最新微积分第一章PPT课件.ppt

《最新微积分第一章PPT课件.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《最新微积分第一章PPT课件.ppt（73页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、微积分第一章微积分第一章课时安排：8课时教学目标和要求：通过本章的学习，使学生对函数的概念和基本性质形成比较全面的认识，能够根据实际问题建立合适的函数关系式。教学内容：了解内容：集合的有关概念、集合的表示法、集合之间的关系、笛卡尔乘积、实数和数轴、绝对值及其性质、区间、函数的表示法。理解内容：邻域的概念、函数关系的实质、分段函数、隐函数、函数的几种性质、反函数、复合函数、初等函数、函数图形的组合与变换。掌握内容：求函数定义域、根据实际问题建立函数表达式。教学重点:集合的表示法、集合的运算律在经济分析中的应用、邻域、函数的概念、函数的表示法、分段函数、隐函数、根据实际问题建立函数关系式、函数的性

2、质、复合函数、。教学难点：集合的运算律、笛卡尔乘积、多值函数、反三解函数、函数图形的组合和变换。使用的方法：讲解法、图示法使用的教具：多媒体投影机及涉及的图片等。本章教学总结：（AB)C=AB)C=（AC)(BCAC)(BC）以上运算律可用集合的性质来证明，也可用文氏以上运算律可用集合的性质来证明，也可用文氏图法来证明，教材给出了结合律、摩根律的证明过程。图法来证明，教材给出了结合律、摩根律的证明过程。我们下面来看一看分配律中第一个公式的文氏图说明我们下面来看一看分配律中第一个公式的文氏图说明。六、实数与数轴(P1)1.实数：实数：有理数和无理数统称为实数。有理数和无理数统称为实数。全体实数与

3、数轴上的所有点是一一对应的。全体实数与数轴上的所有点是一一对应的。人人们们对对数数的的认认识识的的发发展展过过程程：自自然然数数 (减减法法)整整数数 (除除法法)有有理理数数 (开开方方)无无理理数数 实实数数(有有理理数数和和无理数，实的含义无理数，实的含义)(负数开方负数开方)复数复数(实数和虚数实数和虚数)有理数处处稠密，但未充满数轴。不连续。有理数处处稠密，但未充满数轴。不连续。有以下几点需要注意：有以下几点需要注意：2.数轴：数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直规定了原点、正方向和单位长度的直线称为数轴。线称为数轴。七七、实数的绝对值及其基本性质实数的绝对值及其基本性质(P1-P

4、2)绝对值及其运算具有下列绝对值及其运算具有下列1010条性质：条性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；是它的相反数；0的绝对值是的绝对值是0。一个实数。一个实数x的绝对绝的绝对绝对值记作对值记作|x|，规定为规定为八、区间与领域八、区间与领域(P3)区间区间是指介于某两个实数之间的全体实数是指介于某两个实数之间的全体实数.这两个这两个实数叫做区间的端点实数叫做区间的端点.称为开区间称为开区间,称为闭区间称为闭区间,称为半开区间称为半开区间,称为半开区间称为半开区间,无限区间无限区间注：注：两端点间的距离两端点间的距离(线段的长

5、度线段的长度)称为称为区间的长度区间的长度.现将一些常见的区间及表示方法总结如下：现将一些常见的区间及表示方法总结如下：区间区间不等式表示不等式表示集合表示集合表示 数轴表示数轴表示 开区间开区间 （a，b）ax bx|ax b 闭区间闭区间 a，baxbx|axb半开区间半开区间 a，b)(a，ba x ba x bx|a x bx|a x b无穷区间有无穷区间有:（a a，+）、）、aa，+）、）、(-，b b）、）、（-，bb、（、（-，+）在数轴上，一个以点在数轴上，一个以点x x0 0为中心，长度为为中心，长度为2 2 的开的开区间（区间（x x0 0-,x-,x0 0+），），称为

6、点称为点x x0 0的的 邻域，邻域，x x0 0称为称为邻域的中心，邻域的中心，称为邻域的半径，如下图所示：称为邻域的半径，如下图所示：以集合表示为：以集合表示为：x|x-xx|x-x0 0|0|0注意：注意：1 1、邻域一定是开区间。、邻域一定是开区间。2 2、左领域和右领域、左领域和右领域 3 3、无穷远点的情形、无穷远点的情形 若若00|x-x|x-x0 0|YXY就不是函数关系。就不是函数关系。第二节第二节 函数概念函数概念 常量：常量：在过程中保持不变的，取一个固定数值的量。在过程中保持不变的，取一个固定数值的量。变量：变量：在过程中会起变化的，可在一定的范围内取不同在过程中会起变

7、化的，可在一定的范围内取不同数值的量。数值的量。函数的两要素：函数的两要素：函数的定义域和对应规则；函数的定义域和对应规则；两函数相等的条件：两函数相等的条件：定义域相等，对应规则也相同。如：定义域相等，对应规则也相同。如：y=2x+3与与y=2u+3其中其中xD,UD是相等的函数。是相等的函数。还有以下两点需要注意：还有以下两点需要注意：常量与变量是相对常量与变量是相对“过程过程”而言的而言的.通常用字母通常用字母a,b,c等表示常量等表示常量,用字母用字母x,y,t等表示等表示变变量量.函数的实质是变量之间的对应关系。函数的实质是变量之间的对应关系。常见的是两个变常见的是两个变量之间的对应

8、关系。量之间的对应关系。三种方法三种方法:表格法表格法，图示法，解析法（公式法），图示法，解析法（公式法）二、函数的表示方法 教材教材6页页3个例题个例题三、函数定义域三、函数定义域 教材教材7 7页页2 2个例题个例题 (5)(5)当函数表达式由几种形式的表达式构成时，其定义当函数表达式由几种形式的表达式构成时，其定义域为它们的交集域为它们的交集(1)(1)当函数表达式为分式时，分母不等于当函数表达式为分式时，分母不等于0 0；(2)(2)当函数表达式为偶次根式时，被开方数当函数表达式为偶次根式时，被开方数00；(3)(3)当函数表达式为对数形式时，底数当函数表达式为对数形式时，底数00且不

9、等于且不等于1 1，真，真数数00；(4)(4)当函数表达式为分段函数时，其定义域为各部分的当函数表达式为分段函数时，其定义域为各部分的定义域的并集；定义域的并集；若对于一个由解析法表示的函数若对于一个由解析法表示的函数y=f(x)y=f(x)的定义域，没的定义域，没有加以特殊的限制，则该函数的定义域就是使表达式有意有加以特殊的限制，则该函数的定义域就是使表达式有意义的所有义的所有x x构成的集合，这种定义域称为函数的构成的集合，这种定义域称为函数的自然定义域。自然定义域。四四、单值函数和多值函数单值函数和多值函数 理理解解多多值值函函数数的的重重点点是是要要理理解解y y是是“相相对对确确定

10、定”的的，也也就是说就是说y y值不是唯一的，但也不是无限多个。值不是唯一的，但也不是无限多个。如不特别指明，本课程中所提到的函数均指单值函数。如不特别指明，本课程中所提到的函数均指单值函数。如果自变量在定义域内任取一个数值时，对应的函如果自变量在定义域内任取一个数值时，对应的函数值总是只有一个，这种函数叫做单值函数，否则叫做数值总是只有一个，这种函数叫做单值函数，否则叫做多值函数多值函数 例如：例如：y=3x+1y=3x+1为显函数；由方程为显函数；由方程x x2 2+y+y2 2=a=a2 2确定的确定的变量变量y y是变量是变量x x的函数，为隐函数。的函数，为隐函数。六六、显函数和隐函

11、数显函数和隐函数p18 有些函数的因变量是用自变量表达式表示出有些函数的因变量是用自变量表达式表示出来的，称为来的，称为显函数显函数。例如。例如y=x2。而有些函数，它的因变量与自变量的对应规则而有些函数，它的因变量与自变量的对应规则是用一个方程是用一个方程(x,y)=0表示的，称表示的，称隐函数隐函数。即当即当x x的值给定后可以由此方程确定的值给定后可以由此方程确定y y的值，我的值，我们就说这个方程确定一个函数们就说这个方程确定一个函数y=f(x)y=f(x)由方程由方程F(x,y)=0F(x,y)=0确定的函数确定的函数y=f(x)y=f(x)称为隐函数。称为隐函数。注意：注意：y=x

12、y=x2 2和和y yx x2 20 0表示一个函数关系。表示一个函数关系。五五、分段函数分段函数 注意：分段函数是用几注意：分段函数是用几个公式合起来表示一个函数，个公式合起来表示一个函数，而不是表示几个函数。而不是表示几个函数。在自变量的不同变化范围中在自变量的不同变化范围中,有时一个函数不能有时一个函数不能由一个式子表示，对应法则用不同的式子来表示的由一个式子表示，对应法则用不同的式子来表示的函数称为分段函数。函数称为分段函数。七、几个特殊的函数举例七、几个特殊的函数举例 (1)符号函数符号函数1-1xyo(2)取整函数取整函数 y=x教材教材7页页x表示不超过表示不超过 的最大整数的最

13、大整数(3)取最值函数取最值函数yxoyxo 1 2 3 4 5 -2-4 -4-3-2-1 4 3 2 1-1-3xyo阶梯曲线阶梯曲线练习题练习题1 解：（1）y=c表面上虽不含x，但这个式子作为规则，它表示“不论x取什么实数值，y总以唯一确定的数值c与之对应”，因此y=c符合函数定义，是y与x的函数关系。解：（2）x=a说明y不受限制，可为任意值，即x=a时，y可以用任意值与之对应，即有无穷多个y与之对应，这不符合函数的定义，所以x=a不是y与x的函数关系。解：（3）y=ln(-x)的定义域要求x0,但事实上-x2-1-1，即对任何实数x，都没有按照规则y=ln(-x2-1)与之对应的实

14、数y，所以y=ln(-x2-1)不是y与x的函数关系。1.1.下列关系式中，（下列关系式中，（)是是y y与与x x的函数关系的函数关系 （1)y=c(c为常数）（2)x=a(a为常数）（3）y=ln(-x)（4）y=ln(-x2-1)2.2.求下列函数的定义域求下列函数的定义域（1）（2）（3）练习题练习题2 该函数的定义域为：x-3且x-5解:(1)分析：因为该表达仅是分式形式，所以分母不等于0由 分析：因为 该表达式既含有分母又含有二次根式，所以应满足分母不等于0且被开方数0。该函数的定义域为：该函数的定义域为：分析：因为该表达式含有分母和对数式，所以应满足分母不等于0且真数0练习题练习

15、题 3 解：设 则求练习题练习题 4 设设则则故故第三节第三节 函数的几何特征函数的几何特征 一、函数的单调性一、函数的单调性 xyoxyo (3)(3)有些函数在其定义域有些函数在其定义域D D内不是单调内不是单调函数，但在函数，但在D D内的一个区间内具有单调性，内的一个区间内具有单调性，称这种区间为函数的单调区间。也就是称这种区间为函数的单调区间。也就是说函数的单调性是说函数的单调性是局部性质局部性质。注意注意：(2)(2)单调增加或单调减少的函数，单调增加或单调减少的函数，统称为统称为单调函数单调函数。(1)(1)若若f(xf(x1 1)f(x)f(x)f(x2 2)），），则称则称函

16、数在函数在I I内是内是严格单调递增严格单调递增(或严格单调递减或严格单调递减)的。的。教材教材9页的页的2个例题个例题 二二、函数的有界性函数的有界性 M-Myxoy=f(x)X有界有界y无界无界M-MxoX 1.1.并不是任何函数都有界；若函数有界，其界不并不是任何函数都有界；若函数有界，其界不唯一。唯一。3.3.函数的有界性与所讨论问题的区间有关。函数的有界性与所讨论问题的区间有关。2.2.函数有界不要与函数有上界或有下界混淆。函数有界不要与函数有上界或有下界混淆。例如例如y=xy=x2 2在（在（-,+-,+）内无界，但它有下界）内无界，但它有下界0.0.例如例如y=sinx y=si

17、nx 在（在（-,+-,+）区间内是有界的，而）区间内是有界的，而y=xy=x2 2在（在（-,+-,+）内是无界的，但在其它区间内可）内是无界的，但在其它区间内可能是有界的。能是有界的。注意注意：三三、函数的奇偶性函数的奇偶性 偶函数偶函数yxox-x奇函数奇函数yxox-x 注意注意:(1)(1)若既不满足若既不满足f(-x)=f(x)f(-x)=f(x)且不满足且不满足f(-x)=-f(-x)=-f(x),f(x),则称则称y=f(x)y=f(x)为为D D上的上的非奇非偶函数非奇非偶函数。(2)(2)只有当函数只有当函数y=f(x)y=f(x)的的定义域关于原点对称定义域关于原点对称时

18、，才有可能讨论它的奇偶性时，才有可能讨论它的奇偶性 (3)(3)判断函数奇偶性的方法是判断函数奇偶性的方法是“两看两看”,即一看即一看定义域定义域,二看关系式二看关系式.(4)(4)奇偶函数的奇偶函数的图象特点图象特点:奇函数的图象关于原奇函数的图象关于原点对称点对称,偶函数的图象关于偶函数的图象关于y y轴对称轴对称.下面我们来分析教材下面我们来分析教材11页的例页的例3 四四、函数的周期性函数的周期性 （周期一般不唯一。通常说周期函数的周期是指其最小正（周期一般不唯一。通常说周期函数的周期是指其最小正周期周期）.判断下列函数的奇偶性判断下列函数的奇偶性练习题练习题 1练习题练习题2判断函数

19、判断函数 f(x)=lnx+x f(x)=lnx+x 的单调性的单调性(增减性增减性)解：因为解：因为f(x)f(x)的定义域为的定义域为x0 x0 所以任取所以任取00 x x1 1x0:0:i)i)为整数为整数,定义域为定义域为(-+)(-+)当当a a为奇数时为奇数时,y=xy=x是单调增加的奇函数是单调增加的奇函数,值域为值域为(-(-+)+)当当 a a为偶数时为偶数时,y=xy=x是偶函数是偶函数:当当 x0 x0 x0时，单增。值域为时，单增。值域为00，+）。）。iiii）为分数，当为分数，当 ，n n为奇数时。为奇数时。是奇函数，定义域为（是奇函数，定义域为（-，+）；）；n

20、 n为偶数时，为偶数时，的定义域为的定义域为 0 0，+)+)。0:=-10,a1)(a0,a1)称为指数函数。称为指数函数。(1)(1)定义域为定义域为（-，+），值域为，值域为(0,+)(0,+)(2)(2)当当a1a1时，函数单调增加；当时，函数单调增加；当00a1a0a0且且a1)a1)称为对数函数。称为对数函数。注：注：(1)(1)定义域为定义域为(0,+),(0,+),值域为值域为(-,+)(-,+)(2)(2)当当a1a1时时,函数单调递增。函数单调递增。当当00a1a1时，函数时，函数单调递减。单调递减。(3)(3)图形特点：图形特点：的图形都经过点的图形都经过点(1,0)(1

21、,0)。(4)(4)以以e e为底的对数为底的对数 称为自然对数，简记称为自然对数，简记为为y=lnx,y=lnx,以以1010为底的对数函数称为常用对数，简记为底的对数函数称为常用对数，简记为为y=lgxy=lgx。(5)(5)对数运算的法则对数运算的法则 (6)(6)对数的性质：对数的性质：负数和零没有对数；负数和零没有对数；11的对数等于的对数等于0 0；底数的对数等于底数的对数等于1 1；(7)(7)对数恒等式：对数恒等式：(8)(8)对数函数对数函数 与相应的指数函数与相应的指数函数y=ay=ax x是互为是互为反函数；两个函数的图象关于直线反函数；两个函数的图象关于直线y=xy=x

22、对称对称 五五、三角函数三角函数 函数函数y=sinxy=sinx称为称为正弦函数正弦函数。定义域为定义域为(-,+),(-,+),值域为值域为-1-1，11，它是，它是以以2 2为周期的有界奇函数为周期的有界奇函数.函数函数y=cosxy=cosx称为称为余弦函数余弦函数。定义域为定义域为(-,+),(-,+),值域为值域为-1-1，11，它是，它是以以2 2为周期的有界偶函数。为周期的有界偶函数。五五、三角函数三角函数 函数函数y=tanxy=tanx称为称为正切函数正切函数。定义域为定义域为 (k k为任意整数为任意整数),),值域为值域为（-,+-,+），它是以），它是以为周期且无界的

23、奇函数。为周期且无界的奇函数。五五、三角函数三角函数 函数函数y=cotxy=cotx称为称为余切函数余切函数。定义域为定义域为 xk(kxk(k为任意整数为任意整数),),值域为（值域为（-,+,+），它是以），它是以为周期且无界的奇函数。为周期且无界的奇函数。五五、三角函数三角函数 正割函数正割函数 五五、三角函数三角函数 余割函数余割函数 五五、三角函数三角函数 六六、反三角函数反三角函数 六六、反三角函数反三角函数 六六、反三角函数反三角函数 六六、反三角函数反三角函数 初等函数：初等函数：由基本初等函数经过有由基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合步骤限次四则运算和有限次的

24、函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数，称所构成并可用一个式子表示的函数，称为初等函数。为初等函数。例如：例如：是初等函数。是初等函数。一、如何建立函数关系一、如何建立函数关系 运用数学工具解决实际问题时，首先要求出变量运用数学工具解决实际问题时，首先要求出变量之间的函数关系式，然后再用分析计算解决，因此之间的函数关系式，然后再用分析计算解决，因此列函数关系式是最重要的一环，但由于实际问题的列函数关系式是最重要的一环，但由于实际问题的多样性，列函数关系式没有统一的办法，必须具体多样性，列函数关系式没有统一的办法，必须具体问题具体分析，首先要分清哪些是常量、哪些是变问题具体分析，首先要分清哪

25、些是常量、哪些是变量，再根据所给问题的条件，运用有关的知识来列量，再根据所给问题的条件，运用有关的知识来列变量和变量之间有函数关系式。实际问题中的定义变量和变量之间有函数关系式。实际问题中的定义域，除了考虑函数的解析式外还要考虑变量在实际域，除了考虑函数的解析式外还要考虑变量在实际问题中的含义。问题中的含义。第七节简单函数关系的建立第七节简单函数关系的建立 某工厂生产某型号车床，年产量为某工厂生产某型号车床，年产量为a台，分若干批进行生台，分若干批进行生产，每批生产准备费为产，每批生产准备费为b元。设产品均匀投入市场，且上一元。设产品均匀投入市场，且上一批用完后立即生产下一批，即平均库存量为批

26、量的一半。设批用完后立即生产下一批，即平均库存量为批量的一半。设每年每台库存费为每年每台库存费为c元。显然，生产批量大则库存费高；生元。显然，生产批量大则库存费高；生产批量少则批数增多，因而生产准备费高。为了选择最优批产批量少则批数增多，因而生产准备费高。为了选择最优批量，试求出一年中库存费与生产准备费的和与批量的关系。量，试求出一年中库存费与生产准备费的和与批量的关系。解：设批量为解：设批量为x，库存费与生产准备费的和为库存费与生产准备费的和为P(x)因年产量为因年产量为a，所以每年生产的批数为所以每年生产的批数为 （设其设其为整数），则生产准备费为为整数），则生产准备费为 因库存量为因库存

27、量为 ，故库存费为，故库存费为 。因此可得。因此可得 定义域为定义域为(0,a，因本题中的因本题中的x为车床的台数，批数为车床的台数，批数 为整数，所以为整数，所以x只应取只应取(0,a中中a的正整数因子。的正整数因子。最佳库存模式的实质是：最佳库存模式的实质是：把总费用分成两部分，把总费用分成两部分，一是库存保管费，二是生产准备费。它们两个为生产一是库存保管费，二是生产准备费。它们两个为生产批次的函数，只是前者是生产批次的减函数，后者是批次的函数，只是前者是生产批次的减函数，后者是生产批次的增函数。也就是说，增加生产批次，库存生产批次的增函数。也就是说，增加生产批次，库存保管费减少，而生产准

28、备费上升；减少生产批次，库保管费减少，而生产准备费上升；减少生产批次，库存保管费会增加，而生产准备费减少。我们可以总费存保管费会增加，而生产准备费减少。我们可以总费用表示成生产批次的函数，也可以通过以后所学的判用表示成生产批次的函数，也可以通过以后所学的判断函数最值的方法来求使总费用最小的生产批次，这断函数最值的方法来求使总费用最小的生产批次，这个生产批次正是管理中所追求的最佳的生产批次。个生产批次正是管理中所追求的最佳的生产批次。教材教材22页页例例1、例、例2例题 设一工厂A距离铁路的垂直距离为a公里，垂足B到到火车站C的距离是b公里，工厂的产品必须经火车站C才能外运。已知汽车运费是m元/

29、吨公里，火车运费是n元/吨公里，为使运费最省，需在铁路上另修一小站M作为中转站，如图所示。那么，运费的多少取决定M的地点，试将运费表示为距离|BM|的函数。解：设M为中转站，且|BM|=x，公路长|AM|=，铁路长|CM|=b-x，总运费为y（元），由题意得M站设在何处的运费最省，将在第四章里得到解决。二、经济分析中常见的函数二、经济分析中常见的函数、需求函数与供给函数、需求函数与供给函数(1)(1)需求函数：需求函数：q qd d=q(p)=q(p)其中其中q qd d商品的需求量，为该商品的市场价格。需求商品的需求量，为该商品的市场价格。需求量量q qd d一般将随着价格的上涨而减少，即需

30、求量一般将随着价格的上涨而减少，即需求量q qd d是市场价是市场价格的单调减少函数，如函数格的单调减少函数，如函数q qd d=ap+b=ap+b是一个线性需求函是一个线性需求函数，其中数，其中a0a0。(2)(2)供给函数供给函数一般地，供给量是随着市场价格的上涨而增加，即供一般地，供给量是随着市场价格的上涨而增加，即供给量是市场价格的单调增加函数。如函数给量是市场价格的单调增加函数。如函数q qS S=a=a1 1p+bp+b1 1是一个线性供给函数，其中是一个线性供给函数，其中a a1 10,b0,b1 101k1时时，kf(x)kf(x)的的图图形形是是由由f(x)f(x)的的图图形

31、形沿沿纵纵轴轴方方向向伸伸长长为为原原来来的的k k倍倍得得到到的的。f(kx)f(kx)的的图图形形是是由由f(x)f(x)的的图图形沿横轴方向缩小为原来的形沿横轴方向缩小为原来的1/1/k k得到的。得到的。当当00k1k1时时，kf(x)kf(x)的的图图形形是是由由f(x)f(x)的的图图形形沿沿纵纵轴轴方方向向缩缩小小为为原原来来的的k k倍倍得得到到的的。f(kx)f(kx)的的图图形形是是由由f(x)f(x)的的图形沿横轴方向扩大为原来的图形沿横轴方向扩大为原来的1/1/k k倍得到的。倍得到的。当当k0k0c0时时，f(x)+cf(x)+c的的图图形形是是由由f(x)f(x)的

32、的图图形形沿沿纵纵轴轴的的正正方方向向平平移移c c个个单单位位得得到到的的。f(x+c)f(x+c)的的图图形形是是由由f(x)f(x)的的图形沿横轴的负方向平移图形沿横轴的负方向平移c c个单位得到的。个单位得到的。当当c0c0时时，f(x)+cf(x)+c的的图图形形是是由由f(x)f(x)的的图图形形沿沿纵纵轴轴的的负负方方向向平平移移|c|c|个个单单位位得得到到的的。f(x+c)f(x+c)的的图图形形是是由由f(x)f(x)的图形沿横轴的正方向平移的图形沿横轴的正方向平移|c|c|个单位得到的。个单位得到的。例题 已知函数已知函数y=f(x)y=f(x)的图形如下所示，求下列各函的图形如下所示，求下列各函数的图形。数的图形。(1)(2)(3)(4)(5)(6)结束语结束语谢谢大家聆听！谢谢大家聆听！73