2017年高考数学总复习精品课件（苏教版）：第五单元第二节 同角三角函数的基本关系与诱导公式.ppt

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1、第二节 同角三角函数的基本关系与诱导公式,基础梳理,1. 同角三角函数基本关系式（1）平方关系： ;(2)商数关系：即同一个角的正弦、余弦的 等于1， 等于角的正切.2. 商数关系 成立的角的取值范围是,平方和,商,sin2+cos2=1,3. 诱导公式(1)公式一sin(+k2)= sin ,cos(+k2)= cos ,tan(+k2)= tan , 其中kZ.(2)公式二sin(-)= -sin ,cos(-)= cos ,tan(-)= -tan .(3)公式三sin(-)= sin ,cos(-)= -cos ,tan(-)= -tan .,(4)公式四sin(+)= -sin ,c

2、os(+)= -cos ,tan(+)= tan .,(5)公式五,(6)公式六,即+k2(kZ),-,的三角函数值，等于的 函数值，前面加上一个把看成 时原函数值的符号； 的正弦（余弦）函数值，分别等于的 函数值，前面加上一个把看成锐角时原函数值的符号.,4. 必须对一些特殊角的三角函数值熟记，做到“见角知值，见值知角”.,同名,锐角,余弦（正弦）,题型一 三角函数式的求值【例1】已知分析 由cos 求sin ,可利用公式sin2+cos2=1,同时要注意象限的划分.,典例分析,解 0,是第二或第三象限角.若是第二象限角，则sin 0,tan 0,若是第三象限角，则sin 0,tan 0,学

3、后反思 (1)掌握常用的勾股数组：“3,4,5”;“5,12,13”;“8,15,17”.(2)要根据问题的需要对公式sin2+cos2=1进行变形及1的代换，即sin2=1-cos2,cos2=1-sin2,1=sin2+cos2.(3)根据一个角的正弦、余弦、正切中的一个值求其余两个值(可简称为“知一求二”)时,要注意由于这个角所在象限的情况不同,从而可能出现一组或两组结果:如果已知三者之中其一的具体值且角所在的象限也已指定,那么只有一组结果;如果已知三者之中其一的具体值但未指定角所在的象限,那么要按角所在的象限进行讨论,这时一般有两组结果.,举一反三1. 已知sin(-)-cos(+)=

4、 ,求下列各式的值：（1）sin -cos ;(2) .,解析: 由sin(-)-cos(+)= ,得sin+cos= .将两边平方，得1+2sincos= ,2sincos=- .又 ,sin0,cos0.(1) =1-2sincos= ,sin-cos= .(2),题型二 三角函数式的化简,【例2】化简：分析 化简上式，要认真观察“角”，显然需利用诱导公式，注意诱导公式的合理选用.,解 方法一：,方法二：,学后反思 当角中含有 , ,2加减某个角时，要考虑用诱导公式进行化简.（1）诱导公式应用原则是：负化正、大化小、化到锐角为终了.（2）2-可以化为+(-),也可以化为2+(-),-可以化

5、为-(+),也可以化为-2+(-).,举一反三,2. 化简,题型三 三角函数恒等变形中的分类讨论思想【例3】化简：分析 化简时注意观察题设中的角出现了k,需讨论k是奇数还是偶数.,解析： 原式,解当k=2n(nZ)时，当k=2n+1(nZ)时， 综上，原式=-1.,学后反思 对角中含有k的三角函数化简时，要对k分为偶数和奇数进行讨论：k为偶数时，参照2进行化简;k为奇数时，去掉偶数倍的后，参照进行化简.,3. 求证： ,kZ.,举一反三,证明： 若k是偶数，即k=2n(nZ)，则左边= ;若k是奇数，即k=2n+1(nZ)，则左边= .原式成立.,题型四 三角函数公式在解三角形中的应用【例4】

6、(14分)在ABC中，若求ABC的三个内角.分析 由诱导公式可化简得sin A= sin B, cos A= cos B,进而由sin2A+cos2A=1可求出角A，进一步即可求出角B和角C.,解由已知得 sin A= sin B, cos A= cos B，2 两式平方相加,得 ，6 10,学后反思 在ABC中，A+B+C=,2A+2B+2C=2, sin(A+B)=sin(-C)=sin C,cos(A+B)=cos(-C)=-cos C,tan(A+B)=tan(-C)=-tan C.以上结论要牢记，另外要注意“三角形”这一条件的限制作用.,举一反三4. 在锐角三角形ABC中，求证：si

7、n A+sin B+sin Ccos A+cos B+cos C.,12 14,证明 :ABC是锐角三角形，A+B ,即 A -B0,sin Asin( -B),即sin Acos B;同理sin Bcos C,sin Ccos A,sin A+sin B+sin Ccos A+cos B+cos C.,易错警示,【例】(2008曲阜月考)已知直线l的倾斜角是，且 ,则直线l的斜率k=_,错解 因为直线l的倾斜角是,所以0,),又因为 ,sin2+cos2=1,所以 .于是l的斜率,错解分析 在解答本题时，考生很容易因忽视倾斜角的取值范围，不注意对进行分类讨论，而只得到 的错误结果.因此在解决

8、此类问题中，一定要养成全面考虑、分析问题的习惯.正解 因为直线l的倾斜角是，所以0,),又因为sin = ,sin2+cos2=1,所以于是l的斜率,考点演练,10. 已知sin(3+)= ,求 的值.,解析: sin(3+)= ,sin =- ,原式,11. (2009扬州模拟)已知sin +cos = ,(0,),求tan 的值.解析：方法一：sin +cos = ,两边平方,得(sin +cos )2=1+2sin cos = 2sin cos = 又(0,),sin 0,又sin cos 0,cos 0, ,且sin -cos 0,由解得sin = ,cos = ,tan =sin cos =,方法二：联立方程,由得cos = -sin ,代入,得整理,得25sin2-5sin -12=0,解得sin = 或sin = (0,),sin 0,sin = ,12 . 在ABC中，角A,B,C的对边分别为a，b，c，tan C= (1)求cos C; (2)若CBCA= ,且a+b=9,求c.,解析：(1)tan C= , 又sin2C+cos2C=1,cos C=tan C0,C是锐角,cos C= (2)CBCA= abcos C= ab=20.又a+b=9,a2+2ab+b2=81,a2+b2=41,c2=a2+b2-2abcos C=36,c=6.,