2017年高考数学总复习精品课件（苏教版）：第四单元第二节 导数的应用（Ⅰ）.ppt

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1、第二节 导数的应用（）,1. 函数的单调性对于函数y=f(x)，如果在某区间上f(x)0,那么f(x)在该区间上是 ;如果f(x)0，那么f(x)在该区间上是 .2. 函数的极值与最大值（1）如果在x0附近的左侧f(x) 0,右侧f(x) 0,且f(x0) 0那么f(x0)是极大值；（2）如果在x0附近的左侧f(x) 0,右侧f(x) 0,且 0,那么 是极小值.（3）函数的极大值、极小值统称为函数的极值.（4）如果在函数定义域I内存在 ,使得对任意的xI，总有 , 则称 为函数在定义域上的 .,基础梳理,增函数,减函数,=,=,最大值,题型一 利用导数求函数的单调区间【例1】已知f(x)=e

2、x-ax-1,求f(x)的单调增区间.分析 通过解f(x)0,求f(x)的单调递增区间.解 f(x)=ex-ax-1,f(x)=ex-a.令f(x)0,得exa,当a0时，有f(x)0在R上恒成立；当a0时，有xln a.综上，当a0时，f(x)的单调增区间为(-,+); 当a0时，f(x)的单调增区间为ln a,+).,典例分析,学后反思 求函数的单调区间，就是解f(x)0或f(x)0，这些不等式的解就是使函数保持单调递增或递减的单调区间.,对可导函数，求单调区间的步骤如下：（1）求f(x)的定义域；（2）求出f(x)；（3）令f(x)=0，求出全部驻点（补充定义:若函数f(x)在点x0处的

3、导数f(x0)=0，则称点x0为函数f(x)的驻点）；（4）驻点把定义域分成几个区间，列表考查在这几个区间内f(x)的符号，因而可确定f(x)的单调区间.,举一反三,(2009辽宁改编)设 且曲线y=f(x)在x=1处的切线与x轴平行，求a的值，并讨论f(x)的单调性.,解析: f(x)=由条件知，f(1)=0,故a+3+2a=0a=-1,于是f(x)=故当x(-,-2)(1,+)时，f(x)0;当x(-2,1)时，f(x)0.从而f(x)在(-,-2),(1，+)上单调递减，在(-2,1)上单调递增,题型二 已知函数的单调性求参数范围【例2】已知函数f(x)=x3-ax-1.(1)若f(x)

4、在实数集R上单调递增，求实数a的取值范围；(2)是否存在实数a,使f(x)在(-1,1)上单调递减？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由.分析 函数的增区间是f(x)0恒成立的区间，函数的减区间是f(x)0恒成立的区间（导数值为零的点为有限个）.解 （1）由已知f(x)=3x2-a,f(x)在（-,+）上是单调增函数，f(x)=3x2-a0在(-,+)上恒成立，即a3x2对xR恒成立.3x20,只需a0.,(2)由f(x)=3x2-a0在(-1,1)上恒成立，得a3x2在x(-1,1)上恒成立.-1x1,3 3,只需a3.当a3时，f(x)=3x2-a在x(-1,1)上恒有f(x)0

5、,即f(x)在（-1,1）上为减函数.故存在实数a3,使f(x)在(-1,1)上单调递减.学后反思 关于不等式的恒成立问题，可以转化为求函数的最值问题来研究，如af(x)(xD)得af(x)max(xD);af(x)(xD)得af(x)min(xD).这种转化思想很重要，要注意掌握.,举一反三2. 已知函数（1）若函数f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率是-3,求a,b的值; (2)若函数f(x)在区间(-1,1)上不单调，求a的取值范围.,解析：（1）由题意得f(x)=由 ,解得b=0,a=-3或a=1.（2）函数f(x)在区间(-1,1)不单调，等价于导函数f(x)在(-1,1)既能

6、取到大于0的实数，又能取到小于0的实数,即函数f(x)在(-1,1)上存在零点，根据零点存在定理，有f(-1)f(1)0,即3+2(1-a)-a(a+2)3-2(1-a)-a(a+2)0,整理得 ,解得-5a-1.,题型三 利用导数求函数的极值【例3】求函数 的极值.分析 按照求极值的基本方法，首先从方程f(x)=0求出在函数f(x)定义域内所有可能的极值点，然后按照函数极值的定义判断在这些点处是否取得极值.,解 f(x)的定义域为R.令y=0,解得x=1或x=-1.当x变化时，y、y的变化情况为：,当x=-1时，f(x)有极小值-3;当x=1时，f(x)有极大值-1.,学后反思 求函数极值的

7、一般步骤：( 1)确定函数的定义域；( 2)求导数f(x); (3)求方程f(x)=0的全部实根；（4）检查方程f(x)=0的根左右两侧f(x)的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值;如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值.为判断方程f(x)=0的根左右两侧f(x)的符号，可用列表的方法：用方程f(x)=0的根及无意义的点，顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并列成表格.根据极值定义找到相应的极值,举一反三3. 已知函数 的图象与x轴切于点(1,0)，求f(x)的极值.,解析： f(x)过点（1，0），f(1)=1-p-q=0.f(x)= ,且f(x)与x轴相切于点(

8、1,0)，f(1)=3-2p-q=0.解方程组 得f(x)= ，其图象如图所示,题型四 已知函数的极值求参数的值【例4】(14分)已知函数f(x)=ax3+bx2-3x在x=1处取得极值，试讨论f(1)和f(-1)是函数的极大值还是极小值.分析 本题考查函数极值的概念，考查运用导数研究函数性质的方法，首先借助极值点求出函数的解析式,再利用导数求出函数的极值.解 f(x)=3ax2+2bx-3,依题意得f(1)=f(-1)=0,2,所以f(x)=x3-3x,f(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1).令f(x)=0,得x=-1或x=16若x(-,-1 1,+),则f(x)0.故f(x)在(-,

9、-1和 1,+)上是增函数10若x -1,1 ,则f(x)0,故f(x)在 -1,1 上是减函数12所以f(-1)=2是极大值，f(1)=-2是极小值.14学后反思 注意多项式可导函数的极值点与导数为零的根之间关系的应用.,即 ,解得a=1,b=04,举一反三4. 已知函数 .（1）设a=1，求函数f(x)的极值; (2)若a ,且当x1,4a时，|f(x)|12a恒成立，试确定a的取值范围.,解析 （1）当a=1时，对函数f(x)求导数，得f(x)=令f(x)=0，解得.列表讨论f(x),f(x)的变化情况：,所以，f(x)的极大值是f(-1)=6,极小值是f(3)=-26.,(2)f(x)

10、= 的图像是一条开口向上的抛物线，关于x=a对称.若 a1,则f(x)在1,4a上是增函数，从而f(x)在1,4a上的最小值是f(1)= ,最大值是f(4a)= .由|f(x)|12a,得-12a 12a，于是有f(1)= -12a,且f(4a)= 12a,由f(1)-12a,得 a1,由f(4a)12a,得0a .,若a1,则f(a)= 12a,故当x1,4a时,f(x)12a不恒成立.所以使|f(x)|12a(x1,4a)恒成立的a的取值范围是,【例】函数 在x=1处有极值10,求a、b的值.,易错警示,错解 f(x)= ,由题意知,f(1)=0,且f(1)=10,即2a+b+3=0,且

11、解得a=4,b=-11或a=-3,b=3.,错解分析 错误的主要原因是把 为极值的必要条件当作了充要条件.,正解 f( )为极值的充要条件是f( )=0且f(x)在x= 附近两侧的符号相反.所以“错解”后面应该加上：当a=4,b=-11时，f(x)=3 +8x-11=(3x+11)(x-1)在x=1附近两侧的符号相反，a=4,b=-11满足题意;当a=-3,b=3时，f(x)=3 在x=1附近两侧的符号相同，a=-3，b=3应舍去.a=4,b=-11.,考点演练,10. 已知函数f(x)=x3-ax2-3x.若f(x)在区间 1,+)上是增函数，求实数a的取值范围.,解析：(1)a=16.(2

12、)由（1）知，f(x)=16ln(1+x)+ -10x(x-1),.当x(-1,1)(3,+)时，f(x)0;当x(1,3)时，f(x)0.f(x)的单调递增区间是(-1,1),(3,+);f(x)的单调递减区间是(1,3).,11. (2008四川改编)已知x=3是函数f(x)=aln(1+x)+x2-10x的一个极值点. （1）求a; （2）求函数f(x)的单调区间.,12. (2010衡水模拟)设函数f(x)= (a0)，求a的取值范围，使函数f(x)在区间0,+)上是单调函数.,解析: f(x)= 因为 ,所以(1)当a1时，f(x)= 恒成立，所以f(x)在区间0,+)上是减函数.(2)当0a1时，由f(x)0得x ,所以f(x)在 上是单调递减函数;由f(x)0得x ,.,所以f(x)在 上是单调递增函数.综上所述,当且仅当a1时，f(x)在区间0,+)上是单调函数,