面面)当当(h1h2h3)是晶面是晶面100和和 时时,取最小值取最小值 ,这时面这时面上的粒子密度最大上的粒子密度最大.体心立方结构的粒子体密度体心立方结构的粒子体密度OA1A6A5A4A3A2B1B2B3B4B5B6c解：设晶面族解：设晶面族(hkil)的面间距为的面间距为d，晶面法线方向的单位矢量为晶面法线方向的单位矢量为 。因为晶面族因为晶面族(hki

20、l)中最靠近原点的中最靠近原点的晶面晶面ABC在在轴上的截距分别为轴上的截距分别为，1.18 在六角晶系中，晶面常用四个指数在六角晶系中，晶面常用四个指数来表示，如图来表示，如图所示，前三个指数表示晶面族中最靠近原点的晶面在互成所示，前三个指数表示晶面族中最靠近原点的晶面在互成的共平面轴的共平面轴上的截距为上的截距为第四个指数表示该晶面在六重轴第四个指数表示该晶面在六重轴c上的截距为上的截距为。,因此因此(1)由于由于 把把式的关系代入，即得式的关系代入，即得，本题也可以采用晶面本题也可以采用晶面(ABC)截割坐标轴后的面积关系求解。截割坐标轴后的面积关系求解。于是，于是，约去公因子，并用约去

21、公因子，并用hkl乘等式两边即得乘等式两边即得(2)式。式。其中其中。若题中各个若题中各个(hkl)晶面改用晶面改用(hkil)表示，则分别为表示，则分别为，。在图中，在图中，1.19 证明对于布喇菲格子，任意晶面上的粒子密度为证明对于布喇菲格子，任意晶面上的粒子密度为式中式中为该晶面族的面间距，为该晶面族的面间距，是布喇菲原胞的体积。是布喇菲原胞的体积。证明：设有一任意格矢证明：设有一任意格矢 此六面体的体积此六面体的体积以以R为棱边，为棱边，和和为底构造一平行六面体，格矢为底构造一平行六面体，格矢分别为分别为，RO(1)设以格矢设以格矢为法线的晶面族的面间距为为法线的晶面族的面间距为d，则

22、其法线则其法线 单位矢单位矢。在上述平行六面体中，通过割补法，一共可以截取在上述平行六面体中，通过割补法，一共可以截取个等面积的晶面，它们的面积均为个等面积的晶面，它们的面积均为用用表示这族晶面上粒子的面密度，表示这族晶面上粒子的面密度，为体密度，为体密度，则此平行六面体中包含的粒子数为则此平行六面体中包含的粒子数为或用体密度或用体密度表示为表示为(2)(3)(2)、(3)式中均用了式中均用了(1)式的结果。式的结果。对于布喇菲格子，一个原胞只含一个离子，即对于布喇菲格子，一个原胞只含一个离子，即于是于是(3)式变为式变为联立联立(2)、(4)两式则可得到结果两式则可得到结果（4）1.20 设

23、点阵中晶面族设点阵中晶面族的面间距为的面间距为，证明：，证明：(1)倒格矢倒格矢与该族晶面垂直；与该族晶面垂直；(2)(3)利用上述关系证明，对于简单格子利用上述关系证明，对于简单格子，式中，式中为晶格常数。为晶格常数。证明：证明：(1)因为同一组晶面中的各晶面是互相平行的，要证明因为同一组晶面中的各晶面是互相平行的，要证明倒格矢垂直晶面族倒格矢垂直晶面族，只需证明，只需证明垂直于这族晶面中垂直于这族晶面中 最靠近原点的晶面上两相交矢量就行了。最靠近原点的晶面上两相交矢量就行了。设设ABC为所述晶面，为所述晶面，根据密勒指数的意义，根据密勒指数的意义，它在它在三个轴上的截距分三个轴上的截距分。

24、别为别为 矢量矢量和和都在晶面都在晶面ABC上。由上。由易证易证而矢量而矢量因此，因此，与与ABC晶面垂直，同时也垂直与整个晶面族晶面垂直，同时也垂直与整个晶面族。(2)由图可看出，晶面族由图可看出，晶面族的面间距的面间距d等于原点等于原点0到晶面族到晶面族ABC的垂直距离，亦即等于截距的垂直距离，亦即等于截距 在晶面在晶面ABC法向方向上的法向方向上的 投影。投影。OCAB单位法向矢量单位法向矢量(3)对于简单立方晶格，若以对于简单立方晶格，若以a表示晶格常数，则原胞的基矢表示晶格常数，则原胞的基矢 此处此处是直角坐标系中的方向单位矢量。是直角坐标系中的方向单位矢量。因此因此倒格子基矢倒格子

25、基矢因而因而 所以所以1.21 证明：三角布喇菲格子的倒格子仍为三角布喇菲格子，证明：三角布喇菲格子的倒格子仍为三角布喇菲格子，并且倒格子基矢间的夹角并且倒格子基矢间的夹角和基矢长度和基矢长度分别满足分别满足式中，式中，和和分别为正格子基矢的长度和基矢间的夹角。分别为正格子基矢的长度和基矢间的夹角。证明：按照倒格子基矢的定义证明：按照倒格子基矢的定义(1)应用应用(1)式，式，(2)(3)式中式中表示倒格子基矢表示倒格子基矢和和间的夹角。把间的夹角。把(3)式代入式代入(2)式式得到得到 式中式中为正格子基矢。对于三角布喇菲格子，基矢的长度为为正格子基矢。对于三角布喇菲格子，基矢的长度为，基矢

26、间的夹角，基矢间的夹角。从从(1)式容易看式容易看 出，倒格子基矢长度必为出，倒格子基矢长度必为。(4)结合前述结合前述 其中使用了三角转换公式其中使用了三角转换公式。轮换。轮换(4)式中各量的下标，容易得到式中各量的下标，容易得到。结论结论，可见三角布喇菲格子的倒格子仍为三角布，可见三角布喇菲格子的倒格子仍为三角布喇菲格子。喇菲格子。在图中，过在图中，过O点做点做，连接，连接。PQ，并过，并过P点做点做 在在中中其次，设基矢其次，设基矢和和所在晶面的法向单位矢为所在晶面的法向单位矢为，它，它 与基矢与基矢的夹角为的夹角为。OQPR根据余弦定理，线段根据余弦定理，线段和和的夹角的余弦的夹角的余

27、弦从从的几何关系可得的几何关系可得 即即(5)(5)式中最后一个等式已使用式式中最后一个等式已使用式(4)进行化简。于是，三进行化简。于是，三角布喇菲原胞的体积角布喇菲原胞的体积把把(6)式代入式式代入式(3)并将等式两边开平方即得并将等式两边开平方即得1.22 电位移矢量电位移矢量与外电场与外电场的关系为的关系为，式中，式中六角晶体，六角晶体，为介电常数张量。试根据晶体的对称性证明，对于简单为介电常数张量。试根据晶体的对称性证明，对于简单解：电位移与电场间的关系解：电位移与电场间的关系用矩阵表示为用矩阵表示为如图选取六重轴为如图选取六重轴为x轴，并令电场沿轴，并令电场沿x轴正方向，轴正方向，

28、(1)，由，由(1)式得到式得到()令晶体绕令晶体绕x轴转动轴转动，使，使y轴转到轴转到-y轴方向，轴方向，z轴转到轴转到-z轴方轴方 向。向。将作相同的转动，转动后的电位移用将作相同的转动，转动后的电位移用表示，则表示，则(3)但是，上述转动不过是六角晶体的一个对称操作，转动前后但是，上述转动不过是六角晶体的一个对称操作，转动前后 yxzo晶体并没有差别，而转动又以晶体并没有差别，而转动又以为轴，电场也没有改变，为轴，电场也没有改变，因此电位移矢量理应不变，即因此电位移矢量理应不变，即将将(2)式和式和(3)式代入可得式代入可得因而因而(4)如取电场如取电场沿沿y轴正向，然后令晶体绕轴正向，

29、然后令晶体绕y轴转动轴转动，仿照，仿照上述的讨论，应有上述的讨论，应有(5)若对若对z轴作相同的讨论，同理得到轴作相同的讨论，同理得到 (6)如再取电场沿六角形顶点如再取电场沿六角形顶点A的方向，如图所示，的方向，如图所示，代入代入(1)式并注意到式并注意到(4)式，则有式，则有令晶体以令晶体以为轴转动为轴转动，y轴将转到轴将转到 轴处轴处,z轴将转到轴将转到轴处。注意到轴处。注意到轴和轴和轴方向原来的电位移轴方向原来的电位移的值，得的值，得到转动后的电位移为到转动后的电位移为 即即 因为现在因为现在 所在方向是所在方向是2重轴，转动重轴，转动 是对称操作，因而是对称操作，因而，从上式解得从上

30、式解得 综合综合(4)(5)(6)诸式，得诸式，得在将在将写作写作，oEA证明：电位移矢量证明：电位移矢量与外电场与外电场间的关一般可表示为间的关一般可表示为用矩阵表示为用矩阵表示为 或或1.23 证明：在具有立方对称性的晶体中，介电常数张量为对证明：在具有立方对称性的晶体中，介电常数张量为对角张量：角张量：,其中其中表示沿表示沿轴的分量。轴的分量。(1)用用表示晶体旋转后的电位移矢量。设电场沿表示晶体旋转后的电位移矢量。设电场沿y轴正方向，轴正方向，(1)式变为式变为(2)今将晶体绕电场方向转动今将晶体绕电场方向转动，使，使z轴转到原轴转到原x轴方向，轴方向，y轴转轴转 到原到原y轴方向，轴

31、方向，x轴转到原轴转到原z轴方向，由于电位移轴方向，由于电位移作相同的转作相同的转动，动，由于上述转动是立方晶体的一个对称操作，电场没有改变，由于上述转动是立方晶体的一个对称操作，电场没有改变，应有应有 (3)于是于是由由(2)式和式和(3)式得式得要使上两式同时满足，只有要使上两式同时满足，只有(4)同理可得同理可得(5)若再取电场沿若再取电场沿111方向，方向，则有，则有 让晶体绕转动让晶体绕转动，使，使z轴转到原轴转到原x轴，轴，x轴转到原轴转到原y轴，轴，y轴轴转到原转到原z轴，则有轴，则有 xyzo111由上面可得，具有立方对称性的晶体的介电常数张量为由上面可得，具有立方对称性的晶体

32、的介电常数张量为或或 因为因为，由上式得，由上式得 (6)1.24 试导出简单单斜晶系、六角晶系、四方晶系中晶面族面试导出简单单斜晶系、六角晶系、四方晶系中晶面族面间距的表达式。间距的表达式。解：解：对于单斜晶系，基矢间夹角对于单斜晶系，基矢间夹角 基矢长度基矢长度 原胞体积原胞体积倒格子基矢长度倒格子基矢长度同样可得同样可得而而因为晶面间距因为晶面间距 与倒格矢与倒格矢 的关系为的关系为 故有故有把前面有关的各项结果代入，稍加整理即得把前面有关的各项结果代入，稍加整理即得因为晶面间距因为晶面间距 与倒格矢与倒格矢 的关系为的关系为 对于六角晶系，对于六角晶系，因而因而原胞体积原胞体积倒格基矢

33、倒格基矢而而把这些结果代入把这些结果代入(1)式经整理后即得式经整理后即得对于四方晶系对于四方晶系建如下坐标，使建如下坐标，使此处此处 为直角坐标系的三个方向单位矢量。为直角坐标系的三个方向单位矢量。原胞的体积原胞的体积 倒格子基矢倒格子基矢而而 晶面间距晶面间距 与倒格矢与倒格矢 的关系为的关系为 因而因而将前述各项结果代入上式，稍加整理即得将前述各项结果代入上式，稍加整理即得 证明：证明：由题已知，由题已知，设衍射波矢为设衍射波矢为又简立方正格矢又简立方正格矢1.25 如如 射线沿简立方晶胞的射线沿简立方晶胞的 负方向入射，求证：负方向入射，求证：当当 时，衍射光线在时，衍射光线在其中其中

34、 是衍射光线和是衍射光线和 方向的夹角。方向的夹角。平面上，平面上，其倒格矢其倒格矢由衍射极大条件由衍射极大条件可知可知（1）又因又因代入可知代入可知所以所以因为因为由由知知所以所以即衍射光线在即衍射光线在 平面上。平面上。证明：若用证明：若用和和分别代表入射光束和衍射光束分别代表入射光束和衍射光束的方位角，仅考虑一级衍射，劳厄方程写为的方位角，仅考虑一级衍射，劳厄方程写为1.26 如如表示晶格常数，表示晶格常数，表示入射光束与衍射光束之间的夹表示入射光束与衍射光束之间的夹式中，式中，是衍射面的密勒指数；是衍射面的密勒指数；为为X射线波长。射线波长。角，证明对于简单立方晶格，角，证明对于简单立

35、方晶格，(1)(2)注意到对于立方晶系，注意到对于立方晶系，式式(2)化简为化简为(3)若以若以和和代表入射光束和衍射光束的单位矢量，代表入射光束和衍射光束的单位矢量，代表它代表它将将(1)式中各等式两边平方，然后相加，则得到式中各等式两边平方，然后相加，则得到此处此处a、b、c分别为三维方向上的原子间距，对于简单立方结分别为三维方向上的原子间距，对于简单立方结构，构，a=b=c。代表它们间的夹角，代表它们间的夹角，代入代入(3)式，得式，得 则则1.27 试讨论面心立方结构衍射面指数和衍射强度的关系。试讨论面心立方结构衍射面指数和衍射强度的关系。解：解：在结晶学中，面心立方结构的原胞包含在结

36、晶学中，面心立方结构的原胞包含4个原子，个原子，其坐标为其坐标为。如晶体由一种原子组成，如晶体由一种原子组成，将各原子坐标代入得将各原子坐标代入得 当当时，结构因子为零，时，结构因子为零，相应的反射消失。相应的反射消失。1.28 在氯化钠晶格中，在氯化钠晶格中，在在诸点；诸点；在在诸点。诸点。试讨论试讨论衍射面指数和衍射强度的关系。衍射面指数和衍射强度的关系。解：解：因为氯化钠晶格为面系立方结构，因为氯化钠晶格为面系立方结构，且且 和和坐标如题给。坐标如题给。已知已知因因又因为又因为所以衍射面指数与几何结构因子的关系为：所以衍射面指数与几何结构因子的关系为：所以衍射面指数与衍射强度的关系为：所

37、以衍射面指数与衍射强度的关系为：1.29:设由原子设由原子A和和B组成的一维双原子晶体中组成的一维双原子晶体中,原子原子A和和B的散射的散射因子分别为因子分别为fA和和fB,A与与B之间的距离为之间的距离为a2,X射线垂直于原子线入射线垂直于原子线入射射,试证明试证明:(1)干涉条件是干涉条件是n=acos(是衍射光束与原子线间的夹角是衍射光束与原子线间的夹角);(2)当当n为奇数时为奇数时,衍射强度衍射强度当当n为偶数时为偶数时,衍射强度衍射强度解解:相邻两结点散射波相邻两结点散射波的波程差为的波程差为PQ+AB PQPQ=acos 当波程差为波长的整数倍时当波程差为波长的整数倍时,干涉相长

38、干涉相长,即干涉条件是即干涉条件是n=acos(2)+AB一个晶胞包含两个原子一个晶胞包含两个原子,其位矢为其位矢为:正格矢正格矢:倒格矢倒格矢:1.30 CuCL的晶格为的晶格为ZnS型结构，测知其晶格密度为型结构，测知其晶格密度为，从，从晶面反射的晶面反射的X射线亮纹对应的布喇射线亮纹对应的布喇，求，求X射线波长射线波长。格角格角解：由于解：由于CuCL具有具有ZnS结构，一个晶胞中含有结构，一个晶胞中含有4个个Cu原子和原子和4个个CL原子，或者说是原子，或者说是4个个CuCL分子。已知分子。已知Cu和和CL的原子量的原子量分别为分别为63.54和和35.457，故，故1molCuCL的

39、质量的质量M=(65.53+35.457)g。，应有，应有 此处此处为阿伏加德罗常数。为阿伏加德罗常数。设晶格常数为设晶格常数为a，晶格的密度为，晶格的密度为于是于是根据布拉格衍射公式，对于一级根据布拉格衍射公式，对于一级衍射衍射(n=1)，得到，得到对于立方晶系，对于立方晶系，(111)面的面间距等于立方体空间对角线长度的面的面间距等于立方体空间对角线长度的，即，即。1.31 用波长为用波长为的的X射线投射到钽的粉末上，得到前射线投射到钽的粉末上，得到前如下：如下：谱线谱线1234519.61128.136 35.15641.15647.769面几条衍射谱线的布喇格角面几条衍射谱线的布喇格角

40、已知钽为体心立方结构，试求：已知钽为体心立方结构，试求：(1)各谱线对应的衍射晶面族的面指数；各谱线对应的衍射晶面族的面指数；(2)上述各晶面族的面间距；上述各晶面族的面间距；(3)利用上两项结果计算晶格常数利用上两项结果计算晶格常数a。解：对于体心立方结构，衍射光束的相对强度由下式确定：解：对于体心立方结构，衍射光束的相对强度由下式确定：(200)、(211)、(220)和和(310)的散射。的散射。（n=1）即即考虑一级衍射，考虑一级衍射，n=1。显然，当衍射面指数之和显然，当衍射面指数之和(h+k+l)为为奇数时，衍射条纹消失。奇数时，衍射条纹消失。只有当只有当(h+k+l)为偶数时，才

41、能产为偶数时，才能产生相长干涉。生相长干涉。因此，所给谱线应依次对应于晶面因此，所给谱线应依次对应于晶面(110)、由布拉格公式由布拉格公式同法得同法得应用立方晶系面间距公式应用立方晶系面间距公式可得晶格常数可得晶格常数把上面各晶面指数和它们对应的面间距数值代入，依次求得把上面各晶面指数和它们对应的面间距数值代入，依次求得为为a的数值的数值3.2456,3.2668,3.2767,3.2835,3.2897取其平均值则得到取其平均值则得到解：解：(1)对于一级衍射，布拉格衍射公式为对于一级衍射，布拉格衍射公式为 (n=1)(n=1)1.32 用用X射线束照射铁晶体，当温度为射线束照射铁晶体，当

42、温度为时，得到最初的时，得到最初的；当温度为；当温度为时，衍时，衍三个衍射角为三个衍射角为射角为射角为。已知在上述温度范围，铁在不同。已知在上述温度范围，铁在不同的温度下可能是体心立方结构的温度下可能是体心立方结构或面心立方结构。或面心立方结构。试求：试求：(1)在在和和时，铁各属什么结构？时，铁各属什么结构？（2）若在）若在求其晶格常数和求其晶格常数和X射线波长。射线波长。，时，铁的密度为时，铁的密度为从而从而 当当时，衍射角时，衍射角于是于是=7.01:4.96:4.048=1:0.707:0.577 (1)当当时，衍射角时，衍射角同理得同理得(2)另一方面，对于体心立方结构，只有面指数之

43、和另一方面，对于体心立方结构，只有面指数之和(h+k+l)为偶数为偶数的晶面族才能产生一级衍射亮纹，因此最初的三条亮纹应该是的晶面族才能产生一级衍射亮纹，因此最初的三条亮纹应该是依次由晶面族依次由晶面族(110)、(200)、(211)所产生的。所产生的。(3)因此可得因此可得已知立方晶系晶面族已知立方晶系晶面族(hkl)的面间距公式为的面间距公式为(4)对于面心立方结构，只有面指数对于面心立方结构，只有面指数(hkl)全为偶数（包括零或全为全为偶数（包括零或全为奇数的晶面族才能产生一级衍射亮纹，因而最初三条亮纹因该奇数的晶面族才能产生一级衍射亮纹，因而最初三条亮纹因该(5)把把(1)、(2)式的结果与式的结果与(4)、(5)式对照，不难判定，当温度为式对照，不难判定，当温度为时铁是体心立方结构，而当温度为时铁是体心立方结构，而当温度为时则为面心立方结构。时则为面心立方结构。由式得由式得对应于晶面族对应于晶面族(111)、(200)和和(220)，因而其晶体密度应为因而其晶体密度应为（）当（）当时铁为体心立方结构，一个晶胞中有时铁为体心立方结构，一个晶胞中有2个铁原子。个铁原子。已知铁的摩尔量已知铁的摩尔量M=55.847，阿伏加德罗常数，阿伏加德罗常数，由此可求得晶格常数由此可求得晶格常数最后，由最后，由(1)、(3)两式可求得两式可求得x射线波长射线波长