最新常微分方程45常系数非齐线性方程组PPT课件.ppt

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1、常微分方程常微分方程4545常系数非齐线常系数非齐线性方程组性方程组一、常数变易法一、常数变易法方程组的基解矩阵方程组的基解矩阵:因此常系数非齐次方程组因此常系数非齐次方程组的通解为的通解为这里这里c c为任意常数列向量为任意常数列向量.方程组满足初始条件方程组满足初始条件的解为的解为2解解:系数矩阵系数矩阵的的特征方程特征方程为为例例4.5.2 求方程组求方程组的通解的通解.因此矩阵因此矩阵有有特征根特征根9对对有特征向量有特征向量对对有特征向量有特征向量因此因此,矩阵及其逆矩阵矩阵及其逆矩阵分别为分别为设设则原方程化为则原方程化为10则原方程组的通解为则原方程组的通解为11三、待定系数法三

2、、待定系数法同同n阶常系数非齐次线性方程一样阶常系数非齐次线性方程一样,某些常系数某些常系数非齐次线性方程组也可以用待定系数法求其特解非齐次线性方程组也可以用待定系数法求其特解,如方程组组如方程组组 中中为为多项式与指数函数的乘积多项式与指数函数的乘积时时就可以用待定系数法来求其通解就可以用待定系数法来求其通解.12解解:系数矩阵系数矩阵的特征方程为的特征方程为例例4.5.3 求方程组求方程组的一个特解的一个特解.因此矩阵因此矩阵有特征根有特征根因为因为不是特征根不是特征根，设特解形式为，设特解形式为13把把代入方程组代入方程组,得得解得解得从而得原方程的特解为从而得原方程的特解为14例例4.

3、5.4 求方程组求方程组的特解的特解.解解:系数矩阵系数矩阵的特征方程为的特征方程为有特征根有特征根 故可设特解形式为故可设特解形式为15可得代数方程组可得代数方程组代入方程组代入方程组,比较比较 t 的同次幂的系数的同次幂的系数,解方程得解方程得选取选取得原方程组的特解得原方程组的特解16关于常系数非齐次线性微分方程组的解法关于常系数非齐次线性微分方程组的解法,介绍了三种方法介绍了三种方法,其中其中常数变易法常数变易法具有一般性具有一般性,而而线性变换法线性变换法和和待定系数法待定系数法都具有某种局限性都具有某种局限性.前面我们还介绍了前面我们还介绍了消元法消元法和和首次积分法首次积分法,这

4、些方法这些方法仍然是有效的仍然是有效的,举例比较各种方法的优劣举例比较各种方法的优劣.17例例4.5.5 求方程组求方程组解解(常数变易法常数变易法):系数矩阵系数矩阵的特征方程的特征根为的特征方程的特征根为的通解的通解.相应的特征向量分别为相应的特征向量分别为对应的齐次方程组的基解矩阵对应的齐次方程组的基解矩阵及其逆矩阵及其逆矩阵18非齐次方程组通解非齐次方程组通解19解法解法2(待定系数法待定系数法):由解法由解法1知知,对应的对应的齐次方程组的通解齐次方程组的通解利用待定系数法求方程组的一个利用待定系数法求方程组的一个特解特解.方程组中的方程组中的可表示为可表示为20则方程组可改写为则方

5、程组可改写为因为因为不是不是系数矩阵系数矩阵的的特征根特征根,所以特解形式设为所以特解形式设为这里这里待定待定.把把代入原方程组代入原方程组 得得即有即有比较上式左右两边比较上式左右两边得同次幂的系数得得同次幂的系数得21求解得求解得因此方程组的特解为因此方程组的特解为故原方程的通解为故原方程的通解为22解法解法3(线性变换法线性变换法):系数矩阵的特征方程的特征根为系数矩阵的特征方程的特征根为相应的特征向量分别为相应的特征向量分别为由特征向量构成的矩阵由特征向量构成的矩阵及其逆矩阵及其逆矩阵分别为分别为设设则把原方程化为则把原方程化为23即即解上面的方程得解上面的方程得则原方程组的通解为则原方程组的通解为24解法解法4(消元法消元法):由第一个方程得由第一个方程得把方程组改写为把方程组改写为将其代入第二个方程得将其代入第二个方程得解方程得其通解为解方程得其通解为代入关于代入关于 的表达式得的表达式得所以原方程组通解所以原方程组通解25作业作业:P241 1(2)，2(1)，3(1)26