最新常数项级数审敛法42376PPT课件.ppt

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1、进入夏天，少不了一个热字当头，电扇空调陆续登场，每逢此时，总会想起进入夏天，少不了一个热字当头，电扇空调陆续登场，每逢此时，总会想起那一把蒲扇。蒲扇，是记忆中的农村，夏季经常用的一件物品。记忆中的故那一把蒲扇。蒲扇，是记忆中的农村，夏季经常用的一件物品。记忆中的故乡，每逢进入夏天，集市上最常见的便是蒲扇、凉席，不论男女老少，个个手持乡，每逢进入夏天，集市上最常见的便是蒲扇、凉席，不论男女老少，个个手持一把，忽闪忽闪个不停，嘴里叨叨着一把，忽闪忽闪个不停，嘴里叨叨着“怎么这么热怎么这么热”，于是三五成群，聚在大树，于是三五成群，聚在大树下，或站着，或随即坐在石头上，手持那把扇子，边唠嗑边乘凉。孩

2、子们却在周下，或站着，或随即坐在石头上，手持那把扇子，边唠嗑边乘凉。孩子们却在周围跑跑跳跳，热得满头大汗，不时听到围跑跑跳跳，热得满头大汗，不时听到“强子，别跑了，快来我给你扇扇强子，别跑了，快来我给你扇扇”。孩。孩子们才不听这一套，跑个没完，直到累气喘吁吁，这才一跑一踮地围过了，这时子们才不听这一套，跑个没完，直到累气喘吁吁，这才一跑一踮地围过了，这时母亲总是，好似生气的样子，边扇边训，母亲总是，好似生气的样子，边扇边训，“你看热的，跑什么？你看热的，跑什么？”此时这把蒲扇，此时这把蒲扇，是那么凉快，那么的温馨幸福，有母亲的味道！蒲扇是中国传统工艺品，在是那么凉快，那么的温馨幸福，有母亲的味

3、道！蒲扇是中国传统工艺品，在我国已有三千年多年的历史。取材于棕榈树，制作简单，方便携带，且蒲扇的表我国已有三千年多年的历史。取材于棕榈树，制作简单，方便携带，且蒲扇的表面光滑，因而，古人常会在上面作画。古有棕扇、葵扇、蒲扇、蕉扇诸名，实即面光滑，因而，古人常会在上面作画。古有棕扇、葵扇、蒲扇、蕉扇诸名，实即今日的蒲扇，江浙称之为芭蕉扇。六七十年代，人们最常用的就是这种，似圆非今日的蒲扇，江浙称之为芭蕉扇。六七十年代，人们最常用的就是这种，似圆非圆，轻巧又便宜的蒲扇。蒲扇流传至今，我的记忆中，它跨越了半个世纪，圆，轻巧又便宜的蒲扇。蒲扇流传至今，我的记忆中，它跨越了半个世纪，也走过了我们的半个人

4、生的轨迹，携带着特有的念想，一年年，一天天，流向长也走过了我们的半个人生的轨迹，携带着特有的念想，一年年，一天天，流向长长的时间隧道，袅长的时间隧道，袅常数项级数审敛法42376第八章 无穷级数本节学习要求：解解由比较判别法及 P 级数的收敛性可知：例定理3.柯西根值判别法(1)1 (包括 =)时,级数发散；(3)=1 时,不能由此断定级数的敛散性.解解例5 判别的敛散性.(x 0,a 0 为常数)记解解即当 x a 时,当 0 x a 时,当 x=a 时,=1,但故此时原级数发散.（级数收敛的必要条件）例7当 0 x a 时,原级数收敛;当 x a 时,原级数发散.综上所述,定理4.达朗贝尔

5、比值判别法(1)1(包括 =)时,级数发散；(3)=1 时,不能由此断定级数的敛散性.利用级数本身利用级数本身来进行判别来进行判别.解解这是一个正项级数:单调增加有上界,以 e 为极限.例8判别级数的敛散性,其中,x 0 为常数.即 =x2,由达朗贝尔判别法：解解记则 需要讨论 x 的取值范围 例9当 0|x|1 时,1 时,1,级数发散.当|x|=1 时,=1,但原级数此时为这是 n=2 的 P 级数,是收敛的.综上所述,当 0 1 时,原级数发散.二.交错级数及其敛散性判别法交错级数是各项正负相间的一种级数,或其中,un 0 (n=1,2,).它的一般形式为定义(莱布尼兹判别法)满足条件:

6、(1)(2)un un+1 (n=1,2,)则交错级数收敛,且其和 S 的值小于 u1.(级数收敛的必要条件)定理若交错级数(单调减少)0 (由已知条件)证明的关键在于它的极限是否存在？只需证级数部分和 Sn 当 n 时极限存在.证证1)取交错级前 2m 项之和由条件(2)：得 S2m 及由极限存在准则：un un+1,un 0,2)取交错级数的前 2m+1 项之和由条件1):综上所述,有讨论级数的敛散性.这是一个交错级数：又由莱布尼兹判别法,该级数是收敛.解解例10解解由莱布尼茨判别法,原级数收敛.例(1)级数的绝对收敛和条件收敛定义三.任意项级数及其敛散性判别法定理 (即绝对收敛的级数必定

7、收敛)证证 un|un|从而(1)1(包括 =)时,级数发散.(3)=1 时,不能由此断定级数的敛散性.定理(达朗贝尔判别法)级数是否绝对收敛?解解由调和级数的发散性可知,故发散.例但原级数是一个交错级数,且满足：故原级数是条件收敛,不是绝对收敛的.由莱布尼兹判别法可知,该交错级数收敛.解解由 P 级数的敛散性：即原级数绝对收敛.判别级数的敛散性.例记解解判别的敛散性,其中,x 1为常数.例当|x|1 时,=|x|1 时,=1,此时不能判断其敛散性.由达朗贝尔判别法：但|x|1 时,原级数发散.(2)绝对收敛级数的性质性质1.任意交换绝对收敛级数中各项的位 置,其敛散性不变,其和也不变.性质2

8、.两个绝对收敛的级数的积仍是一 个绝对收敛的级数,且其积等于 原来两个级数的和之积.(3)任意项级数敛散性的一个判别法(狄利克雷判别法)定理其中,M 0 为与 n 无关的常数,单调递减趋于零 部分和有界 判别级数的敛散性,其中,x 2k,kZ.解解 单调递减趋于零例14又而 x 2k,kZ,于是且故由狄利克雷判别法,(x 2k,kZ)收敛.作业P282-2832，3，4，7中的奇数小题微积分学的创始人之一微积分学的创始人之一数学大师 莱布尼茨莱布尼茨Friedrich.Leibniz (16461716年)莱布尼茨（莱布尼茨（LeibnizLeibniz）莱布尼茨(16461716年)是在建立

9、微积分中唯一可以与牛顿并列的科学家。他研究法律，在答辩了关于逻辑的论文后，得到哲学学士学位。1666年以论文论组合的艺术获得阿尔特道夫大学哲学博士学位，同时获得该校的教授席位。1671年，他制造了他的计算机。1672 年 3月作为梅因兹的选帝侯大使，政治出差到巴黎。这次访问使他同数学家和科学家有了接触，激起了他对数学的兴趣。可以说，在此之前（1672年前）莱布尼茨基本上不懂数学。1673年他到伦敦，遇到另一些数学家和科学家，促使他更加深入地钻研数学。虽然莱布尼茨靠做外交官生活，卷入各种政治活动，但他的科学研究工作领域是广泛的，他的业余生活的活动范围是庞大的。除了是外交官外，莱布尼茨还是哲学家、

10、法学家、历史学家、语言学家和先驱的地质学家，他在逻辑学、力学、数学、流体静力学、气体学、航海学和计算机方面做了重要工作。虽然他的教授席位是法学的，但他在数学和哲学方面的著作被列于世界上曾产生过的最优秀的著作中。他用通信保持和人们的接触，最远的到锡兰（Ceylon）和中国。他于1669年提议建立德国科学院，从事对人类有益的力学中的发明和化学、生理学方面的发现（1700 年柏林科学院成立）。莱布尼茨从1684年开始发表论文，但他的许多成果以及他的思想的发展，实际上都包含在他从1673年起写的，但从未发表过的成百的笔记本中。从这些笔记本中人们可以看到，他从一个课题跳到另一个课题，并随着他的思想的发展

11、而改变他所用的记号。有些是它在研究格雷戈里、费马、帕斯卡、巴罗的书和文章时，或是试图将他们的思想纳入自己处理微积分的方式时所出现的简单思想。1714年莱布尼茨写了微分学的历史和起源，在这本书中，他给出了一些关于自己思想发展的记载，由于他出书的目的是为了澄清当时加于他的剽窃罪名，所以他可能不自觉地歪曲了关于他的思想来源的记载。不管他的笔记本多么混乱，都揭示了一个最伟大的才智，怎样为了达到理解和创造而奋斗。特别值得一提的是：莱布尼茨很早就意识到，微分与积分（看作是和）必定是相反的过程；1676 年 6月 23日的手稿中，他意识到求切线的最好方法是求 dy/dx，其中 dy，dx 是变量的差，dy/

12、dx 是差的商。莱布尼茨的工作，虽然富于启发性而且意义深远，但它是十分零乱不全的，以致几乎不能理解。幸好贝努利兄弟将他的文章大大加工，并做了大量的发展工作。1716年，他无声无息地死去。达朗贝尔(DAiember Jean Le Rond)是法国物理学家、数学家。1717年11月生于巴黎，1783年10月卒于巴黎。达朗贝尔是私生子，出生后被母亲遗弃在巴黎一教堂附近，被一宪兵发现，临时用该教堂的名字作为婴儿的名字。后被生父找回，寄养在一工匠家里。达朗贝尔少年时就读于一个教会学校，对数学特别感兴趣。达朗贝尔没有受过正规的大学教育，靠自学掌握了牛顿等大科学家的著作。1741年24岁的达朗贝尔因研究工

13、作出色进入法国科学院工作。1754年成为法国科学院终身院士。达朗贝尔在力学、数学、天文学等学科都有卓著的建树。达朗贝尔的研究工作偏向于应用。1743年提出了被称之为达朗贝尔原理的 “作用于一个物体的外力与动力的反作用之和为零”的研究结果。达朗贝尔建立了将动力学问题转化为精力学问题的一般方法。1747年在研究弦振动问题时得到了一维波动方程的通解，被称为达朗贝尔解。1752年首先用微分方程表示场。达朗贝尔终身未婚。1776年由于工作不顺利，加之好友勒皮纳斯小姐去世，使他陷入极度悲伤和失望中。达朗贝尔去世后，由于他反宗教的表现，巴黎市政府拒绝为他举行葬礼。结束语结束语谢谢大家聆听！谢谢大家聆听！46