二节二重积分的质.ppt

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1、二节二重积分的质 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life,there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望（除分界线）（除分界线）性质性质4 如果如果性质性质5 (不等式性不等式性)如果在如果在D上上特别的特别的:性质性质6 (估值性估值性)设设性质性质7 (积分中值定理积分中值定理)设设f(x,y)在闭区域在闭区域D上连续上连续,则至少存在一点则至少存在一点证明：证明：由闭区域连续函数的介值定理由闭区域连续函数的介值定理,至少存在一点至少存在一点三、举例三、举例例例2、设区域D:是变量是变量y的奇函数的

2、奇函数XYO解：解：是变量x的偶函数注：上述性质，称为二重积分的奇偶对称性对注：上述性质，称为二重积分的奇偶对称性对于一般函数也成立于一般函数也成立例例3、估计下列积分值估计下列积分值（2）求D上的最大最小值XY o D解：解：Ep4:其中其中D由由x=0,y=0及及x+y=1围成围成解：解：Ep5：解：解：第二节第二节 二重积分的计算方法（二重积分的计算方法（1）一、区域的类型及表示一、区域的类型及表示1、X-型区域：穿过区域型区域：穿过区域D的内部且平行于的内部且平行于 D的的 边界边界相交至多两点相交至多两点aaaxxxbbbxxxyyyooo2、Y-型区域：穿过区域型区域：穿过区域D的

3、内部且平行于的内部且平行于x轴的轴的直线与直线与D的边界相交至多两点的边界相交至多两点3、其它类型、其它类型 如图如图非非X-型，非型，非Y-型区域型区域xyycdooxy例例1、闭区域、闭区域D由由所围成，使用联立不等式表示区域所围成，使用联立不等式表示区域D解：法一、解：法一、D是是X型区域型区域 则则法二、法二、D是是Y-型区域且型区域且二、利用直角坐标计算二重积分二、利用直角坐标计算二重积分解：一方面解：一方面：曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积另一方面：利用平行截面为已知的立体体积计算另一方面：利用平行截面为已知的立体体积计算设：区域设：区域D为为X-型型得截面面积得截面面积一般的一般的综

4、上：综上：类似的，若类似的，若D为为Y-型区域型区域称为先x后y的二次积分情形仍成立情形仍成立关键，步骤如下：关键，步骤如下：第一步：画区域第一步：画区域D的图形的图形第二步：确定类型，求投影曲间，穿入、穿出第二步：确定类型，求投影曲间，穿入、穿出线方程，并用联立不等式表示区域线方程，并用联立不等式表示区域第三步：将二重积分写成二次积分第三步：将二重积分写成二次积分例例2、计算、计算其中区域D是由解：画图解：画图 求出交点（求出交点（-1，1）及（及（4，2）(4,2)(-1,1)法一法一 D是是X-型区域，且型区域，且法二法二 D是是Y-型区域，且型区域，且(4,2)(-1,1)例例3、计算

5、、计算，其中其中D由由所围成所围成解：解：D是是X-型区域型区域又又 D是是Y-型区域型区域无法积分无法积分这说明此积分先这说明此积分先x后后y的顺序的方法失效的顺序的方法失效注：上述两例说明，在化二重积分为二次积分注：上述两例说明，在化二重积分为二次积分时，为了计算简便，需要恰当的选择二次积分时，为了计算简便，需要恰当的选择二次积分的顺序。这时，既要考虑积分区域的顺序。这时，既要考虑积分区域D的形状，又的形状，又要考虑被积函数要考虑被积函数f(x,y)的特性。的特性。例例4、改变二次积分、改变二次积分的积分次序的积分次序均为均为X-型，画出区域型，画出区域D如图如图视视为为Y-型区域型区域解

6、：解：则原式则原式=例例5、计算由曲面、计算由曲面所围立体的体积所围立体的体积解：立体如图，解：立体如图，且在且在xoy面上投影区域面上投影区域第二节第二节 二重积分的计算方法（二重积分的计算方法（2）三、利用极坐标计算二重积分三、利用极坐标计算二重积分对于某些二重积分，利用直角坐标计算往往对于某些二重积分，利用直角坐标计算往往是很困难的，而在极坐标系下计算则比较简单。是很困难的，而在极坐标系下计算则比较简单。如：积分区域为圆形，被积函数为如：积分区域为圆形，被积函数为时时，可考虑极坐标系下计算。可考虑极坐标系下计算。方法如下方法如下1、化、化为极坐标系下的二重积分，为极坐标系下的二重积分，由

7、定义由定义且将区域且将区域D放在极坐标系中放在极坐标系中第一步第一步 分割分割:用两族曲线用两族曲线r=常数常数同心圆同心圆=常数常数射线射线任意分割区域任意分割区域D为为n个小区域个小区域除含边界的小区域外，其它小闭区域面积除含边界的小区域外，其它小闭区域面积第二步第二步 取取且对应的直角坐标系为且对应的直角坐标系为则则从而从而其中其中为极坐标系下的面积元素为极坐标系下的面积元素 注注:相当于二重积分作了变量代换相当于二重积分作了变量代换,因而换元就要因而换元就要换限换限2、化为二次积分化为二次积分情形（情形（1）极点在）极点在D的外部的外部情形（情形（2）极点在）极点在D的边界上的边界上D 情形（情形（3）极点在）极点在D内内D例例1：计算：计算D是由曲线是由曲线解：解：例例2、将、将化为极坐标系下的化为极坐标系下的二次积分二次积分解：解：在极坐标系下例例3、求球体、求球体被圆柱面被圆柱面所截得的（含在圆柱面内部的）所截得的（含在圆柱面内部的）立体的体积。立体的体积。解：由对称性解：由对称性体积体积在极坐标系下在极坐标系下故故