最新微分方程6-7-8PPT课件.ppt

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1、微分方程6-7-8物体自由振动的微分方程物体自由振动的微分方程强迫振动的方程强迫振动的方程串联电路的振荡方程串联电路的振荡方程第七节二阶常系数齐次线性方程解法第七节二阶常系数齐次线性方程解法-特征方程法特征方程法将其代入上方程将其代入上方程,得得故有故有特征方程特征方程特征根特征根特点特点未知函数与其各阶导数的线性组合等于未知函数与其各阶导数的线性组合等于0即函数和其各阶导数只相差常数因子即函数和其各阶导数只相差常数因子猜想猜想有特解有特解 有两个不相等的实根有两个不相等的实根特征根为特征根为两个线性无关的特解两个线性无关的特解得齐次方程的通解为得齐次方程的通解为 有两个相等的实根有两个相等的

2、实根特征根为特征根为一特解为一特解为得齐次方程的通解为得齐次方程的通解为 有一对共轭复根有一对共轭复根特征根为特征根为重新组合重新组合得齐次方程的通解为得齐次方程的通解为由常系数齐次线性方程的特征方程的根由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为确定其通解的方法称为特征方程法特征方程法.方法步骤方法步骤写出特征方程写出特征方程求出特征根求出特征根按特征根的三种不同情况依下表写出齐通解按特征根的三种不同情况依下表写出齐通解 特征根 齐通解例例1 求通解求通解解解 特征方程为特征方程为特征根为特征根为齐通解为齐通解为例例2 2解解特征方程为特征方程为解得解得故所求通解为故所求通解为例例

3、3 3解解特征方程为特征方程为解得解得故所求通解为故所求通解为例例4 设圆柱形浮筒，直径为设圆柱形浮筒，直径为0.5 米，铅直放米，铅直放在水中，当稍向下压后突然放开，浮筒在水中，当稍向下压后突然放开，浮筒在水中振动的周期为在水中振动的周期为2 秒，求浮筒的质量秒，求浮筒的质量解解设浮筒的质量为设浮筒的质量为 m 平衡时平衡时 圆柱浸入水中深度为圆柱浸入水中深度为 l浮力浮力重力重力设设 t 时刻浮筒上升了时刻浮筒上升了 x 米米 此时此时浮力浮力重力重力由由Newton第二定律第二定律 记记三、三、n阶常系数齐次线性方程解法阶常系数齐次线性方程解法特征方程为特征方程为特征方程的根特征方程的根

4、通解中的对应项通解中的对应项注意注意n次代数方程有次代数方程有n个根个根,而特征方程的每一个而特征方程的每一个根都对应着通解中的一项根都对应着通解中的一项,且每一项各含一且每一项各含一个任意常数个任意常数.实重根实重根复单根复单根复重根复重根实单根实单根几种情况几种情况每个根对应通解中的一项每个根对应通解中的一项其写法与二阶方程的情形完全类似其写法与二阶方程的情形完全类似具体分为具体分为例例5解解 特征方程为特征方程为解得解得故所求通解为故所求通解为例例6 6解解特征方程为特征方程为特征根为特征根为故所求通解为故所求通解为二阶常系数非齐次线性方程二阶常系数非齐次线性方程对应齐次方程对应齐次方程

5、通解结构通解结构常见类型常见类型难点难点：如何求特解？如何求特解？方法方法：待定系数法待定系数法.自由项为自由项为二阶常系数非齐次线性微分方程二阶常系数非齐次线性微分方程一、型设非齐方程特解为设非齐方程特解为代入原方程代入原方程综上讨论综上讨论注意注意 上述结论可推广到上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性阶常系数非齐次线性微分方程（微分方程（k是重根次数）是重根次数）.特别地特别地例例1 1解解特征方程特征方程特征根特征根对应齐次方程通解对应齐次方程通解代入方程代入方程,得得原方程通解为原方程通解为求通解求通解解解特征方程特征方程特征根特征根齐通解齐通解即即代入（代入（*）式）式非齐通解为非齐

6、通解为例例2 分别是分别是 的实部和虚部的实部和虚部可设可设辅助方程辅助方程由分解定理由分解定理分别是以分别是以 为自由项的非齐次线为自由项的非齐次线性微分方程的特解性微分方程的特解注意注意上述结论可推广到上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程阶常系数非齐次线性微分方程例例3 3解解 对应齐方通解对应齐方通解作辅助方程作辅助方程代入上式代入上式所求非齐方程特解为所求非齐方程特解为（取虚部）（取虚部）原方程通解为原方程通解为这种方法称为复数法这种方法称为复数法例例4 4解解对应齐方通解对应齐方通解作辅助方程作辅助方程代入辅助方程代入辅助方程所求非齐方程特解为所求非齐方程特解为（取实部）（取

7、实部）原方程通解为原方程通解为注意注意例例6 求通解求通解解解 相应齐方程相应齐方程特征方程特征方程齐通解齐通解先求先求 的特解的特解设设代入方程代入方程再求再求 的特解的特解考虑辅助方程考虑辅助方程可设可设代入方程得代入方程得取实部得取实部得原方程的特解原方程的特解所求通解为所求通解为 一链条悬挂在一钉子上，起动时一端离一链条悬挂在一钉子上，起动时一端离钉子钉子8米，另一端离钉子米，另一端离钉子12米，若不计摩米，若不计摩擦力，求此链条滑过钉子所需的时间擦力，求此链条滑过钉子所需的时间下段重为下段重为解解 设时刻设时刻 t 链条下落了链条下落了 x 米米另设链条单位长重为另设链条单位长重为则上段重为则上段重为由由Newton第二定律第二定律例例8 特征方程特征方程特征根特征根齐通解齐通解特解特解故故代入初始条件代入初始条件解得解得结束语结束语谢谢大家聆听！谢谢大家聆听！37