2017年高考数学总复习精品课件（苏教版）：第八单元第四节 基本不等式及其应用.ppt

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1、第八章 不等式,知识体系,第四节 基本不等式及其应用,基础梳理,2. 几个重要的不等式(1)a2+b2 (a,bR). (a,b同号).(3)ab (a,bR).,a0,b0,a=b,2ab,2,1. 基本不等式 (1)基本不等式成立的条件: .(2)等号成立的条件:当且仅当 时取等号.,3. 利用基本不等式求最值问题已知x0,y0,则(1)如果积xy是定值p,那么当且仅当 时,x+y有 值是 .(简记:积定和最小)()如果和x+y是定值p,那么当且仅当 时, xy有 是 .(简记:和定积最大),典例分析,题型一 证明不等式,【例1】已知a0,b0,c0,且a+b+c=1,求证: 9.,x=y

2、,最小,最大,x=y,证明 = (a+b+c)+ (a+b+c)+ (a+b+c) =3+ + + + + + = 3+2+2+2=9.,学后反思 本题如果改为a0,b0,c0,求(a+b+c)（ ）9就比较明显.用a+b+c=1的条件（a+b+c）“隐”去，造成了思考上的困难,因此应注意“1”的代换.构造基本不等式，使其积为定值，并使得等号同时成立.,分析 将a+b+c=1代入不等式左边,构造基本不等式模型,再利用基本不等式证明.,举一反三1. 设a0,b0,c0,求证:,证明: a0,b0, 同理, , 即,题型二 求最值,【例2】(1)设00,y0,且x+y=1,求 的最小值.,分析 (

3、1)由00,8-3x0.由于3x+(8-3x)=8,可由基本不等式得(2)原式变为 ,再讨论a-4的正负.(3)由 ,再用基本不等式求最值.,解 (1)020, ,当且仅当3x=8-3x,即 时取等号,当 时, 的最大值是4.,(2)显然a4,当a4时,a-40, ,当且仅当 时,取等号;,(3)x0,y0,且x+y=1, ,当且仅当 ,即x=2y时等号成立，当 时， 有最小值18.,当a4时,a-40,m0),g(x)恒正或恒负)的形式,然后运用基本不等式来求最值.,(2)第(3)小题要求根据条件求最值,如何合理利用条件x+y=1是解答本题的关键,方法是在式子上乘以(x+y).利用基本不等式

4、求最值时,要注意三个条件,即“一正、二定、三相等”，本题常见的错解为：,x0,y0, .此法错误的原因是没有考虑等号成立的条件 和x=y同时成立是不可能的.所以在不等式连续放缩的时候,要时刻注意是否在同一条件下进行放缩,放缩时还要注意目的性、同向性，不要出现放缩后不能比较大小的情况.在第(2)小题中当a4,即a-40时,要用基本不等式必须前面添负号变为正.,举一反三2. 求f(x)= +x的值域.,解析： 由已知得 (1)若x2,则x-20.故 当且仅当 ,即x=3时，取等号.(2)若x2,则x-20.故所以f(x)0,当且仅当 ,即x=1时，取等号.由（1）、(2)可知， 的值域为（-,04

5、,+）.,分析 这是一道建筑工程类问题，解决本题的突破点是将总费用分成三个部分：（1）建花坛MNPQ的费用；(2)阴影部分铺花岗岩地坪费用；（3）草坪费.,题型三 实际应用【例3】(14分)某住宅小区为了使居民有一个优雅、舒适的生活环境，计划建一个八边形的休闲小区，其主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为200 的十字型区域.现计划在正方形MNPQ上建一花坛，造价为4 200元/ ,在四个相同的矩形上（图中阴影部分）铺花岗岩地坪，造价为210元/ ，再在四个空角上铺草坪，造价为80元/ .(1)设总造价为S元，AD的边长为x m,试建立S关于x的函数关系式；（2）计划

6、至少要投多少元，才能建造这个休闲小区?,解 （1）设DQ=y则 , ,.3 .7(2) 10当且仅当 ,即x=10时取等号.即计划至少要投入11.8（万元）才能建造这个休闲小区.14.,学后反思 用基本不等式解决实际问题时，一般都是求某个量的最值，先把要求最值的量表示为某个变量的函数，再利用基本不等式求该函数的最值，求最值时，仍要满足前面所说的三个求最值的要求，有些实际问题中，要求最值的量需要用几个变量表示，同时，这几个变量满足某个关系式，这时，问题变成了一个条件最值，可用前面求条件最值的方法来求最值.,举一反三3. 某游泳馆出售冬季游泳卡,每张240元.其使用规定:不记名,每卡每次只限一人,

7、每天只限一次.某班48名同学,老师打算组织同学们集体去游泳,除需购买若干张游泳卡外,每次游泳还需包一辆汽车,无论乘坐多少名同学,每次的包车费均为40元.(1)若使每个同学游8次,每人最少应交多少元钱?(2)若使每个同学游4次,每人最少应交多少元钱?,解析： 可设买x张游泳卡,总开支y元,则(1)每批去x名同学,共需 批.总开支又分为:买卡所需费用240x;包车所需费用 (0x48,xN*), 当且仅当 ,即x=8时取等号.每人最少应交 =80(元).,(2)每批去x名同学,共需去 批.总开支又分为:买卡所需费用240x;包车所需费用 (00恒有a+1a2,从而 4,所以z的最小值为4.方法二：

8、x+y=1,x2+y2+2xy=1,x2+y2=1-2xy, = (x2y2+x2+y2+1) .,错解分析 方法一中z=4成立的条件是 且 ，即x=1且y=1，与x+y=1相矛盾；方法二中z=2（ -1）的条件是 =xy，即xy=2,这与0xy 相矛盾.,正解 由x+y=1知x2+y2+2xy=1,x2+y2=1-2xy,从而有z= = (x2y2+x2+y2+1)= (2+x2y2-2xy)= ,令xy=t(00,b0.广告的面积为S=(a+20)(2b+25)=2ab+40b+25a+500=18 500+25a+40b18 500+=18 500+ =24 500,当且仅当25a=40

9、b时等号成立，此时b= ,代入式得a=120,从而b=75,即当a=120,b=75时，S取得最小值24 500，故广告的高为140 cm,宽为175 cm时，可使广告的面积最小.,方法二:设广告的高和宽分别为x cm,y cm,则每栏的高和宽分别为x-20, ,其中x20,y25.两栏面积之和为2(x-20) =18 000,由此得y= +25,广告的面积S=xy=x( +25)= x+25x,整理得S= +25(x-20)+18 500,因为x-200,所以S +18 500=24 500,当且仅当 =25(x-20)时等号成立.此时有(x-20)2=14 400(x20),解得x=140,代入y= +25,得y=175.即当x=140,y=175,时,S取得最小值24 500,故当广告的高为140 cm,宽为175 cm时,可使广告的面积最小.,