压电振子的振动模式.ppt

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1、压电振子的振动模式 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life,there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望前前几几章章我我们们根根据据晶晶体体的的对对称称性性，分分析析讨讨论论了了不不同同对对称称性性的的压压电电晶晶体体所所具具有有的的独独立立的的介介电电常常数数、弹弹性性常常数数、压压电电常常数数，以以及及这这些些量量与与电电学学量量电电位位移移、电电场场强强度度等等之之间间的的关关系系，与与机机械械量量应应力力、应应变变之之间间的的关关系系（胡胡克克定定律律），与与电电学学量量和和机机械械量量之之间

2、间的的关关系系（压压电电方方程程组组）等等等等，但是未涉及到但是未涉及到如何确定这些常数的数值如何确定这些常数的数值。在在实实验验上上通通常常是是通通过过测测定定压压电电元元件件的的谐谐振振频频率率和和反反谐谐振振频频率率的的方方法法来来确确定定这这些些常常数数的的，这这就就要要求求对对晶晶体体的的这这些些常常数数同同晶晶片片的的谐谐振振频频率率和和反反谐谐振振频频率率之之间间的的关关系系进进行行理理论论分分析析。这这种种实实验验的的和和理理论论的的分分析析工工作作，是是研研究究压压电电晶晶体体的的一一个个重要方面。重要方面。确定材料参数确定材料参数确定材料参数确定材料参数另另一一方方面面，压

3、压电电元元件件常常用用于于振振荡荡器器、滤滤波波器器、换换能能器器、光光调调幅幅器器以以及及延延迟迟线线等等等等。这这些些器器件件都都是是压压电电效效应应来来激激发发压压电电体体的的机机械械振振动动。因因此此，只只有有通通过过对对压压电电元元件件的的振振动动模模式式的的讨讨论论，才才能能较深入地了解压电元件的工作原理和工作性质。较深入地了解压电元件的工作原理和工作性质。元器件的设计元器件的设计元器件的设计元器件的设计 虽虽然然压压电电晶晶体体（包包括括已已极极化化的的压压电电陶陶瓷瓷）是是各各向向异异性性体体，但但是是压压电电元元件件都都是是根根据据工工作作需需要要，选选择择有有利利的的方方向

4、向切切割割下下来来的的晶晶片片，这这些些晶晶片片大大多多数数薄薄长长片片、圆圆片片、方方片片等等较较简简单单的的形形状状，它它的的基基本本振振动动模模式式（如如伸伸缩缩振振动动、切切变变振振动动等等）大大体体上上与与各各向向同同性性的的弹弹性性介介质质相相同同，都都是是在在有有限限介介质质中中以以驻驻波波的的形形式式传传播播，只只有有在在非非常常简简单单的的情情况况下下，才才可可能得到波动方程的准确解。能得到波动方程的准确解。对于稍复杂的情况，只有近似解。对于稍复杂的情况，只有近似解。在在本本章章中中，不不可可能能对对各各种种振振动动方方式式都都进进行行详详细细讨讨论论，只只是是对对其其中中最

5、最简简单单最最常常用用的的振振动动模模式式作作较较系系统统而而全全面面的的分分析析讨讨论论，希希望望通通过过对对特特殊殊性性的讨论了解普遍性的讨论了解普遍性。薄长片压电振子的长度伸缩振动薄长片压电振子的长度伸缩振动 薄薄长长片片压压电电振振子子的的长长度度伸伸缩缩振振动动，又又称称纵纵向向振振动动，是是压压电电元元件件中中常常采采用用的的一一种种振振动动方方式式，也是最简单的振动方式。也是最简单的振动方式。在在这这一一节节中中除除了了讨讨论论压压电电振振子子的的纵纵向向振振动动特特性性外外，还还要要讨讨论论压压电电振振子子的的等等效效电电路路以以及及压压电电材材料料的的介介电电常常数数、弹弹性

6、性常常数数和和压压电电常常数数的的测量等内容。测量等内容。薄长片压电振子的压电方程组薄长片压电振子的压电方程组 设设d d3131 0 0的的压压电电晶晶体体的的zxzx切切割割晶晶片片，长长度度l l沿沿x x方方向向，宽宽度度l lw w沿沿y y方方向向，厚厚度度l lt t沿沿z z方方向向，并并且且有有llllw w和和l lt t，电电极极面面与与z z轴轴垂垂直直，如如图图6-36-3所所示示。因因为为llllw w和和l lt t，长长度度方方向向是是主主要要因因素素，所所以以只只考考虑虑应应力力分分量量X X1 1的的作作用用，其其它它应应力力分分量量X X2 2、X X3

7、3、X X4 4、X X5 5、X X6 6可以忽略不计。可以忽略不计。图图5-1 5-1 薄长片压电振子薄长片压电振子因因为为电电极极面面垂垂直直于于z z轴轴，所所以以只只要要考考虑虑电电场场分分量量E E3 3的的作作用用，其其它它电电场场分分量量E E1 1、E E2 2可可以以忽忽略略不不计计。又又因因为为测测量量时时（或或工工作作时时）只只是是薄薄片片的的中中心心被被夹夹住住，片片的的两两端端为为自自由由端端，即即薄薄片片的的边边界界条条件件为为机机械械自自由由，在在边边界界上上的的应应力力分分量量X X1 1|边界边界=0=0。还有。还有电极面是等位面电极面是等位面。在在此此情情

8、况况下下，可可以以选选X X1 1、E E3 3为为自自变变量量，用用第第一一类压电方程组，即：类压电方程组，即：根据牛顿第二运动定律得到根据牛顿第二运动定律得到薄长片薄长片的运动方程为：的运动方程为：为为了了得得到到薄薄长长片片压压电电振振子子的的波波动动方方程程，就就需需要要根根据压电方程组中应力与应变的关系式，据压电方程组中应力与应变的关系式，代入波动方程得：代入波动方程得：因因为为压压电电振振子子的的电电极极面面是是等等位位面面，电电场场分分量量E E3 3在在晶晶片片中中是是均均匀匀分分布布的的，即即有有 E/E/x=0 x=0。将将这这些些关关系代入上式式即得薄长片压电振子的波动方

9、程为：系代入上式式即得薄长片压电振子的波动方程为：声速声速若压电振子是在交变电场E3=E0ejt的激发下，通过压电效应产生纵向振动，则上式的通解为：式中波矢k=/c；A、B为待定系数，由边界条件确定。满足边界条件的解满足边界条件的解因为压电振子的两端为自由端，它的机械自由边因为压电振子的两端为自由端，它的机械自由边界条件为界条件为:x=0 x=0时，有时，有X X1 1|x=0 x=0=0=0；x=l x=l时，有时，有X X1 1|x=lx=l=0;=0;X X1 1=?,u(x)=?,u(x)而应力的表达式可以写为：而应力的表达式可以写为：代入边界条件得代入边界条件得:x=0 x=0时时,

10、X,X1 1=0=0：x=lx=l时时,X,X1 1=0=0：稍加整理即得稍加整理即得:把把A A、B B代代回回到到波波动动方方程程的的解解中中，得得到到满满足足边边界界条件的解为条件的解为:为为了了对对上上式式所所表表示示的的波波形形有有较较具具体体的的了了解解，在在图图5-25-2中中，绘绘出出了了t=0t=0及及t=t=/=1/2=1/2周周期期时时的的波波形形。从从图图5-25-2中中可可以以看看出出上上式式代代表表纵纵驻驻波波方方程程式式，即在薄长片压电振子中传播的是纵驻波。即在薄长片压电振子中传播的是纵驻波。图图5-2 5-2 薄长片压电振子的纵向振动薄长片压电振子的纵向振动t=

11、0t=0时：时：t=t=/时：时：x0l/2lt=0u0t=/薄薄长长片片压压电电振振子子中中的的应应力力、应应变变以以及及电电位位移移与与（x x、t t）的关系为）的关系为:式中式中E E3 3=E=E0 0e ej j t 应力应力自由自由式中：式中：或或:传统电介质材料（知识回顾）传统电介质材料（知识回顾）介电常数介电常数，长，长l l、宽、宽l lw w 、厚、厚l lt t电容：电容：容抗：容抗：电流：电流：电流随频率电流随频率单调增加，单调增加，有位相差有位相差通过薄长片压电振子的电流通过薄长片压电振子的电流 因因为为通通过过压压电电振振子子电电极极面面上上的的电电流流I I3

12、3等等于于电电极极面面上的电荷上的电荷Q Q3 3随时间的变化率，即随时间的变化率，即:而电极面上的电荷而电极面上的电荷Q Q3 3与电位移与电位移D D3 3的关系为的关系为(5-15)最后得到通过压电振子电极面的电流为最后得到通过压电振子电极面的电流为:所以有所以有:薄长片压电振子的等效导纳薄长片压电振子的等效导纳若若通通过过薄薄长长片片压压电电振振子子的的电电流流为为I I3 3，两两电电极极之间电压为之间电压为V V3 3，则压电振子等效阻抗，则压电振子等效阻抗Z Z为，为，压电振子的等效导纳压电振子的等效导纳G G为为:或者或者两电极面之间的电压两电极面之间的电压V V3 3为为:压

13、电振子的等效导纳为：压电振子的等效导纳为：牛顿定律牛顿定律压电方程压电方程波动方程波动方程边界条件边界条件质点位移质点位移电位移电位移电流，导纳电流，导纳材料参数，等效电路材料参数，等效电路结果分析结果分析以以上上就就是是如如何何通通过过压压电电方方程程和和波波动动方方程程求求得得压压电振子的等效导纳方法。电振子的等效导纳方法。下下面面进进一一步步分分析析在在不不同同频频率率时时压压电电振振子子导导纳纳的的性质。性质。频率很低时的情况频率很低时的情况 at low frequency at low frequency当外加交变电场的频率很低时，即当外加交变电场的频率很低时，即 很小时，可以很小

14、时，可以近似认为近似认为k=k=/c/c0 0，于是，于是:频率很低时，薄长片压电振子的等效导纳频率很低时，薄长片压电振子的等效导纳式中电容：式中电容：（5-215-21）自由介电常数自由介电常数 X X3333的确定的确定可可见见低低频频时时压压电电振振子子等等效效为为一一个个电电容容性性元元件件，或或者者说说在在低低频频时时，压压电电振振子子在在电电路路中中只只起起一一个个电电容容器器的的作作用用，它它的的电电容容数数值值由由（5-215-21）式式确确定定。实实验验上上就就是是通通过过在在很很低低频频率率下下，测测量量压压电电振振子子的的电电容容C Clowlow（称称为为低低频频电电容

15、容）来来确确定定自自由由介介电常数电常数 X X3333。应应该该注注意意，这这里里所所说说的的“频频率率很很低低”是是指指外外加加交交变变电电场场的的频频率率f f（或或）远远小小于于压压电电振振子子的的谐谐振振频频率率f fr r（或或 r r）的的情情况况，即即ffffr r，或或 00，于是：，于是：在反谐振频率时的情况在反谐振频率时的情况因因为为 00，所所以以(+)/2)/2在在第第二二象象限限，这这时时tan(tan(+)/2)0)/2)0，并并随随频频率率的的增增加加在在（-0 0）范范围围内内变变化化，因因此此一一定定存存在在某某一一个个频频率率f fa a或或 a a，即，

16、即k=kk=ka a=a a/c/c时，使得时，使得:即即当当k=kk=ka a时时，薄薄长长片片压压电电振振子子的的等等效效导导纳纳为为零零，等效阻抗为无限大；通过压电振子的电流等于零。等效阻抗为无限大；通过压电振子的电流等于零。导纳：导纳：在反谐振频率时的情况在反谐振频率时的情况电流：电流：阻抗：阻抗：可可见见，当当外外加加交交变变电电场场E E3 3的的频频率率f=ff=fa a或或=a a时时，压压电电振振子子的的等等效效阻阻抗抗为为无无限限大大（实实际际上上为为最最大大值值），通通过过的的电电流流为为最最小小（即即等等于于零零）。这这也也是是一一种种谐谐振振现现象象，相相应应的的频频

17、率率f fa a称称为为反反谐谐振振频频率率。实实验验上上，常常通通过过测测量量谐谐振振频频率率与与反反谐谐振振频频率率来来确确定定机机电耦合系数。电耦合系数。纵纵向向振振子子的的机机电电耦耦合合系系数数k k3131与与谐谐振振频率频率f fr r和反谐振频率和反谐振频率f fa a之间的关系之间的关系欲欲得得到到的的k k3131与与f fr r和和f fa a的的关关系系式式，要要从从（5-245-24）式出发，将（式出发，将（5-245-24）式改写为：）式改写为：（5-255-25）再将再将以及以及代入（代入（5-255-25）式得）式得 （5-26）因因为为反反谐谐振振频频率率稍稍

18、大大于于谐谐振振频频率率，故故可可将将反反谐谐振频率振频率f fa a写成：写成：又：将这些关系代入到（5-26）式得：再再代代入入上上式式，并并加加整整理理后后，即即得得机机电电耦耦合合系系数数k k3131与谐振频率与谐振频率f fr r与反谐振频率与反谐振频率f fa a的关系式：的关系式：因为因为 f/ff/fr r很小，可以将展成为幂级数：很小，可以将展成为幂级数：机电耦合系数机电耦合系数k k3131的确定的确定因因为为 f/ff/fr r很很小小，通通常常只只取取上上式式的的第第一一项项（最最多多取取到第二项）来计算到第二项）来计算k k3131值，即值，即压电常数压电常数d d

19、3131的确定的确定可可见见实实验验上上，只只要要测测出出压压电电振振子子的的谐谐振振频频率率f fr r和和反反谐谐振振频频率率f fa a，代代入入（5-285-28）式式，即即可可确确定定机机电电耦耦合合系系数数k k3131。再再结结合合通通过过低低频频电电容容C C0 0确确定定的的自自由由介电常数介电常数 X X3333=l=lt tC C0 0/ll/llw w，即可确定压电常数，即可确定压电常数d 夹持介电常数夹持介电常数 （5-305-30）总总之之，通通过过薄薄长长片片压压电电振振子子的的谐谐振振频频率率f fr r、反反谐谐振振频频率率f fa a以以及及低低频频电电容容

20、C Clowlow和和密密度度，即即可可确确定定压压电电晶晶体体（或或压压电电陶陶瓷瓷）的的弹弹性性柔柔顺顺常常数数s sE E1111、压压电电常常数数d d3131、自自由由介介电电常常数数 X X3333、夹夹住住介介电电常常数数 x x3333和机电耦合系数和机电耦合系数k k3131等物理量。等物理量。薄长片压电振子的等效电路薄长片压电振子的等效电路equivalent circuitequivalent circuit器件设计器件设计For device designFor device 已已知知薄薄长长片片压压电电振振子子的的等等效效导导纳纳G G（或或等等效效阻阻抗抗Z Z）为

21、）为当当外外加加电电场场的的频频率率很很低低时时，压压电电振振子子的的等等效效导导纳为：纳为：可可见见频频率率很很低低时时，压压电电振振子子在在电电路路中中只只起起着着一一个个电电 容容 为为 C Clowlow的的 电电 容容 器器 的的 作作 用用，它它 的的 阻阻 抗抗 为为Z=1/(jCZ=1/(jClowlow)，在在此此情情况况下下的的压压电电振振子子的的等等效效电电路路是是如图如图5-35-3所示纯电容电路。所示纯电容电路。频率很低时压电振子的等效电路频率很低时压电振子的等效电路图图5-35-串联谐振串联谐振 Series resonant Series resonant等等效效

22、阻阻抗抗Z|Z|frfr=0=0，电电流流I I3 3=（实实际际上上I I3 3=极极大大值值）。这这种种谐谐振振现现象象与与无无线线电电中中的的LC LC 串串联联谐谐振振现现象象相相同同。因因为为LC LC 串串联联谐谐振振时时，电电路路中中的的阻阻抗抗=0=0，电流电流=。当外加电场的频率等于压电振子的谐振频率当外加电场的频率等于压电振子的谐振频率f fr r时，时，压电振子的等效导纳为：压电振子的等效导纳为：所所以以可可以以认认为为谐谐振振时时，压压电电振振子子在在电电路路中中起起着着一一个个串串联联的的电电容容C C1 1和和电电感感L L1 1的的作作用用。在在此此情情况况下下，

23、压压电电振振子子的的等等效效电电路路如如图图5-45-4所所示示的的串串联联电电路路。压压电电振振子子的的谐谐振振频频率率f fr r就就等等于于LCLC串串联联电电路路中中的的谐谐振频率振频率f fs s。谐振时压电振子的等效电路谐振时压电振子的等效电路图图 5-4 5-并联谐振并联谐振 parallel resonant parallel resonant当当外外加加电电场场的的频频率率等等于于压压电电振振子子的的反反谐谐振振频频率率f fa a时，压电振子的等效导纳为：时，压电振子的等效导纳为：等等效效阻阻抗抗Z|Z|fafa=，电电流流I I3 3=0=0（实实际际上上为为电电流流极极

24、小小）。这这种种谐谐振振现现象象与与无无线线电电中中的的LC LC 并并联联谐谐振振现现象象相相同同。因因为为LC LC 并并联联谐谐振振时时，电电路路中中的的阻阻抗抗无无限限大，电流为零。大，电流为零。所所以以可可以以认认为为反反谐谐振振时时，压压电电振振子子在在电电路路中中起起着着一一个个由由电电容容C C0 0和和电电感感L L1 1以以及及电电容容C C1 1相相并并联联的的作作用用。在在此此情情况况下下，压压电电振振子子的的等等效效电电路路如如图图5-55-5所所示示的的LCLC并并联联电电路路。压压电电振振子子的的反反谐谐振振频频率率f fa a就等于就等于LCLC并联电路中的谐振

25、频率并联电路中的谐振频率f fp p。反谐振时压电振子的等效电路反谐振时压电振子的等效电路图图 5-5 5-压电振子等效电路中的压电振子等效电路中的C C0 0、L L1 1和和C C1 1与压电与压电常数、介电常数和弹性常数之间的关系常数、介电常数和弹性常数之间的关系 一一方方面面，压压电电振振子子的的振振动动特特性性是是由由压压电电振振子子的的内内部部矛矛盾盾来来解解决决的的，即即由由压压电电振振子子的的压压电电常常数数、介介电常数和弹性常数来决定的。电常数和弹性常数来决定的。另另一一方方面面，压压电电振振子子的的振振动动特特性性又又可可用用LC LC 串串联联电电路路和和LC LC 并并

26、联联电电路路反反映映出出来来。因因此此等等效效电电路路中中的的C C0 0、L L1 1和和C C1 1与与压压电电常常数数、介介电电常常数数和和弹弹性性常常数数之之间间存存在在一定的关联。一定的关联。这这个个联联系系可可通通过过压压电电振振子子的的等等效效阻阻抗抗（或或等等效效导纳）与导纳）与LCLC电路中的阻抗加以比较而得到。电路中的阻抗加以比较而得到。已知压电振子的等效导纳为：已知压电振子的等效导纳为：其中：其中：为分路电容为分路电容为分路阻抗为分路阻抗为动态阻抗为动态阻抗使动态阻抗使动态阻抗Z Z1 1在谐振频率附近展开，因为在谐振频率附近展开，因为故得：故得：（5-315-31）使使

27、LCLC串联阻抗在串联谐振频率串联阻抗在串联谐振频率附近展开得：附近展开得：（5-325-32）压电振子压电振子LCLC串联电路串联电路比比较较（5-315-31）式式与与（5-325-32）式式可可以以看看出出，在在谐谐振振频频率率附附近近，取取一一级级近近似似可可得得动动态态阻阻抗抗等等效效于于（集集总总参参数）数）LCLC串联阻抗，其中联系为：串联阻抗，其中联系为：（5-345-34）（5-335-33）（5-335-33）与与（5-345-34）两两式式分分别别给给出出了了压压电电振振子子的的等等效效电电感感、等等效效电电容容和和压压电电常常数数、弹弹性性常常数数之之间间的关系。的关系

28、。几点注意事项几点注意事项通通过过上上述述讨讨论论使使我我们们对对薄薄长长片片压压电电振振子子的的振振动动特特性性、等等效效电电路路以以及及有有关关的的压压电电常常数数、弹弹性性常常数数、介介电电常常数数和和机机电电耦耦合合系系数数的的测测量量有有了了一一个个较较全全面面的的了了解解。但但是是应应该该注注意意，上上述述讨讨论论是是在在压压电电振振子子不不存存在在损损耗耗的的条条件件下下进进行行的的。而而且且是是在在谐谐振振频频率率附近附近的近似条件下得到的。的近似条件下得到的。实实际际上上压压电电振振子子总总是是存存在在损损耗耗的的，只只是是在在损损耗耗很很小小时时，才才可可能能将将损损耗耗忽

29、忽略略不不计计，近近似似认认为为是是无无损损耗耗的的压压电电振振子子。如如果果压压电电振振子子的的损损耗耗不不能能忽忽略略不不计计，就就需需要要计计入入损损耗耗的的影影响响，于于是是问问题题就就比比较较复杂了复杂了。这里只提出如下两点注意：这里只提出如下两点注意：（1 1）在在同同样样大大小小的的外外加加交交变变电电场场E E3 3=E=E0 0cos(cos(t)t)作作用用下下，有有机机械械损损耗耗的的压压电电振振子子的的振振幅幅比比无无损损耗耗的的压压电电振振子子的的振振幅幅小小一一些些，这这种种损损耗耗在在等等效效电电路路中中的的反反映映就就是是存存在在等等效效电电阻阻R R1 1，如

30、如图图5-65-6所所示。示。有损耗时压电振子的等效电路有损耗时压电振子的等效电路图图 5-6 5-其中等效电路参数为其中等效电路参数为（5-355-35）其中其中:Q Qm m为机械品质因子为机械品质因子。Mechanical Quality factorMechanical Quality （2 2）无无损损耗耗时时，压压电电振振子子的的谐谐振振频频率率f fr r，就就等等于于LCLC串串联联电电路路的的谐谐振振频频率率f fs s，也也等等于于阻阻抗抗最最小小（电电流流最最大大）时时的的f fm m。压压电电振振子子的的反反谐谐振振频频率率f fa a等等于于LCLC并并联联电电路路中

31、中的的谐谐振振频频率率f fp p，也也等等于于等等效效阻阻抗抗最最大大（电电流最小）时的测量频率流最小）时的测量频率f fn n，即有：，即有：有损耗时，压电振子的这些频率不在相等，而是有损耗时，压电振子的这些频率不在相等，而是即即有有损损耗耗时时，实实际际测测量量的的阻阻抗抗最最小小，电电流流最最大大时时的的频频率率f fm m，和和阻阻抗抗最最大大，电电流流最最小小时时的的频频率率f fn n，既既不不等等于于压压电电振振子子的的谐谐振振频频率率f fr r和和反反谐谐振振频频率率f fa a，也也不不等等于于LCLC串串联联谐谐振振频频率率f fs s和和LCLC并并联联谐谐振振频频率

32、率f fp p。但但是是当当等等效效电电阻阻R R1 1较较小小的的情情况况下下（即即Q Qm m值值较较高高的的情情况况下下），f fm m、f fr r、f fs s之之间间相相差差较较小小，f fn n、f fa a、f fp p之之间相差也较小。间相差也较小。所所以以实实用用上上常常忽忽略略这这个个差差别别，近近似似地地认认为为相相等等，即：即：这这时时压压电电振振子子的的各各个个参参数数，也也近近似似认认为为由由下下列列关系来确定：关系来确定：(5-36)(5-36)器件的材料、几何参数器件的材料、几何参数频率参数频率参数小结小结(纵向伸缩振动纵向伸缩振动)一、压电方程组一、压电方程

33、组+牛顿第二定律牛顿第二定律二、波动微分方程式二、波动微分方程式三、满足自由边界条件波动微分方程式的解三、满足自由边界条件波动微分方程式的解四、应力、应变、电位移与四、应力、应变、电位移与(x(x，t)t)的关系的关系五、通过振子电极面的电流五、通过振子电极面的电流六、振子的等效导纳六、振子的等效导纳G G或等效电阻或等效电阻Z Z为为七七、几几种种频频率率及及其其关关系系:谐谐振振频频率率,反反谐谐振振频频率率;串串联联谐谐振振频频率率,并并联联谐谐振振频频率率;最最大大导导纳纳频率频率,最小导纳频率最小导纳频率八八、压压电电振振子子有有关关的的常常数数与与谐谐振振频频率率及及反反谐谐振振频

34、率的关系频率的关系九九、压压电电振振子子的的等等效效电电容容、等等效效电电感感和和等等效效电电阻与材料参数的关系阻与材料参数的关系几点注意事项几点注意事项牛顿第二定律牛顿第二定律压电方程压电方程波动方程波动方程边界条件边界条件质点位移质点位移电位移电位移电流，导纳电流，导纳材料参数，等效电路材料参数，等效电路等效电路分析等效电路分析低频电场低频电场谐振低频谐振低频反谐振低频反谐振低频自由介电常数自由介电常数短路弹性柔顺常数短路弹性柔顺常数机电耦合系数机电耦合系数压电常数压电常数 等等-石英（点群为石英（点群为3232）的压电常数矩阵）的压电常数矩阵x x切切-石英晶片可能的振动模式。石英晶片可

35、能的振动模式。x x面为电极面。面为电极面。x x方向的纵向（厚度）伸缩振动；方向的纵向（厚度）伸缩振动；y y方向的横向伸缩振动方向的横向伸缩振动yzyz面切变振动。面切变振动。压电陶瓷的压电常数矩阵压电陶瓷的压电常数矩阵压电陶瓷圆片可能的振动模式。压电陶瓷圆片可能的振动模式。z z面为电极面。面为电极面。x x、y y方向的纵向伸缩振动；方向的纵向伸缩振动；z z方向的厚度伸缩振动。方向的厚度伸缩振动。寄生振动寄生振动n根据工作频率（谐振频率）设计的压电晶片根据工作频率（谐振频率）设计的压电晶片的几何尺寸。的几何尺寸。n由于在不同方向上的压电常数不为零（存在由于在不同方向上的压电常数不为零

36、（存在压电性），同一激励电场在同一压电晶片压电性），同一激励电场在同一压电晶片会产生多个振动模式。会产生多个振动模式。n这样在工作频率附近所产生的振动模式就是这样在工作频率附近所产生的振动模式就是寄生振动。寄生振动。开槽技术开槽技术n通过晶片的几何尺寸设计，可以有效地降低通过晶片的几何尺寸设计，可以有效地降低寄生振动的产生。寄生振动的产生。n另外的方法是开槽技术。另外的方法是开槽技术。n不同的振动模式所对应的边界条件不相同。不同的振动模式所对应的边界条件不相同。n通过在晶片边缘开槽，可以有效地抑制寄生通过在晶片边缘开槽，可以有效地抑制寄生振动。振动。薄长片压电振子的长度伸缩振动薄长片压电振子的长度伸缩振动薄长片压电振子的谐振频率薄长片压电振子的谐振频率f fr r为：为：薄长片压电振子长度薄长片压电振子长度长长度度越越长长，弹弹性性柔柔顺顺系系数数越越大大，谐振频率越低。谐振频率越低。