工程力学A-单辉祖-第12章(弯曲变形)教学提纲.ppt

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1、工程力学工程力学A-A-单辉祖祖-第第1212章章(弯曲弯曲变形形)12-1 引言引言12-2 挠曲轴近似微分方程挠曲轴近似微分方程12-3 计算梁位移的积分法计算梁位移的积分法12-4 计算梁位移的叠加法计算梁位移的叠加法12-5 简单静不定梁简单静不定梁12-6 梁的刚度条件与合理刚度设计梁的刚度条件与合理刚度设计第十二章第十二章 弯曲变形弯曲变形拉压杆的变形：拉压杆的变形：伸长或缩短伸长或缩短 (D Dl)圆轴扭转的变形：圆轴扭转的变形：相对转动相对转动 (扭转角扭转角j j)梁的弯曲变形：怎样描述以及定量计算？梁的弯曲变形：怎样描述以及定量计算？回顾回顾12-1 引言引言l挠曲轴是一条

2、挠曲轴是一条连续、光滑曲线连续、光滑曲线。l对称弯曲时，挠曲轴是位于对称弯曲时，挠曲轴是位于纵向对称面内的平面曲线纵向对称面内的平面曲线。l对于细长梁，剪力对弯曲变形影响一般可忽略不计，因对于细长梁，剪力对弯曲变形影响一般可忽略不计，因而而横截面仍保持平面，并与挠曲轴正交横截面仍保持平面，并与挠曲轴正交。挠曲轴挠曲轴梁梁轴线由直线变曲线，变弯后的梁轴，称为轴线由直线变曲线，变弯后的梁轴，称为挠曲轴挠曲轴1.弯曲变形的特点弯曲变形的特点12-1 引言引言2.弯曲变形的位移弯曲变形的位移12-1 引言引言1）挠度（）挠度（w）横截面的形心在垂直于变形前梁轴线方向上的线位移横截面的形心在垂直于变形前

3、梁轴线方向上的线位移。向上的挠度向上的挠度向下的挠度向下的挠度挠曲轴方程挠曲轴方程2.弯曲变形的位移弯曲变形的位移12-1 引言引言2）转角（）转角（）横截面的角位移（横截面的角位移（rad)，也等于挠曲轴在该截面处的切线与，也等于挠曲轴在该截面处的切线与x 轴的夹角轴的夹角。转角方程转角方程逆转逆转顺转顺转7QQ 中性层曲率表示的弯曲变形公式中性层曲率表示的弯曲变形公式QQ 由高等数学知识由高等数学知识 QQ 挠曲轴微分方程挠曲轴微分方程 二阶非线性常微分方程二阶非线性常微分方程（纯弯纯弯）（忽略剪力影响忽略剪力影响 推广到非纯弯推广到非纯弯）1.1.方程推导方程推导12-2 挠曲轴近似微分

4、方程挠曲轴近似微分方程小变形小变形正负号正负号?坐标系确定坐标系确定 (数学定义数学定义)(本书规定本书规定)w向上为正向上为正xx挠曲轴近似微分方程挠曲轴近似微分方程方程取正号方程取正号正弯矩正弯矩负弯矩负弯矩2.2.方程简化方程简化12-2 挠曲轴近似微分方程挠曲轴近似微分方程w=FF 弯矩方程需弯矩方程需分段建立分段建立，挠曲轴近似微分方程也需，挠曲轴近似微分方程也需分段建立分段建立。一、梁的挠曲轴方程及转角方程一、梁的挠曲轴方程及转角方程FF C、D为为积分常数积分常数，它们由，它们由位移边界条件与连续条件位移边界条件与连续条件确定确定。转角方程转角方程挠曲轴方程挠曲轴方程12-3 计

5、算梁位移的积分法计算梁位移的积分法挠曲轴近似微分方程挠曲轴近似微分方程 位移位移边界条件边界条件w=0w=0w=0q q=0自由端：无位移边界条件自由端：无位移边界条件 分段处位移分段处位移连续条件连续条件ACDMFB 挠曲轴在挠曲轴在B B、C C点连续且光滑点连续且光滑连续连续：wB左左=wB右右 wC左左=wC右右q q B B左左=q q B B右右 q q C左左=q q C右右 二、位移边界条件与连续条件二、位移边界条件与连续条件12-3 计算梁位移的积分法计算梁位移的积分法写出梁的挠曲轴方程的边界条件和连续条件写出梁的挠曲轴方程的边界条件和连续条件ABCDFE 例：例：思考思考：

6、该梁可分几段积分？各边界和内部分界点有多少位移该梁可分几段积分？各边界和内部分界点有多少位移边界与连续条件？边界与连续条件？(2)分分3段段：ED段不受力，保持直线，仅作刚性转动。段不受力，保持直线，仅作刚性转动。请自行考虑请自行考虑。(1)分分4段段:边界条件：边界条件：A端：端：2个个；C：1个个;D端：无端：无。连续条件：连续条件：B：1个个；C：2个个;E：2个个。12-3 计算梁位移的积分法计算梁位移的积分法固定端固定端A A：连续条件：连续条件：边界条件：边界条件：铰支座铰支座C：E点：点：中间铰中间铰B：ABCDFE 12-3 计算梁位移的积分法计算梁位移的积分法铰支座铰支座C

7、C：13二、位移边界条件与连续条件二、位移边界条件与连续条件第十二章第十二章 弯曲变形弯曲变形12-3 计算梁位移的积分法计算梁位移的积分法积分法计算梁的变形过程积分法计算梁的变形过程 分段建立梁的弯矩方程分段建立梁的弯矩方程 根据弯矩方程建立挠曲轴近似微分方程根据弯矩方程建立挠曲轴近似微分方程 分段两次积分获得转角方程和挠曲轴方程分段两次积分获得转角方程和挠曲轴方程12-3 计算梁位移的积分法计算梁位移的积分法 利用边界条件和连续条件确定积分常数利用边界条件和连续条件确定积分常数例例12-1：已知：已知EI，建立该梁的挠曲轴和转角方程，建立该梁的挠曲轴和转角方程，并计算最大挠度和转角。并计算

8、最大挠度和转角。AB解解:2、挠曲轴近似微分方程挠曲轴近似微分方程1、建立、建立弯矩方程弯矩方程xwl4、积分常数的确定、积分常数的确定x=0处，处，w=0D=0 x=0处，处，=0C=0ABxw3、两次积分得、两次积分得挠曲轴和转角方程挠曲轴和转角方程5、挠曲轴和转角方程挠曲轴和转角方程ABxw6、最大、最大挠度和最大转角挠度和最大转角例例12-2：已知：已知EI，承受集中力偶，承受集中力偶Me作用的简支梁，计作用的简支梁，计算最大挠度。算最大挠度。解：解：（1）计算支反力，列弯矩方程计算支反力，列弯矩方程（2 2）挠曲轴近似微分方程）挠曲轴近似微分方程（3）两次积分得）两次积分得挠曲轴和转

9、角方程挠曲轴和转角方程（4）积分常数的确定）积分常数的确定（6）最大挠度）最大挠度（5）挠曲轴和转角方程挠曲轴和转角方程例例12-3：简支梁简支梁AB如图所示（图中如图所示（图中a b），承受集中载荷），承受集中载荷F作用，作用，梁的弯曲刚度为梁的弯曲刚度为EI。求。求此梁的挠曲轴方程和转角方程，并确定挠此梁的挠曲轴方程和转角方程，并确定挠度的最大值度的最大值。解：解：求支反力，列弯矩方程求支反力，列弯矩方程AC段（段（0 xa）CB段（段（a xl）转角方程转角方程 挠曲轴方程挠曲轴方程 AC段（段（0 xa）CB段（段（a xl）(2)分段建立挠曲轴近似微分方程分段建立挠曲轴近似微分方程(

10、3)分段两次积分分段两次积分 AC段（段（0 xa）CB段（段（a xl）(4)确定积分常数确定积分常数 先使用连续条件，后边界条件。先使用连续条件，后边界条件。边界条件边界条件连续条件连续条件转角方程转角方程 挠曲轴方程挠曲轴方程 挠曲轴方程挠曲轴方程 CB段（段（a xl）转角方程转角方程 挠曲轴方程挠曲轴方程 转角方程转角方程 AC段（段（0 xa）(5)挠曲轴方程和转角方程挠曲轴方程和转角方程(6)确定最大挠度确定最大挠度最大挠度发生在较长梁段中，最大挠度发生在较长梁段中，若若ab,则最大挠度发生在则最大挠度发生在AC 段段 p叠加法原理：叠加法原理：梁在梁在几个载荷同时几个载荷同时作

11、用下的变形，作用下的变形，等于等于各个载荷各个载荷单独单独作用下作用下的变形的代数和。的变形的代数和。p前提条件：前提条件：线弹性、小变形线弹性、小变形12-4 计算梁位移的叠加法计算梁位移的叠加法wM、MwF、Fwq、qw=wM+wF+wq=M+F+q?一、分解荷载法一、分解荷载法1 1、梁在简单载荷作用下挠度、转角、梁在简单载荷作用下挠度、转角应为已知或有变形表可查应为已知或有变形表可查；2 2、叠加法适用于求梁、叠加法适用于求梁个别截面的挠度或转角值个别截面的挠度或转角值。p叠加法的特征：叠加法的特征：注意：请熟记注意：请熟记P350附录附录D中中1、3、4、6、8、9 各梁的挠度和转角

12、。各梁的挠度和转角。AAFAqAFq()Fq叠加：叠加：例例12-4：图示简支梁，同时承受均布载荷图示简支梁，同时承受均布载荷q和集中载荷和集中载荷F作用，试作用，试用用叠加法计算截面叠加法计算截面C的挠度的挠度。设梁的弯曲刚度。设梁的弯曲刚度EI为常值。为常值。解：解：查附录查附录D，均布载荷均布载荷q单独作用时单独作用时集中载荷集中载荷F单独作用时单独作用时截面截面C的挠度：的挠度：例例12-6：矩形截面梁斜弯曲问题矩形截面梁斜弯曲问题求端点求端点C位移位移yCzF分析思路：分析思路：1.载荷沿两对称轴分解：载荷沿两对称轴分解：分解为双对称弯曲问题分解为双对称弯曲问题2.求求解解各各分分载

13、载荷荷作作用用下下的的C点位移点位移3.合成为总的合成为总的C点位移点位移解解：(1)载荷分解载荷分解FzFy方位角方位角F 一般一般 b b q q，弯曲变形不发生在外力作用面内。，弯曲变形不发生在外力作用面内。(2)分力作用下端点位移分力作用下端点位移CFFzFywcwczwcy例：例：外伸梁所受载荷及尺寸如图，外伸梁所受载荷及尺寸如图，弯曲刚度弯曲刚度EI已知。求已知。求截面截面C的挠度的挠度。ABCqaqa2/2ABC逐逐段段变变形形效效应应叠叠加加法法：静静定定梁梁或或刚刚架架的的任任一一横横截截面面的的总总位位移移，等等于于各各梁梁段段单单独独变变形形 (其其余余梁梁段段刚刚化化)

14、在在该该截截面面引起的位移的代数和或矢量和。引起的位移的代数和或矢量和。(逐段分析求和法、逐段刚化法逐段分析求和法、逐段刚化法)二、分解梁法二、分解梁法例：例：外伸梁所受载荷及尺寸如图，外伸梁所受载荷及尺寸如图，弯曲刚度弯曲刚度EI已知。求截面已知。求截面C的挠度。的挠度。1.将将BC刚化刚化，分析简支梁，分析简支梁AB的变的变形，将分布载荷形，将分布载荷q平移到平移到B截面。截面。2.将将AB刚化刚化，分析悬臂梁，分析悬臂梁BC的变形。的变形。3.总挠度和转角总挠度和转角1.两类叠加法的异同点两类叠加法的异同点l共同点共同点均为综合应用已有的计算结果均为综合应用已有的计算结果三、两类叠加法比

15、较三、两类叠加法比较l不同点不同点 a.分解载荷分解载荷 vs 分解梁分解梁 b.力作用的独立性原理力作用的独立性原理 vs 局部变形与总体位移的几何关系局部变形与总体位移的几何关系2.分解荷载法与分解梁法适用范围不同分解荷载法与分解梁法适用范围不同三、两类叠加法比较三、两类叠加法比较线弹性、非线弹性与非弹性线弹性、非线弹性与非弹性线弹性线弹性小变形小变形小变形小变形静定静定杆系与刚架杆系与刚架静定与静不定静定与静不定结构，包括杆、结构，包括杆、板、壳及一般三维体板、壳及一般三维体分解梁法分解梁法分解荷载法分解荷载法3.两类叠加法适用范围比较两类叠加法适用范围比较三、两类叠加法比较三、两类叠加

16、法比较例例12-5：已知：已知EI，求截面，求截面C的挠度。的挠度。ACBACBACBACBACBACB1、F1作用下作用下B截面转角和挠度截面转角和挠度2、F1作用下作用下C截面挠度截面挠度3、F2作用下作用下C截面挠度截面挠度4、F1和和 F2作用下作用下C截面挠度截面挠度一、静不定度与多余约束一、静不定度与多余约束多余约束多余约束：凡是多于维持平衡所必须的约束：凡是多于维持平衡所必须的约束多余反力多余反力：与多余约束相应的支反力或支反力偶矩：与多余约束相应的支反力或支反力偶矩静不定度静不定度 未知支反力（力偶）数有效平衡方程数未知支反力（力偶）数有效平衡方程数静不定度多余约束数静不定度多

17、余约束数4-3=1 度静不定度静不定5-3=2 度静不定度静不定静不定梁：静不定梁：支反力（含力偶）数超过平衡方程数的梁支反力（含力偶）数超过平衡方程数的梁12-5 简单静不定梁简单静不定梁 判断梁的静不定度判断梁的静不定度 用用多多余余力力代代替替多多余余约约束束的的作作用用，得得受受力力与与原原静静不不定定梁梁相相同同的静定梁的静定梁相当系统相当系统 计计算算相相当当系系统统在在多多余余约约束束处处位位移移，并并根根据据变变形形协协调调条条件件和和物理方程物理方程建立建立补充方程补充方程 联立联立平衡方程平衡方程求其余支反力求其余支反力 通过相当系统计算内力、位移与应力等通过相当系统计算内

18、力、位移与应力等依据依据综合考虑三方面综合考虑三方面关键关键确定多余支反力确定多余支反力相当系统相当系统相当系统相当系统注意注意:相当系统有多种选择相当系统有多种选择二、分析方法与步骤二、分析方法与步骤综合考虑三方面综合考虑三方面1 度静不定度静不定选选 FBy 为多余力为多余力变形协调条件变形协调条件物理方程物理方程补充方程补充方程平衡方程平衡方程1 度静不定度静不定算例：算例：求梁的支反力，求梁的支反力，EI=常数常数相当系统相当系统例例12-7 图图示示圆圆形形截截面面梁梁，承承受受集集中中载载荷荷F作作用用。试试校校核核梁梁的的强强度度。已已知知：F=20kN，跨跨度度a=500mm，

19、截截面面直直径径d=60mm，许用应力，许用应力=100MPa。aABCa/2a/2解：解：（1 1）求解静不定梁的支反力。）求解静不定梁的支反力。一度静不定梁一度静不定梁选支座选支座B为为多余约束，多余约束，Fby为为多余约束力多余约束力，得，得相当系统相当系统。变形协调方程变形协调方程：（查表：（查表：P350P350：附录附录D D）物理方程：物理方程：代入变形协调方程，得代入变形协调方程，得补充方程补充方程由由平衡方程平衡方程解得：解得：例例12-7 图图示示圆圆形形截截面面梁梁，承承受受集集中中载载荷荷F作作用用。试试校校核核梁梁的的强强度度。已已知知：F=20kN，跨跨度度a=50

20、0mm，截截面面直直径径d=60mm，许用应力，许用应力=100MPa。aABCa/2a/2ACBxM（2 2）强度校核。）强度校核。故梁的强度符合要求。故梁的强度符合要求。一、梁的刚度条件一、梁的刚度条件d d 许用挠度许用挠度q q 许用转角许用转角12-6 梁的刚度条件与合理刚度设计梁的刚度条件与合理刚度设计例如滑动轴承处例如滑动轴承处:让材料远离截面中性轴（增加让材料远离截面中性轴（增加I），例如采用工字梁等），例如采用工字梁等刚度设计：刚度设计：强度设计：强度设计：二、梁的合理刚度设计二、梁的合理刚度设计1.选择合理的截面形状选择合理的截面形状(Iz)影响梁刚度的截面几何性质是惯性矩

21、，所以合理截面影响梁刚度的截面几何性质是惯性矩，所以合理截面形状是形状是截面面积较小而惯性矩大的截面截面面积较小而惯性矩大的截面。面积相同，面积相同，方形比圆形合理方形比圆形合理，矩形矩形比方形合理比方形合理，框形比矩形合理框形比矩形合理 2.合理选择材料合理选择材料(E)影影响响梁梁刚刚度度的的材材料料性性能能是是弹弹性性模模量量，所所以以选选择择弹弹性性模模量大量大的材料。的材料。注意注意：各种钢材（或各种铝合金）的各种钢材（或各种铝合金）的 E 基本相同基本相同3.3.梁的合理加强梁的合理加强 梁梁的的强强度度取取决决于于危危险险截截面面和和危危险险点点局局部部，而而梁梁的的位位移移与与

22、梁梁内内所所有有微微段段的的变变形形均均有有关关。所所以以，对对梁梁的的危危险险区区域域采采用用局局部部加加强强的的措措施施，可可提提高高梁梁的的强强度度；但但若若提提高高梁梁的刚度则必须在的刚度则必须在更大范围内更大范围内增加梁的刚度。增加梁的刚度。显显著著降降低低梁梁的的强强度度，对对梁梁的的刚度影响很小！刚度影响很小！4.梁跨度的选取梁跨度的选取(l )通过通过减小梁的跨度减小梁的跨度实现减小梁的弯矩，从而达到降低实现减小梁的弯矩，从而达到降低梁弯曲变形的目的。梁弯曲变形的目的。刚度对梁的跨度更敏感刚度对梁的跨度更敏感 5.合理安排约束与加载方式合理安排约束与加载方式(调整、减少调整、减

23、少M(x)增加约束，制作成静不定梁增加约束，制作成静不定梁 例例12-10：简支梁跨中承受集中载荷简支梁跨中承受集中载荷F=35kN。已知跨度。已知跨度l=4m，许，许用应力用应力=160MPa，许用挠度，许用挠度=l/500，弹性模量，弹性模量E=200GPa，试试选择工字钢型号选择工字钢型号。解：解：按强度条件选择工字钢型号按强度条件选择工字钢型号 按刚度条件选择工字钢型号按刚度条件选择工字钢型号 查表，应选择查表，应选择No.22a工字钢。工字钢。ACDFlFl/4M做弯矩图，确定危险截面做弯矩图，确定危险截面作业作业12-3：12-1、12-2（1）12-4：12-712-5：12-15（b）、）、12-21此课件下载可自行编辑修改，仅供参考！此课件下载可自行编辑修改，仅供参考！感谢您的支持，我们努力做得更好！谢谢感谢您的支持，我们努力做得更好！谢谢